2025-2026学年高二数学下学期第三次月考卷02（江苏专用）【测试范围：苏教版选择性必修第二册第6~8章】（全解全析）

高二数学下学期第三次月考卷02（江苏专用）

全解全析

（考试时间：120分钟，分值：150分）

注意事项：

1.答卷前.考牛务必将自己的姓名、准考讦号填写在答题卡卜C

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.测试范围：苏教版选择性必修第二册第6章〜第8章。

第一部分（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.下列有关排列数、组合数的等式中，错误的是（）

A.C；=C；B.A：=6!C.A：=C：D.A；0=CX

【答案】C

【分析】根据排列数与组合数的性质与计算公式一一判定即可.

【详解】根据组合数公式可知

n9!29!

（：9=3!（9-3）!>C<>=6!（9~6）1,显然两式相等'故A正确；

根据排列数公式可知A：=6!,故B正确；

易知A：=^=12,凌=殍=15,显然两式不相等，故C错误；

A：0=等，C：°A：=£；X4!,显然两式相等，故D正确.

6!4!x6!

故选：C.

2.2023M被2022?除的余数是（）

A.1B.0C.2023D.2022

【答案】A

【分析】利用二项式定理展开20232022=（2022+1）2022,可得出2023期2被20222除的余数

1/18

【详解】因为20232022=(2022+1)期2=20222022+C；022・20222021+…+C眈•2022，+C盥-2022+1

2022202122

=2022+C'2O22•2O22+…+啮-2022+2022+1

220202019

=2022（2O22+C'2O22-2O22+•••+C歌+1）+1,

因此，20232022被2022?除的余数是1.

故选：A.

3.已知。，B，7是三个不同的平面，相，〃是两条不同的直线，则下列命题为真命题的是（）

A.若〃///?,则a//夕B.若〃?_La,〃_1_加，则〃//a

C.若〃1_La,则〃?〃“D.若a_L/,-L/,则a///

【答案】C

【分析】根据点线面位置关系及其判定定理和性质定理进行判断即可.

【详解】由得a",或a与〃相交，故A错误；

若用_La,〃，〃】，则〃//a或〃ua,所以B错误；

若卅_La,〃_La,则由线面垂直的性质定理知〃?〃〃，所以CE确；

若aly,/则a与尸可能相交，也可能平行，所以D错误.

故选：C.

——3—

4.在正四面体力-P3C中，过点4作平面P8C的垂线，垂足为。点，点"满足力则丽=

()

lpc

A.LpA-lpB^PCB.-PA-PB+

4444+44

C.LpA+lpB+LpcD.-PA--PB+-PC

444444

【答案】B

【分析】根据已知条件，结合空间向量的线性运算，即可求解.

【详解】由题知，在正四面体力-P8C中，

因为力。1平面P8C,

所以。是APBC的中心，

连接尸。则同=|xg（而+定），

所以PA/=21+力M2力0

2/18

=苏+3（万+珂=万_:方+;风

1__.321/—>•一\I一1一1一

=-PA+-x-x-（PB+PC]=-PA+-PB+-PC.

4432、f444

5.某试卷中1道选择题有6个答案，其中只有一个是正确的.考生不知道正确答案的概率为g,不知道正

确答案的考生可以猜，设猜对的概率为现已知某考生答对了，则他猜对此题的概率为（）

6

11_II13

A.—B.—•C.—D.-

1331618

【答案】A

【分析】设1事件为“该考生不知道正确答案”,B事件为“该考生答对了”.表示出P（/）,P（8M）,

尸（例司，再结合条件概率公式，以及互斥事件的概率加法公式，即可求解.

【详解】设力事件为“该考生不知道正确答案”，8事件为“该考生答对了”.

则P（/）=］尸（1）=g，P（B\A）=^,尸⑶彳）=1,

JJU

11

所以所求概率为""⑶"需=小篇%盟户⑻犷岂+2看

363

故选：A.

6.已知直三棱柱48C—48c,在ABC—中，乙48。=60;，AB=2,^C=CC,=1,则异面直线

与8G所成角为（）

冗C兀C兀c乃

A.-B.-C.-D.一

2346

【答案】A

【分析】根据余弦定理求出/1C，再由勾股定理得8C14C,以C为原点，C/为x轴，。为y轴，CCi

为z轴，建立空间直角坐标系，如图，利用空间向量法求上线线角的余弦值和异面直线夹角的范围，进而得

3/18

出结果.

【详解】在直三棱柱力8C-44G中，ZJ5C=60；AB=2,BC=CC]=\,

由余弦定理，得力C=V4+1-2x2xlxcos60=»

所以8c2+4。2=/82,所以8cllC,

以C为原点，C8为x轴，。为？轴，CG为z轴，建立空间直角坐标系，如图,

力(0,6,0),8(1,0。)，4(1,0,1),C,(0,0,1),

^=(1,-734),BC；=(-1,0,1),

设异面直线彳耳、8G所成角的平•面角为。,

乂。£呜],

有MM=海质

所以咦

故选：A

7.一个不透明的袋子有1()个除颜色不同外，大小、质地完全相同的球，其中有6个黑球，4个白球.现进行

如下两个试验，试验一：逐个不放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为期望和方差分别为

试验二；逐个有放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为*2,期望和方差分别为

可占),。区).则下列判断正确论是()

A.£1(%,)<£,(%,)B.E(X1)>E(X2)

C.D.D(Xl)<D(X.)

【答案】D

4/18

【分析】分别计算从中随机地无放回摸出3个球、从中随机地有放回摸出3个球的期望、方差，再做比较

可得答案.

【详解】①从中随机地无放回摸出3个球，记白球的个数为X，，%的可能取值是01,2,3,

C°r31r'r2i02rl鼻「3a>

则P(X]=0)=号=±尸(乂=1、1=今=上p(x2)=号=2,P(M=3)=4=」~,

、iJC：06-，/2、i/C；o10V1)C：o30

故随机变量M的概率分布列为

X0123

31

P

621030

则数学期望为E（M）=0X4+1>4+2X2+3X4=!，

62103。5

6114

x—=—

1053025

47

②从中随机地有放回摸出3个球，则每次摸到白球的概率为已=：,

则苍~《闾，故E(X2)=3X]《D(%2)=3x|xfl-|j=l|,

故£(%)=以冬),。㈤<。(莅).

故选；D.

8.如图，已知正方体/8CO-4与GA的棱长为2,点。是四边形44GA的内切圆上一点，。为四边形

力BC。的中心，则0A.5A的最大值为()

A.5B.6C.5+V2D.5+囱

【答案】C

5/18

【分析】运用向量加法、相等向量将丽与丽分别表示为丽=西+神，丽=病+西+*,代入数

量积运算即可.

【详解】由题意知，I印1=1,

设正方形44GA的中心为。】，连接。«、DO、。在，如图所示,

则而=何，|西1=2,耳|=夜，00,l^ABCD,0al面44GA，

：.001上0圈,0Q]iqp

••・西•甄=0,西*=0,

又•.OP=OO\+O\P,DP=DO+OO】+O\P=O\B\+OC\+C\P,

炉加=（两+协.（函+函+和

=西竭+西,+西不+*•竭+*•西+谓

=0+2,+o+|qA冈cos<q瓦q户>+o+i

=5+V2cos<O[8]、O/>

<0)^,0}P>e[0,TC],

.•.当<南，策>=()时，COS<函,*>gx=1，

・••（丽・赤）a=5+VL

故选:C.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

6/18

2/3

9.对于随机事件43,若尸（4）=w，p（4）=个则下列说法正确的是（）

JJ

A.若4与8互斥，贝IJ尸（力3）=2

B.若可⑶4）=；,则小4）=需

C.若P（力忸）=3,贝IJP（力uB）=5

D.若AqB,则P（48）=（

【答案】BC

【分析】对于A,根据互斥事件的定义即可判断；对于BCD,杈据条件概率的计算公式以及积事件，和事

件的定义进行求解即可.

【详解】对于A,4与5互斥，则648）=0,因此A错误；

/|_P（AB）_1

对「B,若P（⑶4）=5贝1」尸（'慎片西厂"二-二屋则P（”）=\,因此B正确；

5

对于c,若尸（力忸）=*,则尸（"回=7^=—y=z,则p（加=',

231Q

则尸（AD8）=?（4）+尸（3）一尸（力8）=不+不・正=石,因此C正确;

JJ1\J1U

2

对于D,AQB,则P（48）=尸（/）=：,因此D错误；

故选：BC.

10.下列说法正确的是（）

A.将4个不同的小球放入3个编号不同的盒子中，小球必须全部放入盒中，那么不同的放法种数是丁

B.将5个相同的小球放入6个编号不同的盒子中，每个盒子至多放I个小球，而且小球必须全部放入

盒中，那么不同的放法种数是C：

C.将4个不同的小球放入3个编号不同的盒子中，小球必须全部放入盒中，每个盒子至少放1个小球,

那么不同的放法种数是A：A；

D.将6个不同的小球放入3个编号不同的盒子中，每个盒子放2个小球，那么不同的放法种数是

博鸿

【答案】ABD

7/18

【分析】利用分步计数原理判断选项A；结合组合数的定义判断选项B；利用捆绑分组法判断选项C；由平

均分组分配法判断选项D.

【详解】对于A,将4个不同的小球放入3个编号不同的盒子中，小球必须全部放入盒中，

由分步乘法计数原理可知，不同的放法种数是3x3x3x3=34,A选项正确；

对于B,将5个相同的小球放入6个编号不同的盒子中，每个盒子至多放1个小球，而且小球必须全部放入

盒中,

则需要在6个盒子选出5个放入小球，不同的放法种数是C〉B选项正确；

对于C,将4个不同的小球放入3个编号不同的盒子中，小球必须全部放入盒中，每个盒子至少放1个小球,

将其中2个球捆绑在一起，与另两个球分别放入3个盒子中，K同的放法种数是C；A；,C选项错误

对于D,将6个不同的小球放入3个编号不同的盒子中，每个盒子放2个小球，

C：c：c；

把6个球平均分成3组，再分别放入3个盒子中，不同的放法种数是xA；=C：C消,D选项正确.

A；

故选：ABD.

11.如图，边长均为1的两个正方形48co和正方形48即所在的平面互相垂直，动点、M,N分别在正方

形对角线力C和如'上移动，RCM=BN=a（0<a<y/2）,则下列说法正确的是（）

A.3ae（0,V2）,使加=；诙

2

B.线段MN存在最小值，最小值为。

C.直线A/N与平面月所成的角恒为45。

D.Vae（0,V2）,都有砺，灰,乐共面

【答案】AD

【分析】以848瓦AC为》,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系，写出各点坐标，用空间向量法判断各选

项.

【详解】由已知3C_L平面月6E尸，以548E8C为x,），,z轴建立如图所示的空间走角坐标系，则4（1,0,0）,

8/18

尸(1,1,0),C(0,0,l),£(0,1,0),

在坐标平面工向，上，直线8厂的方程为x-y=0,BN=a，她N（~a,专a,0），

在坐标平面上，直线4。的方程为x+z=l,CM=。，则M（等4（）,]_亭0,

C£=（0,l,-l）,丽=（0,乎0,与一1）,

易知，当4=变时，砺=（0,!怎，A正确；

2222

_旦_、

平面ABEF的一个法向量是m=（0,0,1）,cos/涌丽）=比"一2",

]旦r

所以CE与平面48所所成角的止弦值为2",这个值不是恒为当，因此角的大小不可能恒为

45%C错；

瑟=（0,0,1）,而=（0,1,0）,而=（0、鼻,会一\）=（4。-1）前+孝。南，

所以加，沅，麻共面，D正确，

故选：AD.

第二部分（非选择题共92分）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.在某项测试中，测量结果4~N（0,〃），若J在（一*1）内取值的概率为0.8,则。在（Tl）内取值的概

率为.

【答案】0.6

9/18

【分析】由题意得出尸(4<1)=0.8,由正态密度曲线的对称性可求得的值.

【详解】•••4〜N(0。2),由已知条件得尸(。<1)=0.8,所以产仔21)=1-尸(々<1)=0.2,

因此，P(-l<^<l)=l-2P«>l)=0.6.

故答案为：0.6.

【点睛】本题考查利用正态密度曲线的对称件求概率..考查计算能力,属干基础题.

13.已知平行六面体力88—4£CQ中，48=3,AD=2,AA]=\,ZBAD=ZBAA｛=ZDAA[=^,则4G

的长度为.

【答案】5

【分析】根据空间向量的线性运算可得苑二刀+而+羽，等式两边同时平方，利用空间向量数量积的

定义计算即可.

【详解】由题意知，设方=£,而=&刀;=Z

则ACt——AC+CC(=AB+AD+AAi=a+b+c,

所以卜=,+B+c=a+b+c~+2a-b+2a-c+2b-c,

又AB=3,AD=2,AA,=I,ABAD=NB4A=ND4A=-,

3

所以J+b+c~+2a-b+2a-c+2b-c=25f

即|同『=25,所以4G=5.

14.数列的每一项为。或1,称此数列｛儿｝为0-1数列.A；(AWND表示所有〃项0—I数列构成的

集合.现从集合X3中随机取出两个元素不，x2,七与M，%，％，定义随机变量4=£|七一片1，则

10/18

E(4)=.

【答案】y

【分析】由集合中元素的互异性，数列不，与，玉与弘，必，力对应项不可能完全相同，所以1内一必1，

1七-%|中至少有1个1,至多有3个1,即自二£|七-必|的所有可能取值为1,2,3,利用古典

r=1

概率求出对应的概率,代入数学期望公式即可求解.

【详解】集合工中共有23=8个元素，任取两个元素，

即数列X，不与X，必，必，

1%一乂1有4种可能情况:|0-0|=0,|0-1|=1,|1-0|=1,|1-1|=0,

即1±-乂1=。或1.当1为一%1=0，此时七=乂=0或者演=乂=1;当|七一卜1=1,

此时七=0,%=1或巧=1,必=0,

由集合中元素的互异性，数列X，七，七与乂，外，%对应项不可能完全相同，

所以1占一%I，所-%1，I1一必1中至少有1个1，至多有3个L

所以g=£|x,-乂I最小值为1，最大值为3,

/=1

即《=的所有可能取值为1,2,3.

/=1

"1,即|马-乂|,|5-必1，值-必1中有1个1，有2个0,

对应的情况共有C；'2X22=12和。

2

所以。(4=1)=呆=5,同理，P(^=2)=1,P(^=3)=l

/77

所以砥)=133+2、齐33、11亍12.

故答案为：号.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(13分)

已知空间三点”(0,2,3),8(-2,1,6),D(l,-I,5),以向量方，而为一组邻边组成平行四边形4BC。,

(1)求C点坐标：

11/18

(2)求平行四边形ABCD的面积S.

【答案】(1)(7,-2,8)

⑵7G

【分析】(1)设C(4J,z),根据空间向量的线性运算及平行四边形法则求解即可；

(2)先根据空间向量求出(而,而〉，进而结合面枳公式求解即可.

【详解】(1)设C(xj,z),则刘=(-2,-1,3),=(1-3,2),AC=(x,y-2,z-3)t

由平行四边形法则：就=而+而=(-1,-4,5)=。/-2,2-3),

所以x=-l,y=-2fz=8,即。点坐标为(-I,-2,8).

(2)由题意，|力8|=J4+1+9=«J,|JD|=Vl+9+4=Vi4,

8s(福如■^瑞H，所以您码号

所以5=|43卜|/10卜5而曰=9>«'乎=775.

16.(15分)

已知关于x的二项式［+云)的二项式系数之和为32,其中〃?>0.

(1)若/〃=1,求展开式中二项式系数最大的项；

(2)若〃1=2,求展开式中系数最大的项；

(3)若展开式中含/项系数为40,求展开式中所有有理项的系数之和.

【答案】(1)10/和10«

(2)80x_,和80«

(3)：21

【分析】(1)由二项式系数和可计算出〃=5,结合二项式系数的性质可得第三及第四项二项式系数最大，

结合二项式展开式的通项公式计算即可得；

(2)结合题意构造出。「；［心」「"，计算后，结合二项式展开式的通项公式计算即可得；

(3)由二项式展开式的通项公式计算可得用，结合有理项定义找出所有有理项，计算对应系数求和即可得.

12/18

【详解】（1）由题意可得2。=32,故〃=5,

若卅=1,则对（x+白[J（==0,1,2,345），

当，=2或，，=3时展开式中二项式系数最大，

此时有q=c；%5-3=io.r2,A=c**=io0

故展开式中二项式系数最大的项为io/和io4：

（2）若加=2,则对（x+始）有7；+1=（：*5-，.2，*《=2,4:小（尸=0』,2,3,4,5），

■>2**1_____________

2y2女!（5_太）广（Zr+1）!（4-Jt）!

令

2y22八（丁’5!55!

肚!（5—4）！一（A-l）!（6-^）!

Jt+1>2（5-^）仅23

整理得«解得储4,即X或I,

2（6-k）>k

:仃4=2七江力=804，7；=24cb,下=80x1，

故展开式中系数最大的项为8（）工।和804：

r$3r

-mr-x2=m,C'x2（r=0,1,2,3,4,5），

⑶对卜+W）有心="s

则4=〃/C；xj=10//,故1（加=40，即m=±2,乂，">0,故〃]=2,

当5—,一为有理数时，「可为。24,

有2°C；+22C；+2'C；=1+40+80=121,

故展开式中所有有埋项的系数之和为121.

17.（15分）

2026年元宵节以后，银川市兴庆区北塔湖迎来了从远方迁徙而来的大批红嘴鸥，碧水鸥影的生态美景吸引

了众多市民前来打卡，为了更好地保护红嘴鸥，部分市民自发组织巡护红嘴鸥.已知甲、乙、丙等七名志愿

者计划巡护红嘴鸥七天，每人巡护一天，每天一人（用数字作答）；

（1）甲、乙、丙等七名志愿者，一共有多少种不同的排班方法？

13/18

(2)甲在第四天巡护的不同排法有多少利i?

(3)?天中，甲在第一天，乙丙不相邻的不同排法有多少种？

【答案】(1)5040

(2)720

(3)480

【详解】(1)甲、乙、丙等七名志愿者计划巡护圻嘴鸥七天,每人巡护一天,每天一人.

即对七名志愿者进行全排列，则不同的排班方法有A；=7!=5040.

(2)甲在第四天巡护，那么只需对其余六名志愿者进行全排列，则不同的排法有A：=6!=720.

(3)甲在第一天，那么只需对其余六名志愿者进行排列，乙丙不相邻，可采用插空法，

其余六名志愿者除乙丙之外的四人有A：=4!=24种排法，这四人排好后形成5个空，再从这5个空中选2

个空排乙丙，有A；=5x4=20种排法，

根据分步乘法计数原理，不同的排法有A>A；=24x20=480.

18.(17分)

已知正方形力8CO和矩形4C"■所在的平面互相垂直，且/8=1,力尸=1,点M是线段EF中点.

(1)求证：4H//平面8OE：

(2)求二面角4-。尸-8的大小：

(3)线段彳C上是否存在点P,使得尸尸与/O所成的角恰为60。？若存在，请求出力户的长，若不存在，请

说明理由.

【答案】(1)证明见解析；(2)arctanV2：(3)存在，AP=\.

【分析】(1)建立空间直角坐标系，求得平面8OE的一个法向量3=(苍乂n),由而.£=()证明；

14/18

(2)分别求得平面的一个法向量获=(x,y,z)和平面的一个法向量3=(x,y,z),由

/---\m-n

c°s(叽〃片Ei求解;

KTK1

IP/7-?ID|I

(3)假设存在点P,右.后=之彩,4«0,1),设尸厂与力。所成的角为。由3"度同=5求解•

【详解】(1)建立如图所示空间直角坐标系:

(11

则4(1,1,0),8(0,1,0),C(0,0,0),0(1,0,0),E(0,0,1)/(1,1,1),M-,-,l

Izz

所以丽=(1,7,0)屏=(OT1)翔=

设平面BDE的一个法向量为5=(苣乂z),

BD6?=0x-y=0

则即，

砺刀=0-y+z=0

令X=l,则4=(l/J),

所以而£=0，又平面8DE,

所以4W//平面8OE；

(2)易知益=(0,-1,0),方=(0,1,1),

设平面/。£的一个法向量为机=(x,y,z),

AD-rn=0|-y=o

则即

AF-m=0[y+z=0

令x=l,则机=(1,0,0),

15/18

易知丽=(1,-1,0)，9=(1,0,1),

设平面BDF的一个法向量为n=(x,y,z),

叫.斤=。即

则

BFn=0[x+z=0

令1=1,则

m-n1

则cos

p«|-|w|y/3,

设二面角A-DF-B的大小为8,

易知为锐角，则cos0=7j,sin0=耳,tan0=5/S,

所以夕=arcian五：

(3)假设存在点尸，有万=如匕&(0,1),则而=(/U,l),

设P尸与力。所成的角为a,

1

则cosa-尸而LRI

|PF|-|JP|-VA2+A2+I-2'

解得义咚

所伙AP=立AC=立*6=1.

22

所以线段力C上存在点P,使得尸F与所成的角恰为60。，且4P的长为1.

19.(17分)

“马尔科夫链”是一种随机过程，它具有马尔科夫性质，也称为“无记忆性”，即一个系统在某时刻的状态仅与

前一时刻的状态有关.为了让学生体验马尔科夫性质，数学老师在课堂上指导学生做了一个游戏.他给小

聪和小慧各一个不透明的箱子，每个箱子中都有x(xwN”)个红球和1个白球，这些球除了颜色不同之外,

其他的物质特征完全一样.规定“两人同时从各自的箱子中取出一个球放入对方的箱子中”为一次操作，假设

经过〃(〃eN)次操作之后小聪箱子里的白球个数为随机变量X”，且P(X=1)=，

(1)求X的值:

⑵随机变量占的分布列和期望坎工)；