2023-2024学年山西省运城市高一（下）期末数学试卷

2023・2024学年山西省运城市高一（下）期末数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

1.（5分）已知复数z满足（z+3）/=3-/,则团=（）

A.Vl0B.4C.5D.276

2.（5分）已知平面向量w,百勺夹角为二，满足|=i,（Z-2E）15则IE1=（）

3

A.-1B.1C.AD.-A

55

3.（5分）在。中，内角4,B,。的对边分别为a,b,c,若（〃+b-c）（a+b+c）=3ab、a=4,b=

2,则的面积是（;

A.2B.4C.2^3D.3

4.（5分）抛掷一枚质地均匀的骰子2次，事件甲为“第一次散子正面向上的数字是I"，事件乙为“两次

骰子正面向上的数字之和是4"，事件丙为“两次骰子正面向上的数字之和是8"，则（）

A.甲乙互斥B.乙丙互为对立

C.甲乙相互独立D.甲丙互斥

5.（5分）已知平面a,p,直线加满足〃《0,a±p,则是“加〃0”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

6.（5分）AJBC+,内角4,8,C的对边分别为4,b,c,若acos8=2ccos/l-bcosA且IAB|'lACl）・BC=O

则△48。的形状是（）

A.有一个角是匹珀等腰三光形

6

B.等边三角形

C.三边均不相等的直角三角形

D.等腰直角三角形

7.（5分）某次趣味运动会，设置了教师足球射门比赛：教师射门，学生守门.已知参与射门比赛的教师

有60名，进球数的平均值和方差分别是3和13,其中男教师进球数的平均值和方差分别是4和8,女

教师进球数的平均值为2,则女教师进球数的方差为（）

A.15B.16C.17D.18

8.（5分）在梯形力8CO中，AD//BC,ABLBC,AB=1,4D=3,〃C=4,点P为边/。上一动点，则而•不

的取值范围为（）

A.[V2-4,V5-4]B.[-2,1]C.[-3,1]D.[1,5]

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全

部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

（多选）9.（6分）在复平面内，复数zi=1-2"Z2=-3+4/'对应的向量为,而，其中。是原点，则

下列说法正确的是（）

A.复数zi的虚部为-2i

B.复数对应的点在第一象限

C.当。=-4时，复数a+z^i?为纯虚数

D.向量蕊对应的复数为4-6，

（多选）1（）.（6分）正六边形瓷砖是一种常见的装饰材料，被广泛应用于室内和室外的墙壁、地面和装饰

品的制作.正六边形瓷砖的设计能够形成美观的六边形花纹，增加空间的层次感和艺术感.如图是一块

正六边形瓷砖48COE凡它的边长为1,点P是△力匹厂内部（包括边界）的动点，则下列说法正确的

AD

A.而=1•而《熊

B

-FD*AE-y4

C.若尸为"的中点，而在前上的投影向量为-前

D.|冠+祚|的最大值为由

（多选）11.（6分）正方体48。■小与。功的棱长为2,E,F,G分别为8C,CCi，881的中点，点P

为线段由G上的动点，则下列结论正确的是（）

10

B.三棱锥尸■力E/7的体积为定值

C.平面4EE截正方体所得的截面周长为3点+2^5

D.直线4厂与平面田BCQ所成角的正弦值为运

3

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.（5分）已知数据2xi+l,2x2+1，2口+1，2x4+1,2x5+1的方差为16,则数据3兑-2,3x2-2,3x3-2,

3x4-2,3x5-2的方差为.

13.（5分）己知相互独立事件44满足尸（力）=0.6,P（AB）=0.42,则P（AUF）=.

14.（5分）已知正三棱台上、下底面边长分别为勺々和1W面与下底面所成的二面角为61）。，则该正

三棱台外接球的表面积为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（13分）北京大兴半程马拉松暨第八届“花绘北京悦跑大兴”于2024年4月27日在大兴区魏善庄镇

鸣枪开跑，参赛规模为600（）人并设有两个项目，为让更多的人了解马拉松运动项目，某区举办了马拉

松知识竞赛，并从中随机抽取了/〃名参赛者的成绩，得到的数据如下表所示：

分数[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100)

频数5102030b

频率a0.100.200.30().35

（1）分别求〃?，。，力的值，并在图中画出频率分布直方图;

（2）若参赛者得分分数不低于70的人数至少要占80%以上，并且参赛者得分分数的平均数超过8（）分,

则该区可以评为“一马当先区”，估计该区能否评为“一马当先区”，并说明理由.（同一组中的数据用

该组区间的中点值作代表）

频率

福

0.040

0.035

0.030

0.025

0.020

0.015

0.010

0.005

O5060708090100*数

16.(15分)如图，力B是的直径，点C是。。上的动点，以垂直于所在的平面力8C,点b为线

段4C的中点,

(1)证明：平面aicL平面PFO；

(2)设PA=V§,AC=1,求点尸到平面P8C的距离.

角.

(1)求DB；

(2)求△4C。的面积.

18.(17分)2024年4月25日20时59分,搭载神舟十八号载人飞船的长征二号尸遥十八运载火箭在酒

泉卫星发射中心点火发射成功，实现了两个飞行乘组太空“会师”.下表记录了我国已发射成功的所有

神舟飞船的发射时间和飞行时长.

名称发射时间飞行时长

神舟一号1999年11月20日21小时11分

神舟二号2001年1月10日6天18小时22分

神舟三号2002年3月25日6天18小时39分

神舟四号2002年12月30日6天18小时36分

神舟五号2003年10月15021小时28分

神舟六号2005年10月12□4天19小时32分

神舟七号2008年9月25日2天20小时30分

神舟八号2011年11月1日16天

神舟九号2012年6月16日13天

神舟十号2013年6月11日15天

神舟十一号2016年10月17日32天

神舟十二号2021年6月17H3个月

神舟十三号2021年10月16□6个月

神舟十四号2022年6月5日6个月

神舟十五号2022年11月29日6个月

神舟1六号2023年5月30日5个月

神舟十七号2023年10月26日6个月

神舟十八号2024年4月25日预计6个月

为帮助同学们了解我国神舟6船的发展情况，某学校“航天社团”准备通过绘画、海报、数据统计图表

等形式宣传“神舟系列飞船之旅”.

（1）绘画组成员从表中所有的神舟飞船中随机选取1艘进行绘画，求选中的神舟飞船的发射时间恰好

是在10月份的概率；

（2）海报组4组成员从飞行时长（包括预计飞行时长）大于4个月的神舟飞船中随机选取2艘制作海

报；海报组8组成员从飞行时长（包括预计飞行时长）小于5天的神舟飞船中随机选取2艘制作海报,

两组选择互不影响，求两组选中的两艘神舟飞船的发射时间恰好都在1（）月或11月份的概率.

19.（17分）类比于二维平面中的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理；

如图1,由射线a1,PB,PC构成的三面角尸-/AC,ZAPC=a,NBPC=B，/APB=Y，二面角力-

PC-B的大小为仇则cosy=cosacosp+sinasin|Scos6.

(1)当a、§E(0,空)时，证明以上三面角余弦定理；

2

(2)如图2,四棱柱月8CQ-4181cl功中，平面44C1CL平面43CO,ZJiJC=60°,ZBAC=45Q,

①求的余弦值；

②在直线CG上是否存在点尸，使8P〃平面。小C?若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由.

图1图2

2023・2024学年山西省运城市高一（下）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

1.（5分）已知复:数z满足（z+3）/=3-/,则团=（）

A.V10B.4C.5D.2/6

【考点】复数的除法运算；复数的模.

【答案】C

【分析】根据条件，利用复数的运算，得到z=-4-3"即可求解.

【解答】解：因为（z+3）z=3-/,所以z+3=支L=-l-3i，得到z=-4-3i,

i

所以Iz|=7（-4）2+（-3）2=5-

故选：C.

2.（5分）已知平面向量z,三的夹角为三，满足弓|=1,（；-2E）I&则,1=（）

3

A.-1B.1C.AD.-A

55

【考点】平面向量数量积的性质及其运算；数量积判断两个平面向量的垂直关系.

【答案】B

【分析】根据题意，由向量垂直得出向量数量积为0,再应用数量积定义计算即可.

【解答】解：根据题意，平面向量之，％的夹角为三，满足q|=i,（a-2b）la»

3

221

则有（软-2b）•a=a-2a*b=|a|-2|a|*|b|cos-g~=1-2XIX|b|X—=0

变形可得：|b1=1.

故选：B.

3.（5分）在△力8c中，内角力，B,C的对边分别为a,b,c,若（q+力-c）Ca+b+c）=3ab,。=4,b=

2,则△力8。的面积是（）

A.2B.4C.2^3D.3

【考点】余弦定理.

【答案】C

【分析】由余弦定理求出C,再由面积公式求解即可.

【解答】解：(a+b-c)(a+8+c)=3ab=>a2+b2-c2=ab,

222

在△力8c中，由余弦定理得cosC=a+；b-c

因为0<CVTT,所以c吟，

则的面积是看absinc]X8义吟=2^

乙乙乙

故选：C.

4.（5分）抛掷一枚质地均匀的骰子2次，事件甲为“第一次徽子正面向上的数字是1”，事件乙为“两次

骰子正面向上的数字之和是4”，事件丙为“两次骰子正面向上的数字之和是8"，则（）

A.甲乙互斥B.乙丙互为对立

C.甲乙相互独立D.甲丙互斥

【考点】事件的互斥（互不相容）及互斥事件；相互独立事件的概率乘法公式.

【答案】D

【分析】利用互斥事件的定义，即可判断出选项48和。的正误，对于选项C,分别求出事件甲、事

件乙发生的概率，事件甲、乙同时发生的概率，再利用相互独立事件的判断方法，即可求解.

【解答】解：对于选项人当第二次骰子正面向上的数字是3时，事件甲与事件乙可以同时发生，所以

选项4错误；

对于选项从抛掷一枚质地均匀的骰子2次，正面向上的数字之和可能是2,3,4,5,6,7,8,9,

10,11,12,所以乙因互斥但不对立，故4错误：

对于选项C,设事件甲，事件乙发生的概率分别为。（/），P⑻，事件甲、乙同时发生的概率为P（/8）,

因为p（A）』，p（B）q--，又P（AB）」-所以尸（力）P（8）WP34）,故选项C错误；

6361236

对于选项。，因为事件甲与事件乙不能同时发生，所以甲丙互斥，故选项。正确.

故选：D.

5.（5分）已知平面a,p,直线加满足〃《仇alp,则是“加〃0”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；充分条件与必要条件.

【答案】A

【分析】平面a,p,直线用满足加邙,a±p,则_La”n“机〃0”，反之不一定成立.即可判断出

关系.

【解答】解:平面a,p,直线机满足〃a邛,则“〃?_L(x"="〃?〃0”，反之不一定成立，可能〃?

//a.

・•・平面a,p,直线“满足mUR,alp,则_La”是的充分不必要条件.

故选：A.

(屈+而

6.|：5分)2\48。中，内角4,8,。的对边分别为〃,6,6,若〃8$8=230”-bcosA且IAB|'lACl)・BC=O

则。的形状是()

A.有一个角是三的等腰三角形

6

B.等边三角形

C.三边均不相等的直角三角形

D.等腰直角三角形

【考点】平面向量数量积的性质及其运算.

【答案】B

【分析】由4cos8=2ccos4-加os/根据正弦定理和两角和的正弦公式可求得人号，再根据

(宜+正)•正=0可得△/8。是等腰二角形，即可判断・

lABl'lACl

【解答】解：由acosB=2ccosA-bcosA及正弦定理,

可.得sinJcos5=2sinCcosJ-sin8cos4,

即sin/IcosZ?+sinZ?cosJ=2sinCcosJ,

所以sin(A+B)=sinC=2sinCcos/i>

因为CW(0,IT),所以sinCHO,所以cosA=g

2

又AW(0,IT),所以A吟，

如图所示，

A

/<K

ROC

在边48、月。上分别取点。、E,使标二里一,7gh斐

lABllACl

以力。、北为邻边作平行四边形力。尸E,则您二标+标,

显然|菽|=|标1=1，因此平行四边形力。所为菱形，4F平分NB4C,

又《典42.)•它=o,pliJWAF-BC=0.BPAF±BC,

lABlIACI

于是得△/以?是等腰三角形，所以/必=/C

又A吟，所以△H8C为等边三角形.

故选：B.

7.（5分）某次趣味运动会，设置了教师足球射门比赛：教师射门，学生守门.已知参与射门比赛的教师

有60名，进球数的平均值和方差分别是3和13,其中男教师进球数的平均值和方差分别是4和8,女

教师进球数的平均值为2,则女教师进球数的方差为（）

A.15B.16C.17D.18

【考点】平均数；方差.

【答案】B

【分析】设参加射门比赛的男教师人数为上，根据总体的平均数求出上设女教师进球数的方差为P

根据方差公式计算可得.

4k

【解答】解：设参加射门比赛的男教师人数为A,则全部参赛教师进球数的平均数+（6祭）X2.会

解得％=30,即参赛的男女教师各有3（）人，

设女教师进球数的方差为$2,

依题意可得13嗡X[8+（4-3）2]喘X[S2+（2-3）2]»解得$2=16.

故选：B.

8.（5分）在梯形ABCD中，AD//BC,ABLBC,AB=1,月。=3,BC=4,点、P为边AD上一动点，则而-CP

的取值范围为（）

A.[V2-4,V5-4]B.[-2,1]C.[-3,1]D.[1,5]

【考点】平面向量数量积的性质及其运算.

【答案】C

【分析】根据条件，建立平面直角坐标系，设P(0,b)(OOW3),从而得至IJ丽•赤=(b-2)2-3,

即可示可求出结果.

【解答】解：如图，建立平面直角坐标系，

因为/Q〃8C,AB±BC,/出=1,力。=3,4c=4,

所以8(1,0),C(1,4),

设〃(0,b)(0Wb03),所以而=(-1,b),CP=(-1,b-4>

得至I］而-CP=l+b2-4b=(b-2)2-3，

因为0<b<3,所以而•不E［-3,1］，

故选：C.

x

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全

部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

(多选)9.(6分)在复平面内，复数zi=l2i,zz=3I4i对应的向量为GA,gg,其中。是原点，则

下列说法正确的是()

A.复数zi的虚部为・2i

B.复数元对应的点在第•象限

C.当。=-4时，复数a+z9i?为纯虚数

D.向量屈对应的复数为4-6，

【考点】复数对应复平面中的点；纯虚数.

【答案】BC

【分析】选项/，利用复数的定义可知选项力错误；利用复数的几何意义，即可判断出选项5和。的

正误；选项C，利用复数的运算，即可判断出选项C的正误.

【解答】解：对于选项/,因为zi=l-2i,所以复数zi的虚部为-2,故选项/错误，

对于选项从因为zi=l-23所以石=l+2i，故复数W对应的点为（1，2）,在第一象限，所以选项

8正确，

对于选项C,因为Z2=・3+4/',又。=-4,所以a+zN3=-4+（-3+4i）i3=-4+3i-4i2=3i，故选项

C正确，

对于选项。，因为赢=（1,-2）,0B=（-3,4>所以标=丽-赢=（-4,6），

得到向量标对应的复数为-4+6人所以选项。错误.

故选：BC.

（多选）10.（6分）正六边形瓷砖是一种常见的装饰材料，被广泛应用于室内和室外的墙壁、地面和装饰

品的制作.正六边形瓷砖的设计能够形成美观的六边形花纹，增加空间的层次感和艺术感.如图是一块

正.六边形瓷就ABCDEF,它的边长为1,点尸是内部（包括边界）的动点，则下列说法正确的

是（）

AD

A.ED=yFD-yS

FD-AE-I

4

C.若P为EF的中点,而在丽h的投影向量为-而

D.|m+祚|的最大值为由

【考点】平面向量数量积的性质及其运算；平面向量的投影句量.

【答案】ACD

【分析】选项4,根据图形，利用向量的几何运算，即可求解；选项E,因为而二血，再利用数量积的

定义，再利用正六边形的性质得AC=AE=«，NCAE=2L，即可求解；选项G由正六边形的性质知

3

/PEC二三，再利用数量积的几何意义，即可求解，选项D，建立平面直角坐标系，设。（x，y）,

2

-1<04内堂"，存到|FE+FP|+冬）2,即可求解・

【解答】解:对于/,如图1,因为而二而-同=而-（定-而）=而-标+屈,

且您二而二而一而二而-2而所以而二而-蕊+而-2而,

即3ED二FD-AE，所以而N•而」■前故力正确;

33

对于8,如图1,因为标=正且正六边形的边长为1,

所以由余弦定埋得：AC=AE=J1+1-2XIXIX（：0」|二八囱

且加£工工三

―3663

所以而•标=血•标=|ACIIAE|cosZCAE=V3X«Xcos工萼，故8错误;

32

对于c,如图1,由正六边形的性质知，NPEC=?L，

2

所以而在冠上的投影向量为-而，故C正确：

对于。，如图2,建立平面直角坐标系,

图2

设P(x,y),且一F(-1,0),E(」•，—)»

乙乙乙乙

所以而=g，券＞FP=（x+1,y＞

所以而+而二鼠或，y哼＞即同+而|小芳）2+（丫噜）2,

所以当X」，y小巨，即点尸与点。重合时，|荏+而|取得最大，

22

此时闻+而|』*4）2+（年专）2=5,故|同+而|的最大值为小，故。正确.

故选：ACD.

（多选）11.（6分-）正方体月68■小61aoi的棱K为2,E,F,G分别为SC,CCi，661的中点，点P

为线段4G上的动点，则下列结论正确的是（）

A.直线即与小G所成角的余弦值为M亘

10

B.三棱锥P-/1E产的体积为定值

C.平面NE/截正方体所得的戴面周长为3&+K而

D.直线4户与平面囱6CG所成角的正弦值为近

3

【考点】几何法求解直线与平面所成的角；棱锥的体积；异面直线及其所成的角.

【答案】ABC

【分析】对于力，取41a中点从连接GH得GH//EF,则求出N/iG”的余弦值即为直线月/与4G

所成角余弦值，判断出力的真假；对于8,连接力。|、FDi，证明力。1〃E兄即可得到平面4"'截正

方体所得的截面图形为四边形力。尸£证明4G〃平面力。尸G结合棱锥的体积公式即可判断出8的

真假；对于C,由选项8即可得到截面的图形，进而根据数据直接求解，即可判断出〃的真假：对于。,

根据线面角定义以及正方体性质可得到//总是直线力/与平面B'BCCi所成的角，求出N/心的正弦

值即可得解，判断出。的真假.

【解答】解：对于力，取31cl中点"连接G"、A\H.BC\,

则由题意可知AiH二AiGRAIBJ+BIG?，CIG:在萨=V12+12;瓜RGH〃BCi〃EF,

所以/A\GH是直线E/7与小G所成角或补角，且

A]G2.H2_A|H2近2啦2飞2国

cosZAjGH-2A1G-GH-2X束X右一]0，

所以直线£〃与小G所成角余弦值为®U,故彳正确；

10

对于8,连接力Oi，FDi，

由正方体几何性质可知48〃;)Ci且48=OCi，

所以四边形XAGQi是平行四辿形，故力"〃3。，

又BC\〃EF,所以故4。1与£『共面且过月。1与功的面有且只有一个，

故四边形AD\FE是平面AEF截正方体所得的截面图形，

连接GR则由G、尸均为所在边的中点以及正方体性质得G/7〃田且GE=8iCi=/h。，

故小G//DF，乂。iRz平面/。|尸E,小GC平面4D1FE,

所以4G〃平面AD\FE,故点P到平面AEF的距离即为G到平面AEF的距离,

所以夕三枝艳尸-&，/,=＞三校推G-月"为定值，即三极锥尸-力£尸的体积为定值，故选项8正确；

对于C,由8可知平面AEF截正方体所得的截面图形为四边形ADiFE,

2222

又由上以及题意得A[E=D]F=A1G=病，FE=7EC+FC=71+1=V2»AD1=FE=2^/2-

所以平面4E”截正方体所得的截面周长为AD[+D[F+FE+AE=2&+V5+V2+V5=3^2+2作，故。

正确：

对于。,连接8户,

以c

由正方体性质可知48人平面B\BCC\,

故N4FB是直线力尸与平面BTBCCI所成的角，

又AB=2,BF=VBC2+FC2=722+12=V5-AF=7AB2+BF2=V22+7B2

所以sin/AFB也上，故直线/尸与平面8山CO所成角的正弦值为2,故。错,

AF33

故选：ABC.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.(5分)已知数据2xi+l,2m+1，2x3+1,2x4+1,2x5+1的方差为16,则数据3xi-2,3x2-2,3x3-2,

3x4-2,3x5・2的方差为36

【考点】方差.

【答案】36.

【分析】根据Sx]-2]（2xj+l）2,3,4,5）以及方差性质即可得解・

【解答】解:因为3、「2持（2?+1）3（㈠1，2,3,4,5)，

又数据2叫+1,2x2+1，2x3+1，2x4+1，2灯+1的方差为16,

所以由方差性质得数据3x1-2,3x2-2,3.盯-2,3x4-2,30-2的方差为亳）x16=时

故答案为：36.

13.（5分）己知相互独立事件4夕满足尸（4）=0.6,P（4B）=0.42,则P（AljH）=072.

【考点】相互独立事件的概率乘法公式.

【答案】0.72.

【分析】根据独立事件乘枳概率公式及对立事件概率计算即可.

【解答】解：因为相互独立事件4B,P(A)=0.6,P(AB)=0.42,

所以0(AB)=尸(J)P(B)=0.6XP(5)=0.42,

所以P(B)=0.7,P(B)=l-P(B)=0.3,

所以P(AUF)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=O.6+0.3-0.6X0.3=0.71

故答案为：0.72.

14.（5分）已知正三棱台上、下底面边长分别为近和蓊，侧面与下底面所成的二面角为6。°,则该正

三棱台外接球的表面积为

4

【考点】球的表面枳.

【答案】112L.

4

【分析】画出图形，由正三楼台的对称性可得，正三棱台的外接球的球心落在上底面中心与下底面中心

的连线上，先求出三棱台的高，再由外切球的性质得到外接球的半径，即可求解.

【解答】解：如图，设正三棱台上、下底面的中心分别为。，02,AC,小。的中点分别为E,F,

O

连接8区BiF,EF,。。2，由正三棱台的性质可知8£_L4C,EFLAC,

所以/用8为侧面与下底面所成的二面角的平面角，

易知正三棱台外接球的球心在直线0。2上，设球心为O,妇图所示，过尸作上于"

因为正三棱台上、下底面边长分别为鱼和所以B]F旦，BE=3，

2

因为Q,Q分别为△48C,△小SCi的中心，所以op。，OnB,=1*0出=1,OiB=2,

‘2z】

在心△"/£•中，EH=1-工△，/FEH=60°,所以FH=亚，

222

又30小FH二近，设0。2=仇正三棱台外接球的外接球半径为R,

122

由222

ROOBOO2+032，得到卜2+1=（11^4~）?+4，解得

2+211

所以球心在02（91的延长线匕得至IJR2/1卫，

1616

所以正三棱台外接球的表面积为s=4兀R2至L.

4

故答案为：空L.

4

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（13分）北京大兴半程马拉松暨第八届“花绘北京悦跑大兴”于2024年4月27日在大兴区魏善庄镇

呜枪开跑，参赛规模为6000人并设有两个项目，为让更多的人了解马拉松运动项目，某区举办了马拉

松知识竞赛，并从中随机抽取了〃，名参赛者的成绩，得到的数据如F表所示:

分数[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100)

频数5102030b

频率a0.100.200.300.35

（1）分别求〃?，a，b的值，并在图中画出频率分布直方图；

（2）若参赛者得分分数不低于70的人数至少要占80%以L,并且参赛者得分分数的平均数超过80分,

则该区可以评为“一马当先区”，估计该区能否评为“一马当先区”，并说明理由.（同一组中的数据用

该组区间的中点值作代表）

▲频率

0.040

0.035

0.030

0.025

0.020

0.015

0.010

0.005

^3060708090100方数

【考点】频率分布直方图的应用；画频率分布直方图.

【答案】（1）。=0.05,加=100,6=35,频率分布直方图如下所示:

（2）该区可以评为“一马当先区”，理由见解析.

【分析】（1）根据频率之和为1以及表格所给数据可依次得可得。、加、力的值，接着明确每组数据的点言

组距

的值即可得频率分布直方图；

（2）根据题中所给数据算出分数不低］-70的频率以及参赛者得分分数的平均数即可判断得解.

【解答】解：（1）由a+0.10+Q20+0.30+0.35=1,解得@=0.05,

由表格数据得m：3-二100,5=0.35X100=35,

0•1

因为每组的萼墓分别为O.OOf,0.010,0.020,0.030,0.035,

组距

所以频率分布直方图如下所示：

频率

八丽

0.040

0.035

0.030

0.025

0.020

0.015

0.010

0.005

O多数

(2)该区可以评为“一马当先区”，理由如下：

因为参赛者得分分数不低于70的频率为0.2+0.30+0.35=U.X5>80%,

所以满足参赛者得分分数不低于70的人数至少要占80%以上，

又参赛者得分分数的平均数为：

55X0.05+65X0.10+75X0.20+85X0.30+95X0.35=83>80,

所以该区可以评为“一马当先区”.

16.(15分)如图，力4是。。的直径，点。是00上的动点，以垂直于OO所在的平面月3C,'*'：F为线

段/C的中点，

(1)证明：平面以。_1_平面P/7。；

(2)设PA=V§,AC=1,求点尸到平面0的距离.

【考点】空间中点到平面的距离；平面与平面垂直.

【答案】(1)证明见解析；

(2)近.

4

【分析】(1)根据条件得到4dC,利用线面垂直的性质得到6cLi从而得到6C_L平面&C,再

利用和面面垂直的判定定理，即可证明结果;

（2）过4作PC垂线，根据条件得到4O_L平面夕8C,利用几何关系得到的巫,

从而可求出结果.

2

【解答】解：（1）证明：・・18是。。的直径，・・・4CL4C,

又巴垂直于0。所在的平面48C,BCu平面力8C,

；・BC上AP,y.ACC\AP=A,AC,XPu平面HC,

，8C_L平面R/C,

又点尸为线段力。的中点，，。〃〃次?，

平面以C,又OFu平面POF,

工平面HCJ•平面PFO；

（2）如图，过/作PC垂线，垂足为。.

C

由（1）知8CJ_平面为C,8CU平面尸8C,

・•・平面R1CJ_平面尸8C,平面以CA平面P8C=PC,力。＜=平面玄。,

."O"L平面PBC,即AD为点A到平面PBC的距离，

又PA=«，AC=1,以垂直于。。所在的平面48c

J.PAYAC,/.PC=7PA2+AC2=2,

在中，s=4PA・AC】PC・AD，

APAC乙乙

・•・AD.A・AC.N1,即点A到平面P8C的距离为近，

PC22

为线段AC的中点，点F到平面P8C的距离为点A到平面P8C的距离的一半,

・•・点F到平面PBC的距离为叵.

4

17.（15分）如图，四边形48C0中，ZDAB=ZDCB=^,AB=3,BC=2,"醇且N48C为锐

2

角.

(1)求。8；

(2)求△XCO的面积.

【考点】解三角形；正弦定理；余弦定理.

【答案】（1）6。=会巨1；

3

（2）△4。的面积为1.

3

【分析】（1）已知力8、8C的值，运用三角形面积公式求出sinNZBC的值，再结合余弦定理，以及外

接圆公式，即可求解.

（2）分别在△力80,△5C。中，运用勾股定理可得力。，CD,再结合三角形的面积公式，即可求解.

：・工4S•60sinN46C=•22Z1_,

【解答】解：（1）；

VAABC3^3",

S=22

又AB=3,BC=2,-lx3X2XsinZJ^C=.^ZI

22

・・・sinN力

2

。是锐角，/.ZABC=—•

3

由余弦定理可得AC2=AB2+BC2-2WBC・3SNABC=7,则AC=^7.

•••/DAB二NDCB?，'BQ是四边形力8co外接圆的直径,

2

:・B。是△/BC外接圆的直径，利用正弦定理知BD=―4—=V7X2=2V21.

sinZABC7T3

—,〃。=2/辽，AB=3,BC=2,

⑵由NDAB:NDCB-

23

则除，6=华，又NABC=?，则NADC;三

oOu0

因此Sa/co=Lo・CQ・sinN/!DC=」x2Zl_xJ^_X®=®,

223323

故△4CQ的面积为返

3

18.（17分）2024年4月25日20时59分,搭载神舟十八号载人飞船的长征二号尸遥十八运载火箭在酒

泉卫星发射中心点火发射成功，实现了两个飞行乘组太空“会师”.下表记录了我国已发射成功的所有

神舟飞船的发射时间和飞行时长.

名称发射时间飞行时长

神舟一号1999年11月20日21小时11分

神舟二号2001年1月10日6天18小时22分

神舟三号2002年3月25口6天18小时39分

神舟四号2002年12月30日6天18小时36分

神舟五号2003年10月15日21小时28分

神舟六号2005年10月1204天19小时32分

神舟七号2008年9月25日2天20小时30分

神舟八号2011年11月1日16天

神舟九号2012年6月16日13天

神舟十号2013年6月11口15天

神舟十一号2016年10月17日32天

神舟十二号2021年6月17日3个月

神舟十三号2021年10月16日6个月

神舟十四号