第19章 数据的分析（知识清单）-华东师大版八年级数学下册【含答案】

第19章数据的分析

思维导图

知识清单

1.平均数：一组数据的总和除以数据的个数，即7=…+%)；

2.加权平均数：当各项数据的重要程度(权重)不同时.

3.平均数特点：利用所有数据信息；极易受极端值的影响.

4.中位数：将一组数据按大小顺序排列后，处于中间位置的数；第一步：按大小排序；第

二步：若〃为奇数：取正中间那个数，若〃为偶数：取正中间两个数的平均数.

5.中位数特点：不受极端值影响；代表数据的“中等水平''：

6.众数：一组数据中出现次数最多的那个数据；一组数据可以有一个众数、多个众数，也

可以没有众数；

7.众数特点：不受极端值影响，代表数据的“多数水平”或“普遍情况”；

8.方差：各数据与平均数的差的平方的平均数.用来衡量数据的波动大小，即

--

S?[(再一司-+(x2-x)+...+(xfl-x)l；

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9.方差特点：方差越大，数据波动越大，越不稳定；方差越小，数据波动越小，越稳定;

注意：方差的单位是原数据单位的平方；

10.箱线图：五数概括：最小值、下四分位数、中位数,上四分位数、最大值.

易错总结

一、关于“平均数''与"加权平均数”的易错点

1.混淆“算术平均数”与“加权平均数”

错误：在计算总评成绩、混合单价等问题时，直接将几个数值相加除以个数，忽略了各项指

标所占的权重（比例）不同.

注意：看到“占比”、“比重”、“权”等字眼，必须使用加权平均数公式.权重之和必须为1（或

100%）.

2.频数分布表/图中的平均数计算错误

错误：在利用分组数据（如身高区间、分数段）计算平均数时，直接使用区间的端点值，或

者忘记乘以频数.

注意：必须取每组的组中值（该组上限与下限的平均数）作为该组数据的代表值，再乘以频

数求和，最后除以总频数.

3.对平均数受极端值影响认识不足

错误：认为平均数一定能代表整体水平.当数据中存在极大或极小的异常值（如老板的高薪

拉高了员工平均工资）时，仍盲目使用平均数来描述“一般水平”.

关键：平均数很“敏感”，任何一个数据变动都会引起平均数变动，且极易受极端值干扰.

二、关于“中位数”与“众数”的易错点

1.求中位数前未排序

错误：拿到一组数据，直接找位置在中间的数，而忽略了必须先由小到大（或由大到小）.

注意：必须先由小到大（或由大到小）.

2.偶数个数据时中位数计算错误

错误：当数据个数为偶数时，只取了中间两个数中的某一个，或者将两个数相加却忘记除以

2.

纠正：奇数个取正中间一个；偶数个取正中间两个的平均数.中位数不一定在原数据中出现,

但一定是排序后位置居中¥J数值.

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3.对“众数”概念的误解

错误：认为一组数据只有一个众数.实际上，众数可以有一个、多个，也可以没有（当所有

数据出现次数相同时）..

注意：众数可以有一个、多个，也可以没有.

三、关于“方差”与“离散程度”的易错点

I.方差计算公式记忆混淆

错误：忘记平方：忘记求平均：平均数算错导致后续全错.

规则：口诀“先平均，再求差，然后平方，最后求和再平均”.

2.对方差实际意义的理解偏差

错误：认为方差越大越好，或者无法将方差大小与“稳定性”联系起来.

建议：方差越小，数据波动越小，越稳定；方差越大，数据波动越大，越不稳定.

四、综合应用与统计量选择的易错点

1.机械套用，不看情境

错误：无论什么题目，习惯性地只算平均数.

注意：关注多数人的意愿（如进货、选举、最爱吃的水果）：选众数；关注中等水平，且数

据中有极端值（如工资、房价、比赛打分去掉最高最低分）：选中位数：关注总体平均水平,

且数据分布相对均匀：选平均数；关注稳定性（如成绩波动、产品质量）：选方差.

2.对“箱线图”新知识的忽视

错误：教材新增了“箱线图”内容，学生容易忽略其含义.

注意：箱体包含了中间5C%的数据；中位数线在箱体内的位置反映偏态（偏向哪边说明哪

边数据更密集）；须线（Whiskers）的长度反映数据的离散范围，超出须线的点通常被视为

异常值.

易错训练

1.某学校八年级一班学生45人，二班学生50人.某次测试，一班的平均分是80分，二班

的平均分是84.5分，那么两个班的总平均分是分（精确到0.1）.

2.已知下面的一组数据：7,10,x,4,0,3,它们的平均数为5,那么x=（）

A.6B.5C.4D.3

3.张同学参加以“诵读经典伴我行•浸润书香促成长”为主题的演讲比赛，其演讲形象、演讲

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内容、演讲效果三项成绩分别是9分、10分、8分.若将演讲形象、演讲内容、演讲效果三

项成绩按3:5:2的比例确定最终成绩，则张同学的最终比赛成绩是分.

4.某校招聘教师，其中•名教师的笔试成绩是80分，面试成绩是90分，若笔试成绩与面

试成绩在综合成绩中的权重分别是40%,60%,则该教师的综合成绩为分.

5.某学校举行了八年级学生演讲比赛，对参赛者的“内容”“表达”“逻辑”“台风"互动”五个方

面进行评分（各方面均为百分制）.已知小明五项得分的算术平均数为87分，若将“内容”“表

达,,“逻辑X台风”“q动,，五个方面评分的权重分别设为10%,30%,20%,20%,20%,则

小明五项得分的加权平均数为86分.那么以下结论中，正确的是（）

A.重新设置权重前,小明五项得分的总分是430分

B.重新设置权重前，小明的“内容”得分超过87分

C.重新设置权重前，小明的“内容”得分比“表达”得分高

D.重新设胃权重前，小明的“内容”得分比“逻辑”得分高

6.为了解学生体质健康状况，体育老师随机抽取班上10名学生进行立定跳远测试，其成绩

（单位:cm）如下：235,210,238,235,240,239,216,239,235,237.这组数据的

中位数和众数分别是（）

A.236,235B.236,239C.235,236D.235,235

7.已知一组数据。，2,4,8,6的中位数是6,那么a可以是（）

A.2B.4C.5D.6

8.2025年1月，中共中央、国务院印发《教育强国建设规划纲要（2024-2035年）》，其中

就提出了中小学生每天综合体育活动时间不低于2小时口勺要求.某校为了解学生的综合体育

活动情况，对部分学生在一周内的综合体育活动时间统计如下表：

时间/h1213141516

人数12201053

则这些学生的综合体育活动时间的众数是h.

9.若一组数据x,3,1,6,3的平均数和众数相等，求x的值.

10.在一次校园歌唱选拔比赛中，小明成绩为86分，超过本小组一半选手的成绩，分析得

出这个结论所用的统计量是（）

A.平均数B.众数C.中位数D.方差

11.已知一组不全等的数据：可巧，巧…%，平均数是2026,方差是2027.则新数据:

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2026,孙孙七…七的平均数是,方差2027（填"=、＞或＜"）.

12.在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为13,15,7,9,12.要使个数相差较小

的同学分在一组，下表是4种分法的组内离差平方和（结果保留小数点后一位）

分组第一组离差平方和第二组离差平方和组内离差平方和

第1个间隔018.818.8

第2个间隔24.76.7

第3个间隔12.7214.7

第4个间隔22.8022.8

根据组内离差平方和最小原则，把这5名同学引体向上的个数分为两组，卜列分组正确的是

（）

A.{7}和{9,12,13,15}B.{7,9}却{12,13,15}

C.{7,9,12}和{13,15}D.{7,9,12,13}和{15}

13.某组数据对应的箱线图如图所示，该组数据的下四分位数为（）

16132136144162

A.124B.132C.134D.144

14.某校为了增强学生的文化自信，举办了“品经典风韵•展文化自信"书香文化节知识竞赛、

赛后随机抽取八、九年级各6名参赛同学的竞赛成绩（单位：分），并对数据进行收集、整

理、分析如下：

【收集数据】

八年级：60,70,85,95,96,100；

九年级：96,93,93,87,80,70.

【描述、整理数据】

【分析数据】

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八、九年级参赛同学的

比郎成绩新线图刈试或细

100--------44K)

70，70-70

■I

6o|——1~~60----------------------:

八年级九年级

根据以上信息，解答下列问题：

(1)八年级竞赛成绩的中位数为一分，九年级竞赛成绩的下四分位数为一分；

(2)补全箱线图，根据箱线图请判断一年级的成绩更集中：(填“八”或“九”)

(3)已知八年级成绩的方差为215?,九年级成绩的方差为81高，学校打算选派成绩更稔定

的年级参加市级竞赛，你认为学校应选派哪个年级夫参加竞赛？请说明理由.

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1.82.4

【分析】本题考查了平均数的求解，先计算两个班的总分数和总人数，再求总平均分，最后

精确到0.1分即可.

【详解】解：一班总分数为45x80=3600（分），

二班总分数为50x84.5=4225（分）,

两个班总分数为3600+4225=7825（分），

总人数为45+50=95（人）,

总平均分为7825+95*82.4（分），

故答案为：82.4.

2.A

【分析】根据平均数的定义，总和等于平均数乘以数据个数，从而列出方程求解x.本题

考杳平均数的计算,直接利用定义即可求解.

【详解】解：数据个数为6,平均数为5,

总和=5x6=30.

又已知数据中除x外其余各项之和为7+10+4+0+3=24,

...X=30-24=6.

故选：A.

3.9.3

【分析】本题考查加权平均数的计算，需将各项成绩按给定权重比例进行加权求和，再除以

权重总和即可.

【详解】解：权重之和为3+5+2=10,

it9x3+10x5+8x227+50+1693八、/八、

因此最终成绩为---------------=——-——=—=93（分）.

故答案为：93.

4.86

【分析】本题考查加权平均数及其计算，是中考的常考知识点，熟练掌握其计算方法是解题

的关键.

根据加权平均数的计算方法，综合成绩等于笔试成绩乘以权重加上面试成绩乘以权重.

【详解】解：根据题意，该教师的综合成绩为：80x40%+90x60%=32+54=86（分），

故答案为：86.

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5.C

【分析】本题考查了算术平均数，加权平均数.

根据题意即可判断A：设内容、表达、逻辑、台风、互动的得分分别为C、E、L、T、

H,求出E=C-10即可判断C,根据己知条件无法判断B、D.

【详解】解：设内容、表达、逻辑、台风、互动的得分分别为C、E、L、T、H.

根据题意：算术平均数为87分，故C+E+£+T+〃=5x87=435,故A错误；

力口权平均数为86分，故0.1C+0.3E+0.2£+0.27'+0.2〃=86,

将加权平均方程两边乘以100,得：

10C+30石+20L+20T+20/7=8600

将算术平均方程两边乘以20,得：

20C+20E+20L+20T+20H=8700

两式相减,得：

-10C+10£，=-100,

即E=C-10,故C正确；

根据已知条件无法判断B.D.

故选：C.

6.A

【分析】本题考查了求一组数据中位数和众数，熟练掌握求一组数据中位数和众数是关

键.因为数据是偶数个，所以计算中位数时需将数据排序后取中间两数的平均值，众数为出

现次数最多的数，据此求解即可.

【详解】解：10名学生立定跳远测试成绩排序后为:210,216,235,235,235,237.

238,239,239,240,

其中第5和第6个数据为235,237,

235+237

所以这组数据的中位数是2=236；

因为出现次数最多的数据是235,

所以这组数据的众数是235.

故选：A.

7.D

【分析】本题考查中位数的定义.需根据中位数概念，结合数据排序后中位数为6的条件确

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定a的取值范围，再匹配选项即可.

【详解】解：•.・中位数的定义是将一组数据从小到大（或从大到小）排列后，若数据个数为

奇数，则中位数为中间位置的数：若为偶数，则为中间两个数的平均数.

・•・这组数据共5个（奇数个），中位数为排序后的第3个数，且题目规定中位数为6.

将已知数据从小到大排列：2,4,6,8.

要使排序后第3个数为6,则a26.

观察选项，只有D选项的6满足aN6的条件.

故选：D

8.13

【分析】本题考杳众数的定义，众数是指一组数据中出现次数最多的数据.关键是通过观察

表格，找出对应学生人数最多的综合体育活动时间，该时间即为这组数据的众数.

【详解】解：观察表格中的数据可知,综合体育活动时间为13h的学牛人数最多，有20人.

因此这些学生的综合体育活动时间的众数是13h.

故答案为：13.

9.x=2

【分析】本题考查了平均数和众数，熟练掌握相关概念是解题的关键：

根据平均数和众数的概念进行计算.

【详解】解：•.•平均数和众数相等，

二众数只有一个，

这组数据的众数为3,

.,.g（x+3+l+6+3）=3,

解得x=2.

10.C

【分析】本题考查统计量的意义，需结合各统计量的定义，匹配题目描述判断所用统计

量.熟知中位数的定义是解答的关键.

【详解】解：•.•中位数的定义是将一组数据从小到大（或从大到小）排列后，处于中间位置

的数（若数据个数为偶数，则是中间两个数的平均数），它能反映一组数据的中间水平，当

成绩超过中位数时，说明超过了本小组一半选手的成绩

•••平均数反映数据的平均水平，众数反映数据中出现次数最多的数，方差反映数据的波动程

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度，均不符合题意，

•••符合题意的统计量是中位数，

故选：C.

11.2026<

【分析】本题主要考查了平均数与方差的计算，根据平均数和方差的定义，先表示出原数据

的总和与方差的分子部分，再代入新数据的平均数和方差公式计算，比较大小即可.

【详解】解：•••士，孙七…替的平均数是2026,方差是2027,

X(X]+x2+x3+...+)=2026,

(X-2026)2+(x-2026)2+...+(x,-2026)1=2027,

晓=H'2

由此可得X]++…+Xn=2026〃

22

(X,-2026)+(x2-2026)2十十(4一2026)=2027〃,

则新数据2026，不叼巧…玉的平均数为：

—!-j-x(2026+x]+x2+x3+…+/)=—!~^X(2026+2026〃)==2026,

新数据的方差为：

S；=—T(2026-2026『十(司一2026)2+(6_2026)?+...+(x“一2026)[

〃+1L」

二迎乂<2027,BPS,2<2027.

77+1

故答案为：2026：<.

12.B

【分析】本题主要考查了利用离差平方和进行分组，解题的关键是掌握离差平方和的定义.

根据组内离差平方和最小原则，选取间隔，然后根据离差平方和逐项进行验证即可.

【详解】解：根据组内离差平方和最小原则，选取第2个间隔，

A.{7}的平均数为7,离差平方和为(7-7)2=0,

{9,12,13,15}的平均数为二十二+13-15一%,

答案第4页，共6页

离差平方和为(9-12.25y+(12-12.25『+(13-12.25y+(15-12.25)2=18.8,

组内离差平方和为0+18.8=18.8；

B.{7,9}的平均数为彳=8,离差平方和为(7-8『+(9-8)2=2,

{12,13,15)的平均数为—+；+15=三,

离差平方和为(12-与J