高考数学：三角函数与解三角形 弧度制、任意角的三角函数 （学生版）

三角函数与解三角形

弧度制、任意角的三角函数

激活思维

1.（教材经典题）若〃为第一象限角，则褪（）

A.第一象限角B.第二象限角

C.第一或第二象限角D.第一或第三象限角

2.下列各式不正确的是（)

A.-210°=-^B.405。—,

O

C.335。—公D.705,—誉

1乙

|sina\cosa,,—日,、

3.当a为第二象限角时，的值7)

sina|cosa|

A.1B.0

C.2D.-2

4.（多选）已知角。的终边上有一点夕（“2/，若〃VO,贝lj（)

A.sin<9=一乎

B.sin0-

-1

C.tan0Z1=-2D.tan.9=2

5.（教材经典题改编）已知圆心角为韵勺扇形所对的弧长为2兀，则该扇形的面

积为.

聚焦知识

1.角的概念的推广

平面内一条射线绕着________从一个位置旋转到另一个位置

定义

所形成的图形

按旋转方向

分类

按终边位置一、轴线角

所有与角。终边相同的角，连同角。在内，可构成一个集合S

终边相同的角

=｛邵=a+2E,kRZ\

2.弧度制的定义和公式

定义长度等于—的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad

角a的弧度数公式|a|="(/表示弧长)

①1°—180"d；

角度与弧度的换算

公式

②1rad=(祟)。

弧长公式1=______

扇形面积公式s=______=_______

注意：在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用.

3,任意角的三角函数

三角函数正弦余弦正切

设P(X,y)是角a终丈U上异于原点的任意一点，其到原点。的

距离为r

乂V

tan

sina=cos

r

(#0)

各象I+++

限符n+——

号in——+

4.常见结论

⑴6,1的终边关于x轴对称台6=一a+2E,kez.

(2)夕，。的终边关于)，轴对称0夕=71—仪+2依，k《Z.

(3)夕，1的终边关于原点对称台4=兀+〃+2而，kRZ.

题型突破思维拓展

举题说法

目帧M象限角及其表示

371

例1(1)若夕是第二象限角，则节十。是()

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

(2)已知角a的终边在如图所示的阴影部分所表示的范围内(不包括边界),

那么角«用集合可表示为.

・总结提炼＞

(1)象限角

第一象限角){a[2E<a<2E+下.AEZ}

第二象F艮角){a|2履+~!"<a<2而+九AEZ}

第三象限角){碓反+”<。<2而+孝.A£Z}

第四象限角]{a\2kn+^<a<2kn+2n.AGZ,

(2)轴线角

△(―终边落在*轴上的向{a|a=E.££Z}

您--[终边落在.v轴上的角){a[a=*+&兀〃£Z}

柒-

\7k终边落在坐标轴上的角)卜依等

变式1(多选)若，是第二象限角，则下列说法正确的是()

A.一。是第三象限角

B.今是第三象限角

C.百十a是第二象限角

D.2a是第三或第四象限角或终边在)，轴负半轴上

口帧间弧度制与扇形的弧长、面积公式

例2已知一扇形的圆心角为a,半径为R,弧长为/.

(1)若a=60。,R=1()cm,求扇形的弧长/;

⑵已知扇形的周长为1()cm,面积是4cm2,求扇形的圆心角；

(3)若扇形的周长为20cm,当扇形的圆心角。为多少弧度时，这个扇形的

面积最大?

＜总结提燎A

应用弧度制解决问题的方法

(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.

(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方

法使问题得到解决.

(3)在解决孤长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心南所在的三角形.

变式2如图⑴是一幅扇形玉雕壁画，其平面图为图⑵所示的扇形环面(由

扇形OC0挖去扇形后构成).已知该扇形玉雕壁画的周长为320cm.

图⑴

o

图⑵

(1)若00=20A=80cm,求该扇形玉雕壁画的曲边CO的长度;

(2)若4。=2。4,求该扇形玉雕壁画的扇面面积的最大值.

目帧闻任意角的三角函数

例3(1)(2025•滁州一模)已知角a的始边与x轴的非负半轴重合，终边上

....1+tana1

有一2),则n^^一^^=)

44

---

Ac.33

55

-B.-

-3D.3

(2)(多选)在平面直角坐标系戈Oy中，角a的顶点为原点O,始边为x轴的非

负半轴，终边经过点P(l,〃?)(/〃V())，则下列各式的值恒大于()的是()

、sinan

A.7-----B.cosa-sina

tana.

C.sinacosaD.sina+cosa

，总结提燎a

(1)当已知角a终边上一点〃的坐标时，可利用三角函数的定义求出角a的

三角函数值.

(2)当已知角a的三角函数值时，也可以利用三角函数的定义求出点P的坐

标.

变式3(2025•县阳质检)已知角a的顶点与原点重合，始边与x轴的非负

半轴重合，终边过点(3,4),若将角。的终边绕坐标原点顺时针旋转,得到角£,则

sinp=.

微探究三角函数线

例4(多选)已知sina>sin£,那么下列结论正确的是()

A.若角a,£是第一象限角，则cosa>cos'

B.若角a,£是第二象限角，则tanQ>tana

C.若角a,£是第三象限角，则cos£>cosa

D.若角a,£是第四象限角，则tana>tan夕

变式4在平面直角坐标系中，AB,CD,EF,GH是圆『+产=1上的

四段弧(如图)，点尸在其中一段上，角a以。x为始边，。尸为终边，若tanaV

cosa<sin«,则点尸所在的圆弧是()

A.ABB.CD

C.EFD.GH

随堂内化

1.与一2026。终边相同的最小正角是（）

A.136°B.134°

C.57°D.43°

2.（2020•全国II卷理）若。为第四象限角，则（）

A.cos2a>0B.cos2a<0

C.sin2a>0D.sin2a<0

3.（2026•黄冈期初）（多选）下列说法正确的是（）

A.sin2cos3<0

B.若圆心角为胃的扇形的面积为学，则该扇形的弧长为兀

C.终边落在直线x+y=0上的角的集合是卜|。=勺+-k『Z

D.函数）1=tan（2x—§的定义域为中考+9，女£Z’

4.（2025•保定一模）设a是第二象限角，P。，1）为其终边上一点，Jicosa

=%,则tana—.

配套精练

一、单项选择题

1.点A（cos2,lan4）在平面直角坐标系中位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

2.（2025•九江一模）已知角a的终边在直线Zv-y=0上，则tan2a=（）

44

--

33

Ac.33

-B.-

4D.4

3.已知角a的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点

4

a-

P(2d67—2),且cos5则实数。的值是（）

44

A.-4和5B.5

C.-4D.1

3

4.已知角a的终力在直线y=-3x上，则lOsina+7M的值为（）

A.-6^10B.6®

C.0D.一3M

5.（2025•青岛期初）在平面直角坐标系x。），中，角。与角夕均以x轴的非

负半轴为始边，它们的终边关于x轴对称.若cosa=-/RlJcos（a-/?）=（）

dA.i9DB.—2g

9

C.1D”

6.如图，单位圆。内接一个圆心角为全的扇形ABC,则扇形48c的面积为

C.7iD.与

二、多项选择题

7.关于角度，下列说法正确的是（）

A.时钟经过两个小时，时针转过的角度是60。

B.钝角大于锐角

C.三角形的内角必是第一或第二象限角

D.若a是第四象限角，则是第二或第四象限角

8.下列说法正确的是（）

A.若sina=sin£,则a与/?是终边相同的角

4

B.若角a的终边过点P（32公）（ZWO）,则sina=7

C.若扇形的周长为3,半径为1,则其圆心角的大小为1弧度

D.若鬻>0,则角a的终边在第一象限或第三象