2024-2025学年新疆石河子一中高二上学期8月月考数学试题及答案

石河子第一中学2025届高二年级开学考试数学试卷一、单项选择题本大题8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一22224．设m，n是两条不同的直线，α,β,Y是三个不同的平面，则下列命题为真命题的是()A．若α∩β=n，m//n，则m//α,m//βB．若α丄Y，β丄Y，则α//βC．若mα,n//α,则m//nD．若α//β,β//Y，m丄α,则m丄Y5．现测得某放射性元素的半衰期为1500年（每经过1500年，该元素的存品为原来的一半某生物标本中该放射性元素面初始存量为m，经检测现在的存量，据此推测该生物距今约为参考数据：A．2700年B．3100年C．3500年D．3900年6．已知sin-sinα=则）8．已知函数f(x)的定义域为R，满足f(x+y)-[f(x)+f(y)]=2023，则下列说法正确的是()A．f(x)是偶函数B．f(x)是奇函数C．f(x)+2023是偶函数D．f(x)+2023是奇函数试卷第1页，共5页试卷第2页，共5页要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得09．下列说法正确的是()B．投掷一枚均匀硬币和一个均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数大于4”为事件B，则事件A，B中至少有一个发生的概率是.C．用简单随机抽样的方法从51个个体中抽取2个个体，则每个个体被抽到的概率都是D．若样本x1，x2，ⅆ,xn的平均数和方差分别为2和3，则3x1+2，3x2+2，ⅆ,3xn+2的平均数和方差分别为8和2710．下列命题正确的是()C．若x>0，则23x的最大值是24D．若x=(x2)y，x>0，y>0，则x+2y的最小值是911．如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，P为线段A1C1的中点，Q为线段BC1上的动点．则下列结论正确的是A．若Q为BC1中点，则PQ//平面ABB1A1B．若Q为BC1中点，则PQ丄平面AB1C1DC．不存在点Q，使得PQ丄ACD．PQ与平面BCC1B1所成角的正弦值的取值范围为13．如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为3的正方形，EF//AB，平面FBC丄平面ABCD，△FBC中BC边上的高FH=2，EF=则该几何体的体积为.14．在VABC，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，上ABC=120O，BD丄BC交AC于点D，且BD=1，则试卷第3页，共5页四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15(13分从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155,160)，第二组[160,165)，L，第八组[190,195]，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人.(1)求第七组的频率；(2)估计该校的800名男生的身高的中位数；(3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x，y，事件E={x-y≤5}，求P(E).1615分）在ΔABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c-2bcosA=b.(1)证明：A=2B；17（15分已知函数f(x)=sin(π-wx)coswx+cos2wx(w>0)，y=f(x)的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为.(1)求函数f(x)的单调递增区间：(2)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y=g(x)的图象，求函数y=g(x)在区间上的值域.试卷第4页，共5页1817分）如图，在三棱锥P-ABC中，PB=PC=,BC=2,AB=2,AB丄BC,BP,AP,BC的中点分别(1)证明:EF//平面ADO；(2)证明:AO丄平面BEF；(3)求PA长,并求直线PA和平面BEF所成角的正弦值。19(17分“难度系数”反映试题的难易程度，难度系数越大，题目得分率越高，难度也就越小，“难度系数”的计算公式为L=1-，其中L为难度系数，Y为样本平均失分，W为试卷总分（一般为100分或150分某校高二年级的老师命制了某专题共5套测试卷（总分150分用于对该校高二年级480名学生进行每周测试，测试前根据自己对学生的了解，预估了每套试卷的难度系数，如下表所示：试卷序号i12345考前预估难度系数Li0.70.640.60.60.55测试后，随机抽取了50名学生的数据进行统计，结果如下：试卷序号i12345平均分/分999393(1)根据试卷2的预估难度系数估计这480名学生第2套试卷的平均分；(2)试卷的预估难度系数和实测难度系数之间会有偏差，设Li9为第i套试卷的实测难度系数，并定义统计量样本平均分估计总体平均分，试检验这5套试卷难度系数的预估是否合理.(3)聪聪与明明是学习上的好伙伴，两人商定以同时解答上述试卷易错题进行“智力竞赛”，规则如下：双方轮换选题，每人每次只选1道题，先正确解答者记1分，否则计0分，先多得2分者为胜方.若在此次竞赛中，聪聪选试卷第5页，共5页题时聪聪得分的概率为，明明选题时聪聪得分的概率为，各题的结果相互独立，二人约定从0:0计分并由聪聪先选题，求聪聪3:1获胜的概率.石河子第一中学2025届高二年级开学考试数学答案一、单项选择题本大题8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一一、单选题【答案】【答案】B【分析】利用列举法表示出集合A，再利用补集、并集的定义求解即得.故选：B2222【答案】【答案】A【分析】由复数的模长公式及除法运算求解复数z，然后求其共轭复数即可.故选：A【答案】【答案】A【分析】利用正弦定理计算可得【分析】利用正弦定理计算可得. 故选：故选：A4．设m，n是两条不同的直线，α,β,Y是三个不同的平面，则下列命题为真命题的是()A．若α∩β=n，m//n，则m//α,m//β试卷第1页，共15页试卷第2页，共15页B．若α丄Y，β丄Y，则α//βC．若mα,n//α,则m//nD．若α//β,β//Y，m丄α,则m丄Y【答案】【答案】D【分析】根据线面位置关系，结合线面平行、垂直的判定性质逐项讨论即可得答案.【详解】对于D，由α//β,β//Y，得α//Y，当m丄α时，m丄Y，D正确；对于B，若α丄Y,β丄Y，则α//β或相交，B错误；对于C，若mα,n//α,则m//n或异面，C错误；对于A，若α∩β=n,m//n，m可以在α或β内，当m丈α,m丈β时，m//α,m//β,A错误.故选：D5．现测得某放射性元素的半衰期为1500年（每经过1500年，该元素的存品为原来的一半某生物标本中该放射性元素面初始存量为m，经检测现在的存量，据此推测该生物距今约为参考数据：A．2700年B．3100年C．3500年D．3900年【答案】【答案】C【分析】根据对数的运算性质即可求解.【详解】由题意得故选：C【答案】【答案】B【分析】利用两角和差公式以及倍角公式化简求值可得答案.试卷第3页，共15页故选：故选：B.【答案】A【分析】利用向量的线性关系及数量积的运算律得CE.AD=CA.AD+CB.AD可得答案.【详解】如图所示，则CE.AD=|CA+CB|.A则CE.AD=|CA+CB|.A(33,33.故选：A.8．已知函数f(x)的定义域为#，满足f(x+y)[f(x)+f(y)]=2023，则下列说法正确的是()A．f(x)是偶函数B．f(x)是奇函数C．f(x)+2023是偶函数D．f(x)+2023是奇函数【答案】【答案】D【分析】通过对x,y的赋值，结合奇函数、偶函数的概念逐项判断额.【详解】由题意知，在函数f(x)中，f(x+y)[f(x)+f(y)]=2023，当x=y=0时，f(0)[f(0)+f(0)]=2023，解得f(0)=2023，若函数f(x)是#上的奇函数，则该函数的图象必过原点，即有f(0)=0，故B错误.试卷第4页，共15页当当y=x时，f(0)[f(x)+f(x)]=2023，解得f(x)+f(x)=4046，无法得到f(x)=f(—x)，故A错误.在函数f(x)+2023中，f(0)+2023=0,f(x)+2023+f(—x)+2023=0，所以f(x)+2023是奇函数，故C错误，D正确.故选：D.要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得09．下列说法正确的是()B．投掷一枚均匀硬币和一个均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数大于4”为事件B，则事件A，B中至少有一个发生的概率是.C．用简单随机抽样的方法从51个个体中抽取2个个体，则每个个体被抽到的概率都是D．若样本x1，x2，ⅆ,xn的平均数和方差分别为2和3，则3x1+2，3x2+2，ⅆ,3xn+2的平均数和方差分别为8和27【答案】AD【分析】对于A，根据百分位数的定义计算判断，对于B，根据样本的定义分析判断，对于C，根据随机抽样的性质分析判断，对于D，根据平均数的性质分析判断.【详解】对于A，因为7×60%=4.2，所以第60百分位数为第5个数是9，所以A正确；对于B，由题意得事件A，B中至少有一个发生的对立事件是事件A，B都不发生，而事件A不发生的概率为12事件B不发生的概率为，所以事件A，B都不发生的概率为故事件A，B中至少有一个发生的概率是。所以B错误；2对于C，用简单随机抽样的方法从51个个体中抽取2个个体，则每个个体被抽到的概率都是，所以C错误；对于D，若样本数据x1，x2，L，xn的平均数为2，方差为3，n故选：AD.10．下列命题正确的是()试卷第5页，共15页B．已知正数x、y满足x+y=1，则的最小值为C．若x>0，则2-3x-的最大值是2-4D．若x=(x-2)y，x>0，y>0，则x+2y的最小值是9【答案】【答案】BC【分析】利用基本不等式逐项判断，注意不等成立的前提条件.【详解】对于选项A，若a，b均为负数，不等式不成立，所以A错误；对于选项C，因为x>0，3x+当且仅当等号成立，所以对于选项D，因为x=y，所以所以x+2y的最小值是8，故D错误.故选：BC.11．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为线段A1C1的中点，Q为线段BC1上的动点．则下列结论正确的是A．若Q为BC1中点，则PQ//平面ABB1A1B．若Q为BC1中点，则PQ丄平面AB1C1DC．不存在点Q，使得PQ丄ACD．PQ与平面BCC1B1所成角的正弦值的取值范围为【答案】ABD【分析】利用线面平行的判定定理可判断A；利用线面垂直的判定定理可判断B；当Q与B重合时，结合AC丄平面BDD1B1，可证PQ丄AC，判读C；利用线面角的定义求出PQ与平面BCC1B1所成角的正弦值的最值，可判断D.【详解】对于A，连接A1B，由于Q为BC1中点，P为线段A1C1的中点，故PQ//平面ABB1A1，A正确；又B1C1AA由A的分析可知PQⅡA1B，故PQ丄平面AB1C1D，B正确；对于C，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为线段A1C1的中点，也为P为线段B1D1的中点，当Q与B重合时，PQ平面BDD1B1，连接AC,BD，则AC丄BD，又B1B丄平面ABCD，AC平面ABCD，故B1B丄AC，而B1B∩BD=B,B1B,BD平面BDD1B1，故AC丄平面BDD1B1，而PB平面BDD1B1，故AC丄PB，即AC丄PQ即存在点Q，使得PQ丄AC，C错误；对于D，不妨设正方体棱长为2，作PH丄B1C1，垂足为H，则H为B1C1的中点，试卷第6页，共15页且PH平面A1B1C1D1，故PH丄平面BB1C1C，且PH=A1B1=1，则上PQH为PQ与平面BCC1B1所成角，当Q与B重合时，HQ取到最大值BH，此时PB即为PQ的最大值，此时PQ与平面BCC1B1所成角的正弦值取到最小值，为sin上PBH=当Q与G重合时，HQ取到最小值即为HG，此时PG长即为PQ的最小值，此时PQ与平面BCC1B1所成角的正弦值取到最大值，为sin上PBG=即PQ与平面BCC1B1所成角的正弦值的取值范围为[6,6]，D正确，故选：ABD【点睛】难点点睛：解答本题的难点在于选项D的判断，解答时要能根据线面角的定义，确定角的正弦值取到最值时的点Q的位置，从而解直角三角形求出正弦值. = .【答案】【答案】10或2【分析】根据向量垂直的坐标运算可得x=一1或x=3，即可根据模长的坐标公式求解.2解得x=1或x=3，r试卷第7页，共15页故答案为：故答案为：10或213．如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为3的正方形，EF//AB，平面FBC丄平面ABCD，△FBC中BC边上的高FH=2，EF=则该几何体的体积为.【答案】【分析】先补全多面体ABCDEF，得到三棱柱ADG—BCF，然后求出三棱锥E—ADG的体积，从而求解.【详解】在多面体ABCDEF中，由EF//AB，EF丈平面ABCD，AB平面ABCD，得EF//平面ABCD，延长FE到G，使得EG=EF，连接DG、AG，如图：显然FG=AB=CD，FG//AB//CD，几何体ADG—BCF为三棱柱，由平面FBC丄平面ABCD，平面FBC∩平面ABCD=BC，AB丄BC,AB平面ABCD，得AB丄平面FBC，则三棱柱ADG—BCF为直三棱柱，故答案为：14．在VABC，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，上ABC=120O，BD丄BC交AC于点D，且BD=1，则 【答案】/-J试卷第8页，共15页试卷第9页，共15页【分析】根据面积公式和【分析】根据面积公式和S△ABC=S△ABD+S△BCD，求出3ac=c+2a，故利用基本不等式“1”的代换求出最值，得到答案答案. :3=+， 当且仅当 当且仅当即c=43,a=23时，等号成故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15(13分从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155,160)，第二组[160,165)，L，第八组[190,195]，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人.(1)求第七组的频率；(2)估计该校的800名男生的身高的中位数；(3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x，y，事件E={x-y≤5}，求P(E).【答案】(1)0.06；(2)平均数为174.1，中位数为174.5；(3)P(E)=【分析】(1)由频率分布直方图的性质求第七组的频率；7.(2)根据平均数和中位数的定义利用频率分布直方图求平均数和中位数；(3)确定样本空间，利用古典概型概率公式求概率.4,(2)由直方图得，身高在第一组[155,160)的频率为0.008×5=0.04，设这所学校的800名男生的身高中位数为m，则170<m<175，所以这所学校的800名男生的身高的中位数为174.5cm(3)第六组[180,185)的抽取人数为4，设所抽取的人为a，b，c，d，第八组[190,195]的抽取人数为0.008×5×50=2，设所抽取的人为A，B，则从中随机抽取两名男生有ab，ac，ad，bc，bd，cd，aA，aB，bA，bB，cA，cB，dA，dB，AB共15种情况，因事件E={x-y≤5}发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组，所以事件E包含的基本事件为ab，ac，ad，bc，bd，cd，AB共7种情况．所以P(E)=.1615分）在ΔABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c-2bcosA=b.(1)证明：A=2B；【答案】(1)证明见解析【分析】（1）利用正弦定理，两角和与差的正弦函数公式化简已知等式可得sin(A-B)=sinB，可得A-B=B，（2）由cosB=4分类讨论即可证明A=2B；,求解sinB，利用A=2B，求解sinA，结合正弦定理即可求解.sinBsinC【详解】（1）由c-b=2bcosA及正弦定理=可得，sinC-sinB=2sinsinBsinC试卷第10页，共15页::C=π-A-B::sin[π-(A+B)]-sinB=2sinBcosA，即即sin(A+B)-sinB=2sinBcosA，所以所以sinAcosB+cosAsinB-sinB=2sinBcosA，整理得整理得sinAcosB-cosAsinB=sinB，即即sin(A-B)=sinB，又又A，B是VABC的内角，所以所以A-B=B或A-B+B=π（舍去 在在VABC中，由正弦定理=sinAsinC a57轴的距离为.(1)求函数f(x)的单调递增区间：(2)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y=g(x)的图象，求函数y=g(x)在区间0,|上的值域.【答案】【答案】(1)kπ-,kπ+,k∈Z(2)0,【分析】（【分析】（1）先利用三角恒等变换公式化简函数f(x)的解析式，接着依据题意T=π求出①,进而求出函数44试卷第11页，共15页（（2）先由三角变换规则结合得g2sin接着由得4x+再由正弦函数图像性质即可求出函数y=gx)在区间L0,4」|上的值域.【详解】（【详解】（1）因为f(x)=sin(π-wx)coswx+cos2wx=sinwxcoswx+cos2wx所以函数所以函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z.故由正弦函数图像性质可得试卷第12页，共15页(1)证明:EF//平面ADO；(2)证明:AO丄平面BEF；(3)求PA长,并求直线PA和平面BEF所成角的正弦值。【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）根据给定条件，证明四边形ODEF为平行四边形，再利用线面平行的判定推理作答.（2）由（1）的信息，结合勾股定理的逆定理及线面垂直的判定推理作答.（3）求出平面ADO与平面ACO的法向量，由二面角的向量公式求解即可.【详解】（1）连接DE,OF，设AF=tAC，2解得，则F为AC的中点，由D,E,O,F分别为PB,PA,BC,AC的中点，于是DE//AB,DE=AB,OF//AB,OF=AB