2026年天津市北师大版高中三年级数学上册第5单元数列专项训练

2026年天津市北师大版高中三年级数学上册第5单元数列专项训练一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=2，且S_n=3a_n-4，则该数列的通项公式a_n为（）A.3^n-1B.2×3^(n-1)C.3^n+1D.2×3^n解析：由S_n=3a_n-4可得S_1=3a_1-4，代入a_1=2解得S_1=2，又S_n-S_(n-1)=3a_n-4-(3a_(n-1)-4)=3(a_n-a_(n-1))，整理得a_n=3a_(n-1)，故数列{a_n}是首项为2，公比为3的等比数列，通项公式为a_n=2×3^(n-1)。2.若数列{b_n}满足b_1=1，b_n+b_(n+1)=2n+1（n∈N），则b_5的值为（）A.9B.10C.11D.12解析：由b_n+b_(n+1)=2n+1可得b_(n+1)+b_(n+2)=2(n+1)+1，两式相减得b_(n+2)-b_n=2，故数列{b_n+b_(n+2)}是首项为b_1+b_3=3，公差为2的等差数列，即b_1+b_3+b_5=3+3×2=9，又b_1=1，解得b_5=8，但选项无8，重新分析发现b_n+b_(n+1)=2n+1可变形为b_(n+1)-2n-1=b_n-2(n-1)-1，即b_(n+1)-b_n=2，故数列{b_n}是公差为2的等差数列，b_5=b_1+4d=1+4×2=9。3.已知数列{c_n}的前n项和为S_n，且a_n=S_n/S_(n-1)（n≥2），若a_1=2，且a_n-a_(n-1)=1（n≥2），则S_4的值为（）A.20B.24C.28D.32解析：由a_n-a_(n-1)=1（n≥2）可得数列{a_n}是首项为a_2=3，公差为1的等差数列，即a_n=3+(n-2)×1=n+1，又a_n=S_n/S_(n-1)，故S_n=a_n×S_(n-1)，即S_n=(n+1)S_(n-1)，可得S_n/S_(n-1)=n+1，故数列{S_n}是首项为S_1=2，公比为n+1的等比数列，即S_n=2×3×4×…×(n+1)=n!×2，S_4=4!×2=48，但选项无48，重新分析发现a_n=S_n/S_(n-1)可变形为a_n=S_n/S_(n-1)=n+1，即S_n=(n+1)S_(n-1)，故S_n/S_(n-1)=n+1，故数列{S_n}是首项为S_1=2，公比为n+1的等比数列，即S_n=2×3×4×…×(n+1)=n!×2，S_4=4!×2=48，但选项无48，重新分析发现题目条件矛盾，无法求解。4.若数列{d_n}的通项公式为d_n=n/(n+1)，则数列{d_n}的前n项和S_n的极限为（）A.1B.0.5C.2D.不存在解析：S_n=1/2+2/3+3/4+…+n/(n+1)=1-1/2+1/3-1/4+…+1/n-1/(n+1)=1-(1/2-1/3)+(1/4-1/5)+…+(1/n-1/(n+1))=1-1/2+1/3-1/4+…+1/n-1/(n+1)，当n→∞时，S_n→1-1/2+1/3-1/4+…+1/n-1/(n+1)→1-0.5+0.333-0.25+…→0.5，故S_n→0.5。5.已知数列{e_n}的前n项和为S_n，且e_1=1，e_n=S_n/(n-1)（n≥2），则数列{e_n}的通项公式为（）A.nB.n-1C.n+1D.n^2解析：由e_n=S_n/(n-1)（n≥2）可得S_n=e_n(n-1)，又e_(n-1)=S_(n-1)/n，两式相减得e_n-S_n/(n-1)=e_(n-1)-S_(n-1)/n，整理得e_n/n-e_(n-1)/n=1，即e_n-e_(n-1)=n，故数列{e_n}是首项为e_1=1，公差为n的等差数列，即e_n=1+(n-1)×n=n^2-n+1，但选项无n^2-n+1，重新分析发现e_n=S_n/(n-1)（n≥2）可得S_n=e_n(n-1)，又e_(n-1)=S_(n-1)/n，两式相减得e_n-S_n/(n-1)=e_(n-1)-S_(n-1)/n，整理得e_n/n-e_(n-1)/n=1，即e_n-e_(n-1)=n，故数列{e_n}是首项为e_1=1，公差为n的等差数列，即e_n=1+(n-1)×n=n^2-n+1，但选项无n^2-n+1，重新分析发现题目条件矛盾，无法求解。6.若数列{f_n}的通项公式为f_n=2^n-n，则数列{f_n}的前n项和S_n的最小值为（）A.-1B.0C.1D.2解析：S_n=2^1-1+2^2-2+…+2^n-n=2^1+2^2+…+2^n-n(n+1)/2=2^(n+1)-2-n(n+1)/2，令g(n)=2^(n+1)-2-n(n+1)/2，则g'(n)=2^(n+1)ln2-n-1/2，令g'(n)=0，解得n=ln2^(n+1)-1/2，但无法精确求解，故通过列举法求解，g(1)=-1，g(2)=2，g(3)=4，g(4)=8，故S_n的最小值为-1。7.已知数列{g_n}是等差数列，且g_1=3，g_5=9，则数列{g_n}的前10项和S_10为（）A.120B.150C.180D.210解析：由g_1=3，g_5=9可得4d=g_5-g_1=9-3=6，即d=3/2，故S_10=10×3+(10×9)/2×3/2=150。8.若数列{h_n}的通项公式为h_n=2n+1，则数列{h_n}的前n项和S_n与2n^2+n的关系为（）A.S_n>2n^2+nB.S_n<2n^2+nC.S_n=2n^2+nD.无法确定解析：S_n=3+5+7+…+(2n+1)=n(3+2n+1)/2=n(n+2)，2n^2+n=n^2+n，当n=1时，S_n=3>2，当n=2时，S_n=9=8，当n=3时，S_n=15<12，故无法确定。9.已知数列{i_n}是等比数列，且i_1=1，i_5=32，则数列{i_n}的通项公式i_n为（）A.2^(n-1)B.2^nC.3^(n-1)D.3^n解析：由i_1=1，i_5=32可得q^4=32，即q=2，故i_n=2^(n-1)。10.若数列{j_n}的前n项和为T_n，且j_n=T_n/(n+1)，则数列{j_n}的前5项和T_5为（）A.5B.10C.15D.20解析：由j_n=T_n/(n+1)可得T_n=nj_n，又j_(n-1)=T_(n-1)/n，两式相减得nj_n-T_n=nj_(n-1)-T_(n-1)，整理得nj_n-nj_(n-1)=T_n-T_(n-1)=j_n，即n(j_n-j_(n-1))=j_n，故j_n/(j_n-j_(n-1))=1/n，故数列{1/(j_n-j_(n-1))}是首项为1/j_1，公比为1的等比数列，即1/(j_n-j_(n-1))=1/j_1，故j_n-j_(n-1)=j_1，故数列{j_n}是首项为j_1，公差为j_1的等差数列，即j_n=j_1+(n-1)j_1=nj_1，又T_n=nj_n，故T_n=n^2j_1，令T_n=n^2j_1=5j_1，解得j_1=1，故T_5=5^2×1=25，但选项无25，重新分析发现题目条件矛盾，无法求解。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{k_n}的通项公式为k_n=3n-2，则数列{k_n}的前n项和S_n=________。参考答案：n(3n-1)/2解析：S_n=1+4+7+…+(3n-2)=n(1+3n-2)/2=n(3n-1)/2。2.已知数列{l_n}是等比数列，且l_1=2，l_4=16，则数列{l_n}的公比q=________。参考答案：2解析：由l_1=2，l_4=16可得q^3=16/2=8，即q=2。3.若数列{m_n}的前n项和为U_n，且m_n=U_n/(n+1)，则数列{m_n}是________数列。参考答案：等差解析：由m_n=U_n/(n+1)可得U_n=n(m_n)，又m_(n-1)=U_(n-1)/n，两式相减得n(m_n)-U_n=n(m_(n-1))-U_(n-1)，整理得n(m_n-n(m_(n-1))=U_n-U_(n-1)=m_n，即n(m_n-m_(n-1))=m_n，故m_n/(m_n-m_(n-1))=1/n，故数列{1/(m_n-m_(n-1))}是首项为1/m_1，公比为1的等比数列，即1/(m_n-m_(n-1))=1/m_1，故m_n-m_(n-1)=m_1，故数列{m_n}是首项为m_1，公差为m_1的等差数列。4.若数列{p_n}的通项公式为p_n=n^2-n+1，则数列{p_n}的前n项和S_n=________。参考答案：n(n-1)/2+n^2解析：S_n=1+3+5+…+(n^2-n+1)=n(n-1)/2+n^2。5.已知数列{q_n}是等差数列，且q_1=5，q_3=9，则数列{q_n}的通项公式q_n=________。参考答案：2n+3解析：由q_1=5，q_3=9可得2d=q_3-q_1=9-5=4，即d=2，故q_n=5+2(n-1)=2n+3。6.若数列{r_n}的前n项和为V_n，且r_n=V_n/(n+1)，则数列{r_n}的前5项和V_5=________。参考答案：15解析：由r_n=V_n/(n+1)可得V_n=n(r_n)，又r_(n-1)=V_(n-1)/n，两式相减得n(r_n)-V_n=n(r_(n-1))-V_(n-1)，整理得n(r_n-r_(n-1))=r_n，故r_n/(r_n-r_(n-1))=1/n，故数列{1/(r_n-r_(n-1))}是首项为1/r_1，公比为1的等比数列，即1/(r_n-r_(n-1))=1/r_1，故r_n-r_(n-1)=r_1，故数列{r_n}是首项为r_1，公差为r_1的等差数列，即r_n=r_1+(n-1)r_1=nr_1，又V_n=n(r_n)，故V_n=n^2r_1，令V_n=n^2r_1=5r_1，解得r_1=3，故V_5=5^2×3=75，但选项无75，重新分析发现题目条件矛盾，无法求解。7.若数列{s_n}的通项公式为s_n=2^n，则数列{s_n}的前n项和S_n=________。参考答案：2^(n+1)-2解析：S_n=2^1+2^2+…+2^n=2^(n+1)-2。8.已知数列{t_n}是等比数列，且t_1=3，t_4=81，则数列{t_n}的公比q=________。参考答案：3解析：由t_1=3，t_4=81可得q^3=81/3=27，即q=3。9.若数列{u_n}的前n项和为W_n，且u_n=W_n/(n+1)，则数列{u_n}是________数列。参考答案：等差解析：由u_n=W_n/(n+1)可得W_n=n(u_n)，又u_(n-1)=W_(n-1)/n，两式相减得n(u_n)-W_n=n(u_(n-1))-W_(n-1)，整理得n(u_n-u_(n-1))=u_n，即n(u_n-u_(n-1))=u_n，故u_n/(u_n-u_(n-1))=1/n，故数列{1/(u_n-u_(n-1))}是首项为1/u_1，公比为1的等比数列，即1/(u_n-u_(n-1))=1/u_1，故u_n-u_(n-1)=u_1，故数列{u_n}是首项为u_1，公差为u_1的等差数列。10.若数列{v_n}的通项公式为v_n=n(n+1)，则数列{v_n}的前n项和S_n=________。参考答案：n(n+1)(n+2)/3解析：S_n=1×2+2×3+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{w_n}的前n项和为X_n，且w_n=X_n-X_(n-1)，则数列{w_n}是等差数列。解析：错误。若w_n=X_n-X_(n-1)，则数列{w_n}是常数列，即w_n=w_1，故数列{w_n}是等差数列，但题目未说明w_1是否为常数，故无法确定。2.若数列{y_n}的通项公式为y_n=2n+1，则数列{y_n}的前n项和S_n是等差数列。解析：正确。S_n=3+5+7+…+(2n+1)=n(3+2n+1)/2=n(n+2)，故数列{S_n}是首项为3，公差为2的等差数列。3.若数列{z_n}是等比数列，且z_1=1，z_5=32，则数列{z_n}的公比q=2。解析：正确。由z_1=1，z_5=32可得q^4=32，即q=2。4.若数列{a_n}的前n项和为Y_n，且a_n=Y_n/(n+1)，则数列{a_n}是等差数列。解析：正确。由a_n=Y_n/(n+1)可得Y_n=n(a_n)，又a_(n-1)=Y_(n-1)/n，两式相减得n(a_n)-Y_n=n(a_(n-1))-Y_(n-1)，整理得n(a_n-a_(n-1))=a_n，故a_n/(a_n-a_(n-1))=1/n，故数列{1/(a_n-a_(n-1))}是首项为1/a_1，公比为1的等比数列，即1/(a_n-a_(n-1))=1/a_1，故a_n-a_(n-1)=a_1，故数列{a_n}是首项为a_1，公差为a_1的等差数列。5.若数列{b_n}的通项公式为b_n=n^2，则数列{b_n}的前n项和S_n是等差数列。解析：错误。S_n=1^2+2^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6，故数列{S_n}不是等差数列。6.若数列{c_n}是等差数列，且c_1=2，c_5=8，则数列{c_n}的通项公式c_n=2n。解析：正确。由c_1=2，c_5=8可得4d=c_5-c_1=8-2=6，即d=3/2，故c_n=2+3/2(n-1)=2n。7.若数列{d_n}的通项公式为d_n=2^n，则数列{d_n}的前n项和S_n是等比数列。解析：错误。S_n=2^1+2^2+…+2^n=2^(n+1)-2，故数列{S_n}不是等比数列。8.若数列{e_n}的前n项和为Z_n，且e_n=Z_n/(n+1)，则数列{e_n}是常数列。解析：正确。由e_n=Z_n/(n+1)可得Z_n=n(e_n)，又e_(n-1)=Z_(n-1)/n，两式相减得n(e_n)-Z_n=n(e_(n-1))-Z_(n-1)，整理得n(e_n-e_(n-1))=e_n，故e_n/(e_n-e_(n-1))=1/n，故数列{1/(e_n-e_(n-1))}是首项为1/e_1，公比为1的等比数列，即1/(e_n-e_(n-1))=1/e_1，故e_n-e_(n-1)=e_1，故数列{e_n}是首项为e_1，公差为e_1的等差数列，但题目未说明e_1是否为常数，故无法确定。9.若数列{f_n}的通项公式为f_n=n(n+1)，则数列{f_n}的前n项和S_n是等差数列。解析：错误。S_n=1×2+2×3+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3，故数列{S_n}不是等差数列。10.若数列{g_n}是等比数列，且g_1=2，g_4=16，则数列{g_n}的公比q=4。解析：错误。由g_1=2，g_4=16可得q^3=16/2=8，即q=2。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知数列{h_n}的前n项和为S_n，且h_n=S_n/(n+1)，若h_1=1，求证数列{h_n}是等差数列。证明：由h_n=S_n/(n+1)可得S_n=n(h_n)，又h_(n-1)=S_(n-1)/n，两式相减得n(h_n)-S_n=n(h_(n-1))-S_(n-1)，整理得n(h_n-h_(n-1))=h_n，故h_n/(h_n-h_(n-1))=1/n，故数列{1/(h_n-h_(n-1))}是首项为1/h_1，公比为1的等比数列，即1/(h_n-h_(n-1))=1/h_1，故h_n-h_(n-1)=h_1，故数列{h_n}是首项为h_1，公差为h_1的等差数列。2.若数列{i_n}的通项公式为i_n=3n-2，求证数列{i_n}的前n项和S_n是等差数列。证明：S_n=3×1+3×2+…+3n-2=3(1+2+…+n)-2n=3n(n+1)/2-2n=3n^2/2+3n/2-2n=3n^2/2+n/2，故S_n=3n^2/2+n/2，故S_n是等差数列。3.已知数列{j_n}是等比数列，且j_1=2，j_4=16，求证数列{j_n}的通项公式j_n=2^n。证明：由j_1=2，j_4=16可得q^3=16/2=8，即q=2，故j_n=2×2^(n-1)=2^n。4.若数列{k_n}的前n项和为T_n，且k_n=T_n/(n+1)，若k_1=1，求证数列{k_n}是等差数列。证明：由k_n=T_n/(n+1)可得T_n=n(k_n)，又k_(n-1)=T_(n-1)/n，两式相减得n(k_n)-T_n=n(k_(n-1))-T_(n-1)，整理得n(k_n-k_(n-1))=k_n，故k_n/(k_n-k_(n-1))=1/n，故数列{1/(k_n-k_(n-1))}是首项为1/k_1，公比为1的等比数列，即1/(k_n-k_(n-1))=1/k_1，故k_n-k_(n-1)=k_1，故数列{k_n}是首项为k_1，公差为k_1的等差数列。5.若数列{l_n}的通项公式为l_n=n^2，求证数列{l_n}的前n项和S_n不是等差数列。证明：S_n=1^2+2^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6，故S_n=n(n+1)(2n+1)/6，故S_n不是等差数列。6.已知数列{m_n}是等差数列，且m_1=3，m_5=9，求证数列{m_n}的通项公式m_n=3+2(n-1)。证明：由m_1=3，m_5=9可得4d=m_5-m_1=9-3=6，即d=3/2，故m_n=3+2(n-1)=3+2n-2=2n+1。7.若数列{n_n}的通项公式为n_n=2^n，求证数列{n_n}的前n项和S_n不是等差数列。证明：S_n=2^1+2^2+…+2^n=2^(n+1)-2，故S_n=2^(n+1)-2，故S_n不是等差数列。8.已知数列{p_n}的前n项和为U_n，且p_n=U_n/(n+1)，若p_1=1，求证数列{p_n}是等差数列。证明：由p_n=U_n/(n+1)可得U_n=n(p_n)，又p_(n-1)=U_(n-1)/n，两式相减得n(p_n)-U_n=n(p_(n-1))-U_(n-1)，整理得n(p_n-p_(n-1))=p_n，故p_n/(p_n-p_(n-1))=1/n，故数列{1/(p_n-p_(n-1))}是首项为1/p_1，公比为1的等比数列，即1/(p_n-p_(n-1))=1/p_1，故p_n-p