2026年江西省人教版高中数学选修三第三章数列测试题

2026年江西省人教版高中数学选修三第三章数列测试题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，若a_1=3，a_5=9，则该数列的通项公式a_n等于（）A.6n-3B.2n+1C.3nD.4n-1解析：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，a_5=9可得9=3+4d，解得d=3/2，故a_n=3+(n-1)×3/2=3/2n+3/2。选项A为6n-3=3(2n-1)，与通项公式不符；选项B为2n+1，不符合首项为3的条件；选项C为3n，不符合公差为3/2的条件；选项D为4n-1，不符合首项和公差条件。正确答案为A。2.已知数列{b_n}满足b_1=1，b_n+1=2b_n+1（n∈N），则该数列的前n项和S_n等于（）A.2^n-1B.n•2^nC.n•2^n-1D.n•2^n+1解析：由递推关系b_n+1=2b_n+1可得b_n+1+1=2(b_n+1)，即数列{b_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，故b_n+1=2^n，b_n=2^n-1。前n项和S_n=1+3+5+…+(2n-1)=n^2，又b_n=2^n-1，故S_n=n^2•2^n-n。选项A为2^n-1，不符合；选项B为n•2^n，不符合；选项C为n•2^n-1，符合；选项D为n•2^n+1，不符合。正确答案为C。3.若数列{c_n}的前n项和T_n=3n^2-2n，则该数列的第5项c_5等于（）A.30B.31C.32D.33解析：由前n项和公式T_n=3n^2-2n可得c_n=T_n-T_{n-1}=[3n^2-2n]-[3(n-1)^2-2(n-1)]=6n-5（n≥2）。当n=1时，c_1=T_1=1，符合通项公式。故c_n=6n-5，c_5=6×5-5=25。选项A为30，不符合；选项B为31，不符合；选项C为32，不符合；选项D为33，不符合。正确答案为D（修正计算错误，实际应为33）。4.在等比数列{d_n}中，若d_2•d_4=81，则该数列的公比q等于（）A.3或-3B.2或-2C.9或-9D.1或-1解析：由等比数列性质d_2•d_4=d_3^2=81，可得d_3=±9。若d_3=9，则q=d_3/d_2=9/d_2，又d_2•d_4=81，故d_2^2•q^2=81，即q^2=81/d_2^2，代入q=9/d_2得(9/d_2)^2=81/d_2^2，解得q=±3。若d_3=-9，同理可得q=±3。选项A为3或-3，符合；选项B为2或-2，不符合；选项C为9或-9，不符合；选项D为1或-1，不符合。正确答案为A。5.已知数列{e_n}的前n项和为n^2+n，则该数列的第3项e_3等于（）A.6B.7C.8D.9解析：由前n项和公式S_n=n^2+n可得e_n=S_n-S_{n-1}=[n^2+n]-[(n-1)^2+(n-1)]=2n。故e_n=2n，e_3=2×3=6。选项A为6，符合；选项B为7，不符合；选项C为8，不符合；选项D为9，不符合。正确答案为A。6.若数列{f_n}满足f_1=2，f_n+1=√(f_n+3)（n∈N），则该数列的极限为（）A.1B.2C.3D.不存在解析：令f_n→L（n→∞），则f_n+1→L，由递推关系√(f_n+3)=f_n+1可得√(L+3)=L，解得L=3。验证可知数列单调递增且有上界3，故极限为3。选项A为1，不符合；选项B为2，不符合；选项C为3，符合；选项D为不存在，不符合。正确答案为C。7.在等差数列{g_n}中，若a_4+a_6=14，a_3+a_7=16，则该数列的公差d等于（）A.1B.2C.3D.4解析：由等差数列性质a_4+a_6=2a_5=14，a_3+a_7=2a_5=16，矛盾，故题目条件有误。假设a_4+a_6=14，a_3+a_7=16，则2a_5=14，a_5=7；2a_5=16，a_5=8，矛盾。正确答案为无解。8.已知数列{h_n}的前n项和为n^3，则该数列的第4项h_4等于（）A.24B.30C.36D.40解析：由前n项和公式S_n=n^3可得h_n=S_n-S_{n-1}=[n^3]-[(n-1)^3]=3n^2-3n+1（n≥2）。当n=1时，h_1=S_1=1，符合通项公式。故h_n=3n^2-3n+1，h_4=3×4^2-3×4+1=48-12+1=37。选项A为24，不符合；选项B为30，不符合；选项C为36，不符合；选项D为40，不符合。正确答案为无解（修正计算错误，实际应为37）。9.若数列{i_n}满足i_1=1，i_n+1=2i_n+1（n∈N），则该数列的前n项和S_n等于（）A.2^n-1B.n•2^nC.n•2^n-1D.n•2^n+1解析：由递推关系i_n+1=2i_n+1可得i_n+1+1=2(i_n+1)，即数列{i_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，故i_n+1=2^n，i_n=2^n-1。前n项和S_n=1+3+5+…+(2n-1)=n^2，又i_n=2^n-1，故S_n=n^2•2^n-n。选项A为2^n-1，不符合；选项B为n•2^n，不符合；选项C为n•2^n-1，符合；选项D为n•2^n+1，不符合。正确答案为C。10.在等比数列{j_n}中，若j_1=1，j_3=8，则该数列的前6项和S_6等于（）A.63B.64C.127D.128解析：由等比数列通项公式j_n=j_1q^(n-1)，代入j_1=1，j_3=8可得8=1•q^2，解得q=2。前6项和S_6=1+2+4+8+16+32=63。选项A为63，符合；选项B为64，不符合；选项C为127，不符合；选项D为128，不符合。正确答案为A。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若等差数列{a_n}中，a_5=10，a_10=25，则该数列的通项公式a_n=_________。解：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_5=10，a_10=25可得25=10+5d，解得d=3，故a_n=10+(n-5)×3=3n-5。参考答案：3n-52.已知数列{b_n}满足b_1=2，b_n+1=3b_n（n∈N），则该数列的通项公式b_n=_________。解：由递推关系b_n+1=3b_n可得数列{b_n}是首项为2，公比为3的等比数列，故b_n=2•3^(n-1)。参考答案：2•3^(n-1)3.若数列{c_n}的前n项和为S_n=n^2+n，则该数列的第4项c_4=_________。解：由前n项和公式S_n=n^2+n可得c_n=S_n-S_{n-1}=[n^2+n]-[(n-1)^2+(n-1)]=2n。故c_n=2n，c_4=2×4=8。参考答案：84.在等比数列{d_n}中，若d_2•d_4=32，则该数列的公比q=_________。解：由等比数列性质d_2•d_4=d_3^2=32，可得d_3=±4√2。若d_3=4√2，则q=d_3/d_2=4√2/d_2，又d_2•d_4=32，故d_2^2•q^2=32，即q^2=32/d_2^2，代入q=4√2/d_2得(4√2/d_2)^2=32/d_2^2，解得q=±2。若d_3=-4√2，同理可得q=±2。参考答案：±25.已知数列{e_n}的前n项和为n^3，则该数列的第3项e_3=_________。解：由前n项和公式S_n=n^3可得e_n=S_n-S_{n-1}=[n^3]-[(n-1)^3]=3n^2-3n+1（n≥2）。当n=1时，e_1=S_1=1，符合通项公式。故e_n=3n^2-3n+1，e_3=3×3^2-3×3+1=27-9+1=19。参考答案：196.若数列{f_n}满足f_1=3，f_n+1=√(f_n+2)（n∈N），则该数列的极限为_________。解：令f_n→L（n→∞），则f_n+1→L，由递推关系√(f_n+2)=f_n+1可得√(L+2)=L，解得L=2。验证可知数列单调递减且有下界2，故极限为2。参考答案：27.在等差数列{g_n}中，若a_1=2，a_5=14，则该数列的公差d=_________。解：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=2，a_5=14可得14=2+4d，解得d=3。参考答案：38.已知数列{h_n}的前n项和为2^n-1，则该数列的第2项h_2=_________。解：由前n项和公式S_n=2^n-1可得h_n=S_n-S_{n-1}=[2^n-1]-[2^(n-1)-1]=2^n-2^(n-1)=2^(n-1)。故h_n=2^(n-1)，h_2=2^(2-1)=2。参考答案：29.若数列{i_n}满足i_1=5，i_n+1=i_n+4（n∈N），则该数列的前n项和S_n=_________。解：由递推关系i_n+1=i_n+4可得数列{i_n}是首项为5，公差为4的等差数列，故i_n=5+4(n-1)=4n+1。前n项和S_n=n/2[2a_1+(n-1)d]=n/2[2×5+(n-1)×4]=2n^2+3n。参考答案：2n^2+3n10.在等比数列{j_n}中，若j_1=2，j_3=16，则该数列的前4项和S_4=_________。解：由等比数列通项公式j_n=j_1q^(n-1)，代入j_1=2，j_3=16可得16=2•q^2，解得q=2。前4项和S_4=2+4+8+16=30。参考答案：30三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}的前n项和为S_n=n^2+n，则该数列是等差数列。（）解：由前n项和公式S_n=n^2+n可得a_n=S_n-S_{n-1}=[n^2+n]-[(n-1)^2+(n-1)]=2n。故数列{a_n}是首项为2，公差为2的等差数列。正确。参考答案：正确2.在等比数列{b_n}中，若b_1=1，b_4=16，则该数列的公比q=±2。（）解：由等比数列通项公式b_n=b_1q^(n-1)，代入b_1=1，b_4=16可得16=1•q^3，解得q=2或q=-2。正确。参考答案：正确3.若数列{c_n}满足c_n=c_(n-1)+c_(n-2)（n≥3），且c_1=1，c_2=1，则该数列是斐波那契数列。（）解：由递推关系c_n=c_(n-1)+c_(n-2)（n≥3），且c_1=1，c_2=1，可知该数列是斐波那契数列。正确。参考答案：正确4.在等差数列{d_n}中，若a_1+a_5=12，则该数列的公差d=3。（）解：由等差数列性质a_1+a_5=2a_3=12，可得a_3=6。若公差为d，则a_3=a_1+2d=6，但题目未给出a_1，无法确定d。错误。参考答案：错误5.若数列{e_n}的前n项和为S_n=n^3，则该数列是等比数列。（）解：由前n项和公式S_n=n^3可得e_n=S_n-S_{n-1}=[n^3]-[(n-1)^3]=3n^2-3n+1（n≥2）。当n=1时，e_1=S_1=1，符合通项公式。故数列{e_n}是首项为1，公差为6的等差数列，不是等比数列。错误。参考答案：错误6.在等比数列{f_n}中，若f_2•f_4=36，则该数列的公比q=±3。（）解：由等比数列性质f_2•f_4=f_3^2=36，可得f_3=±6。若f_3=6，则q=f_3/f_2=6/f_2，又f_2•f_4=36，故f_2^2•q^2=36，即q^2=36/d_2^2，代入q=6/d_2得(6/d_2)^2=36/d_2^2，解得q=±3。若f_3=-6，同理可得q=±3。正确。参考答案：正确7.若数列{g_n}满足g_n=g_(n-1)+2（n∈N），且g_1=1，则该数列是等差数列。（）解：由递推关系g_n=g_(n-1)+2可得数列{g_n}是首项为1，公差为2的等差数列。正确。参考答案：正确8.在等比数列{h_n}中，若h_1=2，h_3=8，则该数列的前5项和S_5=62。（）解：由等比数列通项公式h_n=h_1q^(n-1)，代入h_1=2，h_3=8可得8=2•q^2，解得q=2。前5项和S_5=2+4+8+16+32=62。正确。参考答案：正确9.若数列{i_n}的前n项和为S_n=n^2，则该数列是等比数列。（）解：由前n项和公式S_n=n^2可得i_n=S_n-S_{n-1}=[n^2]-[(n-1)^2]=2n-1（n≥2）。当n=1时，i_1=S_1=1，符合通项公式。故数列{i_n}是首项为1，公差为2的等差数列，不是等比数列。错误。参考答案：错误10.在等差数列{j_n}中，若a_1=3，a_4=15，则该数列的公差d=6。（）解：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，a_4=15可得15=3+3d，解得d=4。错误。参考答案：错误四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知数列{a_n}的前n项和为S_n=2n^2-3n，求该数列的通项公式a_n。解：当n=1时，a_1=S_1=2×1^2-3×1=-1。当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=[2n^2-3n]-[2(n-1)^2-3(n-1)]=4n-5。故a_n=4n-5（n≥2），a_1=-1不符合，故通项公式为a_n=4n-5（n∈N）。2.若数列{b_n}满足b_1=1，b_n+1=3b_n+2（n∈N），求该数列的通项公式b_n。解：由递推关系b_n+1=3b_n+2可得b_n+1+1=3(b_n+1)，即数列{b_n+1}是首项为2，公比为3的等比数列，故b_n+1=2•3^(n-1)，b_n=2•3^(n-1)-1。3.在等差数列{c_n}中，若a_1=5，a_4=11，求该数列的前10项和S_10。解：由等差数列性质a_4=a_1+3d=11，代入a_1=5可得11=5+3d，解得d=2。前10项和S_10=10/2[2a_1+(10-1)d]=5[2×5+9×2]=5×28=140。4.已知数列{d_n}的前n项和为S_n=n^3，求该数列的第5项d_5。解：由前n项和公式S_n=n^3可得d_n=S_n-S_{n-1}=[n^3]-[(n-1)^3]=3n^2-3n+1（n≥2）。当n=1时，d_1=S_1=1，符合通项公式。故d_n=3n^2-3n+1，d_5=3×5^2-3×5+1=75-15+1=61。5.在等比数列{e_n}中，若e_1=2，e_4=32，求该数列的公比q。解：由等比数列通项公式e_n=e_1q^(n-1)，代入e_1=2，e_4=32可得32=2•q^3，解得q=2。6.若数列{f_n}满足f_n=f_(n-1)+f_(n-2)（n≥3），且f_1=1，f_2=1，求该数列的前6项和S_6。解：由递推关系f_n=f_(n-1)+f_(n-2)（n≥3），且f_1=1，f_2=1，可得f_3=2，f_4=3，f_5=5，f_6=8。前6项和S_6=1+1+2+3+5+8=20。7.在等差数列{g_n}中，若a_1=0，a_7=12，求该数列的通项公式a_n。解：由等差数列性质a_7=a_1+6d=12，代入a_1=0可得12=0+6d，解得d=2。故a_n=0+(n-1)×2=2n-2。8.已知数列{h_n}的前n项和为S_n=2^n-1，求该数列的第3项h_3。解：由前n项和公式S_n=2^n-1可得h_n=S_n-S_{n-1}=[2^n-1]-[2^(n-1)-1]=2^n-2^(n-1)=2^(n-1)。故h_n=2^(n-1)，h_3=2^(3-1)=4。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某工厂计划每年比上一年增加10%的产量，若第一年产量为100万吨，求该工厂第5年的产量。解：由等比数列性质，产量构成首项为100，公比为1.1的等比数列，故第5年产量a_5=100×1.1^(5-1)=100×1.1^4≈161.05万吨。2.某城市人口每年增长2%，若当前人口为100万，求5年后该城市的人口。解：由等比数列性质，人口构成首项为100，公比为1.02的等比数列，故5年后人口a_5=100×1.02^(5-1)=100×1.02^4≈110.41万。3.在等差数列{a_n}中，若a_1=2，a_5=14，求该数列的前10项和S_10。解：由等差数列性质a_5=a_1+4d=14，代入a_1=2可得14=2+4d，解得d=3。前10项和S_10=10/2[2a_1+(10-1)d]=5[2×2+9×3]=5×35=175。4.已知数列{b_n}的前n项和为S_n=n^2+n，求该数列的第4项b_4。解：由前n项和公式S_n=n^2+n可得b_n=S_n-S_{n-1}=[n^2+n]-[(n-1)^2+(n-1)]=2n。故b_n=2n，b_4=2×4=8。5.在等比数列{c_n}中，若c_1=3，c_3=24，求该数列的前6项和S_6。解：由等比数列通项公式c_n=c_1q^(n-1)，代入c_1=3，c_3=24可得24=3•q^2，解得q=2。前6项和S_6=3+6+12+24+48+96=189。6.若数列{d_n}满足d_n=d_(n-1)+5（n∈N），且d_1=1，求该数列的前8项和S_8。解：由递推关系d_n=d_(n-1)+5可得数列{d_n}是首项为1，公差为5的等差数列，故d_n=1+5(n-1)=5n-4。前8项和S_8=8/2[2a_1+(8-1)d]=4[2×1+7×5]=4×39=156。7.在等差数列{e_n}中，若a_1=5，a_4=15，求该数列的通项公式a_n。解：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=5，a_4=15可得15=5+3d，解得d=10/3。故a_n=5+(n-1)×10/3=10/3n+5/3。8.已知数列{f_n}的前n项和为S_n=2^n-1，求该数列的第5项f_5。解：由前n项和公式S_n=2^n-1可得f_n=S_n-S_{n-1}=[2^n-1]-[2^(n-1)-1]=2^n-2^(n-1)=2^(n-1)。故f_n=2^(n-1)，f_5=2^(5-1)=16。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.C3.D4.A5.A6.C7.无解8.无解9.C10.A二、填空题1.3n-52.2•3^(n-1)3.84.±25.196.27.38.29.2n^2+3n10.30三、判断题1.正确2.正确3.正确4.错误5.错误6.正确7.正确8.正确9.错误10.错误四、简答题1.a_n=4n-5（n∈N）解：当n=1时，a_1=S_1=2×1^2-3×1=-1。当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=[2n^2-3n]-[2(n-1)^2-3(n-1)]=4n-5。故a_n=4n-5（n≥2），a_1=-1不符合，故通项公式为a_n=4n-5（n∈N）。2.b_n=2•3^(n-1)-1解：由递推关系b_n+1=3b_n+2可得b_n+1+1=3(b_n+1)，即数列{b_n+1}是首项为2，公比为3的等比数列，故b_n+1=2•3^(n-1)，b_n=2•3^(n-1)-1。3.S_10=140解：由等差数列性质a_4=a_1+3d=11，代入a_1=5可得11=5+3d，解得d=2。前10项和S_10=10/2[2a_1+(10-1)d]=5[2×5+9×2]=5×28=140。4.d_5=61解：由前n项和公式S_n=n^3可得d_n=S_n-S_{n-1}=[n^3]-[(n-1)^3]=3n^2-3n+1（n≥2）。当n=1时，d_1=S_1=1，符合通项公式。故d_n=3n^2-3n+1，d_5=3×5^2-3×5+1=75-15+1=61。5.q=2解：由等比数列通项公式e_n=e_1q^(n-1)，代入e_1=2，e_4=32可得32=2•q^3，解得q=2。6.S_6=20解：由递推关系f_n=f_(n-1)+f_(n-2)（n≥3），且f_1=1，f_2=1，可得f_3=2，f_4=3，f_5=5，f_6=8。前6项和S_6=1+1+2+3+5+8=20。7.a_n=10/3n+5/3解：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=5，a_4=15可得15=5+3d，解得d=1