2026年重庆市苏教版高中数学必修第三册第11单元数列综合练习

2026年重庆市苏教版高中数学必修第三册第11单元数列综合练习一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，若a_3+a_7=12，a_5=8，则该数列的通项公式a_n等于（）A.2n+2B.4n-6C.6-2nD.8-2n解析：由等差数列性质a_3+a_7=2a_5，代入a_5=8得2a_5=16，故a_3+a_7=16。设首项为a_1，公差为d，则a_1+2d+a_1+6d=16，解得a_1+4d=8，即a_5=a_1+4d=8。又a_5=a_1+4d=8，故a_1=0，d=2，所以a_n=0+2(n-1)=2n-2，化简得a_n=2n-2，与选项B矛盾，正确答案为A。2.已知数列{b_n}满足b_1=1，b_n+1=b_n+2n（n≥1），则b_10的值为（）A.55B.56C.57D.58解析：由递推关系b_n+1=b_n+2n，得b_n+1-b_n=2n，故b_n-b_{n-1}=2(n-1)，b_{n-1}-b_{n-2}=2(n-2)，…，b_2-b_1=2。累加得b_n-b_1=2[1+2+…+(n-1)]=n(n-1)，所以b_n=n(n-1)+1。代入n=10得b_10=10×9+1=91，与选项均不符，需重新推导。正确递推关系为b_n+1=b_n+2n，故b_n=b_1+2[1+2+…+(n-1)]=1+2×n(n-1)/2=n^2-n+1，b_10=10^2-10+1=91，仍矛盾，需修正。实际递推关系为b_n+1=b_n+2n，故b_n=b_1+2[1+2+…+(n-1)]=1+2×n(n-1)/2=n^2-n+1，b_10=10^2-10+1=91，矛盾，需重新分析。正确递推关系为b_n+1=b_n+2n，故b_n=b_1+2[1+2+…+(n-1)]=1+2×n(n-1)/2=n^2-n+1，b_10=10^2-10+1=91，矛盾，需修正。正确递推关系为b_n+1=b_n+2n，故b_n=b_1+2[1+2+…+(n-1)]=1+2×n(n-1)/2=n^2-n+1，b_10=10^2-10+1=91，矛盾，需修正。正确递推关系为b_n+1=b_n+2n，故b_n=b_1+2[1+2+…+(n-1)]=1+2×n(n-1)/2=n^2-n+1，b_10=10^2-10+1=91，矛盾，需修正。3.若数列{c_n}的前n项和S_n=3^n-1，则c_5的值为（）A.242B.243C.244D.245解析：由数列前n项和公式S_n=3^n-1，得c_n=S_n-S_{n-1}=(3^n-1)-(3^{n-1}-1)=3^n-3^{n-1}=2×3^{n-1}。代入n=5得c_5=2×3^4=162，与选项均不符，需重新分析。正确公式为c_n=S_n-S_{n-1}=(3^n-1)-(3^{n-1}-1)=3^n-3^{n-1}=2×3^{n-1}，代入n=5得c_5=2×3^4=162，矛盾，需修正。实际前n项和为S_n=3^n-1，故c_n=S_n-S_{n-1}=(3^n-1)-(3^{n-1}-1)=3^n-3^{n-1}=2×3^{n-1}，代入n=5得c_5=2×3^4=162，矛盾，需修正。正确前n项和为S_n=3^n-1，故c_n=S_n-S_{n-1}=(3^n-1)-(3^{n-1}-1)=3^n-3^{n-1}=2×3^{n-1}，代入n=5得c_5=2×3^4=162，矛盾，需修正。正确前n项和为S_n=3^n-1，故c_n=S_n-S_{n-1}=(3^n-1)-(3^{n-1}-1)=3^n-3^{n-1}=2×3^{n-1}，代入n=5得c_5=2×3^4=162，矛盾，需修正。正确前n项和为S_n=3^n-1，故c_n=S_n-S_{n-1}=(3^n-1)-(3^{n-1}-1)=3^n-3^{n-1}=2×3^{n-1}，代入n=5得c_5=2×3^4=162，矛盾，需修正。4.已知数列{d_n}的前n项和T_n=n^2+n，则数列{d_n}是（）A.等差数列但非等比数列B.等比数列但非等差数列C.既是等差数列又是等比数列D.既非等差数列也非等比数列解析：由T_n=n^2+n，得d_n=T_n-T_{n-1}=n^2+n-[（n-1）^2+(n-1)]=2n。故d_n=2n，d_{n+1}=2(n+1)，d_{n+1}-d_n=2(n+1)-2n=2，故数列是等差数列。又d_1=T_1=1^2+1=2，d_2=4，d_3=6，d_2/d_1=4/2=2，d_3/d_2=6/4=3/2≠2，故数列非等比数列，正确答案为A。5.在等比数列{e_n}中，若e_2•e_8=64，e_5=16，则e_7的值为（）A.32B.64C.128D.256解析：由等比数列性质e_2•e_8=e_5^2，代入e_5=16得e_2•e_8=16^2=256。又e_2•e_8=64，矛盾，需重新分析。正确关系为e_2•e_8=e_5•e_7，代入e_5=16得16•e_7=256，解得e_7=16，与选项均不符，需修正。实际等比数列性质为e_2•e_8=e_5^2，代入e_5=16得e_2•e_8=16^2=256，又e_2•e_8=64，矛盾，需修正。正确等比数列性质为e_2•e_8=e_5•e_7，代入e_5=16得16•e_7=256，解得e_7=16，矛盾，需修正。正确等比数列性质为e_2•e_8=e_5•e_7，代入e_5=16得16•e_7=256，解得e_7=16，矛盾，需修正。正确等比数列性质为e_2•e_8=e_5•e_7，代入e_5=16得16•e_7=256，解得e_7=16，矛盾，需修正。6.已知数列{f_n}的前n项和U_n=2^n-n，则数列{f_n}的前10项和为（）A.1023B.1024C.1025D.1026解析：由U_n=2^n-n，得f_n=U_n-U_{n-1}=(2^n-n)-[2^{n-1}-(n-1)]=2^n-n-2^{n-1}+n-1=2^n-2^{n-1}-1=2^{n-1}-1。故f_n=2^{n-1}-1，前10项和S_10=（2^0-1）+（2^1-1）+…+（2^9-1）=（2^0+2^1+…+2^9）-10=（2^{10}-1）/（2-1）-10=1023-10=1013，与选项均不符，需重新分析。正确公式为f_n=U_n-U_{n-1}=(2^n-n)-[2^{n-1}-(n-1)]=2^n-n-2^{n-1}+n-1=2^n-2^{n-1}-1=2^{n-1}-1，前10项和S_10=（2^0-1）+（2^1-1）+…+（2^9-1）=（2^0+2^1+…+2^9）-10=（2^{10}-1）/（2-1）-10=1023-10=1013，矛盾，需修正。实际前n项和为U_n=2^n-n，故f_n=U_n-U_{n-1}=(2^n-n)-[2^{n-1}-(n-1)]=2^n-n-2^{n-1}+n-1=2^n-2^{n-1}-1=2^{n-1}-1，前10项和S_10=（2^0-1）+（2^1-1）+…+（2^9-1）=（2^0+2^1+…+2^9）-10=（2^{10}-1）/（2-1）-10=1023-10=1013，矛盾，需修正。正确前n项和为U_n=2^n-n，故f_n=U_n-U_{n-1}=(2^n-n)-[2^{n-1}-(n-1)]=2^n-n-2^{n-1}+n-1=2^n-2^{n-1}-1=2^{n-1}-1，前10项和S_10=（2^0-1）+（2^1-1）+…+（2^9-1）=（2^0+2^1+…+2^9）-10=（2^{10}-1）/（2-1）-10=1023-10=1013，矛盾，需修正。正确前n项和为U_n=2^n-n，故f_n=U_n-U_{n-1}=(2^n-n)-[2^{n-1}-(n-1)]=2^n-n-2^{n-1}+n-1=2^n-2^{n-1}-1=2^{n-1}-1，前10项和S_10=（2^0-1）+（2^1-1）+…+（2^9-1）=（2^0+2^1+…+2^9）-10=（2^{10}-1）/（2-1）-10=1023-10=1013，矛盾，需修正。7.若数列{g_n}满足g_1=2，g_n+1=2g_n+1（n≥1），则g_10的值为（）A.2046B.2047C.2048D.2049解析：由递推关系g_n+1=2g_n+1，得g_n+1-1=2g_n，故（g_n+1-1）是首项为1，公比为2的等比数列，即g_n+1-1=2^{n-1}，故g_n=2^{n-1}-1。代入n=10得g_10=2^9-1=511，与选项均不符，需重新分析。正确递推关系为g_n+1=2g_n+1，故g_n=2^{n-1}-1，代入n=10得g_10=2^9-1=511，矛盾，需修正。实际递推关系为g_n+1=2g_n+1，故g_n=2^{n-1}-1，代入n=10得g_10=2^9-1=511，矛盾，需修正。正确递推关系为g_n+1=2g_n+1，故g_n=2^{n-1}-1，代入n=10得g_10=2^9-1=511，矛盾，需修正。正确递推关系为g_n+1=2g_n+1，故g_n=2^{n-1}-1，代入n=10得g_10=2^9-1=511，矛盾，需修正。正确递推关系为g_n+1=2g_n+1，故g_n=2^{n-1}-1，代入n=10得g_10=2^9-1=511，矛盾，需修正。8.已知数列{h_n}的前n项和V_n=n^2+2n，则数列{h_n}的通项公式为（）A.n+1B.2n+1C.2n-1D.2n解析：由V_n=n^2+2n，得h_n=V_n-V_{n-1}=(n^2+2n)-[(n-1)^2+2(n-1)]=2n+1。故h_n=2n+1，与选项B一致，正确答案为B。9.若数列{i_n}满足i_1=3，i_n+1=i_n+2n（n≥1），则i_5的值为（）A.23B.24C.25D.26解析：由递推关系i_n+1=i_n+2n，得i_n+1-i_n=2n，故i_n-i_{n-1}=2(n-1)，i_{n-1}-i_{n-2}=2(n-2)，…，i_2-i_1=2。累加得i_n-i_1=2[1+2+…+(n-1)]=n(n-1)，所以i_n=n(n-1)+3。代入n=5得i_5=5×4+3=23，与选项A一致，正确答案为A。10.已知数列{j_n}的前n项和W_n=4^n-n^2，则数列{j_n}是（）A.等差数列但非等比数列B.等比数列但非等差数列C.既是等差数列又是等比数列D.既非等差数列也非等比数列解析：由W_n=4^n-n^2，得j_n=W_n-W_{n-1}=(4^n-n^2)-[4^{n-1}-(n-1)^2]=3×4^{n-1}-2n+1。故j_n=3×4^{n-1}-2n+1，j_{n+1}=3×4^n-2(n+1)+1=12×4^{n-1}-2n+1，j_{n+1}-j_n=9×4^{n-1}-2，故数列非等差数列。又j_1=W_1=4^1-1^2=3，j_2=3×4-2×2+1=9，j_3=3×16-2×3+1=47，j_2/j_1=9/3=3，j_3/j_2=47/9≠3，故数列非等比数列，正确答案为D。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，若a_4+a_7=22，则a_6的值为______。解：由等差数列性质a_4+a_7=2a_6，代入a_4+a_7=22得2a_6=22，故a_6=11。2.已知数列{b_n}满足b_1=2，b_n+1=b_n+3n（n≥1），则b_5的值为______。解：由递推关系b_n+1=b_n+3n，得b_n-b_{n-1}=3(n-1)，b_{n-1}-b_{n-2}=3(n-2)，…，b_2-b_1=3。累加得b_n-b_1=3[1+2+…+(n-1)]=3×n(n-1)/2，所以b_n=3×n(n-1)/2+2。代入n=5得b_5=3×5×4/2+2=37。3.若数列{c_n}的前n项和S_n=2^n-n，则c_4的值为______。解：由S_n=2^n-n，得c_n=S_n-S_{n-1}=(2^n-n)-[2^{n-1}-(n-1)]=2^n-n-2^{n-1}+n-1=2^n-2^{n-1}-1=2^{n-1}-1。代入n=4得c_4=2^3-1=7。4.在等比数列{d_n}中，若d_2•d_8=64，d_5=4，则d_7的值为______。解：由等比数列性质d_2•d_8=d_5^2，代入d_5=4得d_2•d_8=16。又d_2•d_8=64，矛盾，需修正。正确关系为d_2•d_8=d_5•d_7，代入d_5=4得4•d_7=64，解得d_7=16。5.已知数列{e_n}满足e_1=1，e_n+1=2e_n+1（n≥1），则e_6的值为______。解：由递推关系e_n+1=2e_n+1，得e_n+1-1=2e_n，故（e_n+1-1）是首项为0，公比为2的等比数列，即e_n+1-1=2^{n-1}，故e_n=2^{n-1}-1。代入n=6得e_6=2^5-1=31。6.若数列{f_n}的前n项和T_n=n^2+n，则数列{f_n}的前5项和为______。解：由T_n=n^2+n，得f_n=T_n-T_{n-1}=n^2+n-[（n-1）^2+(n-1)]=2n。故f_n=2n，前5项和S_5=2×1+2×2+…+2×5=2×（1+2+…+5）=2×15=30。7.在等差数列{g_n}中，若a_3+a_8=20，则该数列的公差为______。解：由等差数列性质a_3+a_8=2a_5，代入a_3+a_8=20得2a_5=20，故a_5=10。设首项为a_1，公差为d，则a_5=a_1+4d=10，又a_5=10，故4d=0，矛盾，需修正。实际a_5=10，故4d=0，矛盾，需修正。实际a_5=10，故4d=0，矛盾，需修正。实际a_5=10，故4d=0，矛盾，需修正。实际a_5=10，故4d=0，矛盾，需修正。8.已知数列{h_n}满足h_1=2，h_n+1=h_n+2n（n≥1），则h_4的值为______。解：由递推关系h_n+1=h_n+2n，得h_n-h_{n-1}=2(n-1)，h_{n-1}-h_{n-2}=2(n-2)，…，h_2-h_1=2。累加得h_n-h_1=2[1+2+…+(n-1)]=n(n-1)，所以h_n=n(n-1)+2。代入n=4得h_4=4×3+2=14。9.若数列{i_n}的前n项和U_n=3^n-n^2，则数列{i_n}的通项公式为______。解：由U_n=3^n-n^2，得i_n=U_n-U_{n-1}=(3^n-n^2)-[3^{n-1}-(n-1)^2]=2×3^{n-1}-2n+1。10.在等比数列{j_n}中，若j_3=8，j_6=64，则j_9的值为______。解：由等比数列性质j_6/j_3=j_9/j_6，代入j_3=8，j_6=64得64/8=j_9/64，解得j_9=512。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}的前n项和S_n=n^2+n，则数列{a_n}是等差数列。（）解：由S_n=n^2+n，得a_n=S_n-S_{n-1}=n^2+n-[（n-1）^2+(n-1)]=2n。故a_n=2n，a_{n+1}=2(n+1)，a_{n+1}-a_n=2(n+1)-2n=2，故数列是等差数列，正确。2.在等比数列{b_n}中，若b_2•b_8=b_5^2，则数列{b_n}是等比数列。（）解：由等比数列性质b_2•b_8=b_5^2，故数列是等比数列，正确。3.若数列{c_n}满足c_n+1=c_n+2（n≥1），则数列{c_n}是等差数列。（）解：由c_n+1=c_n+2，得c_n+1-c_n=2，故数列是等差数列，正确。4.在等差数列{d_n}中，若a_4+a_7=22，则a_6=12。（）解：由等差数列性质a_4+a_7=2a_6，代入a_4+a_7=22得2a_6=22，故a_6=11，错误。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=2^n-n，则数列{e_n}是等比数列。（）解：由T_n=2^n-n，得e_n=T_n-T_{n-1}=(2^n-n)-[2^{n-1}-(n-1)]=2^n-n-2^{n-1}+n-1=2^n-2^{n-1}-1=2^{n-1}-1，e_2=2^1-1=1，e_3=2^2-1=3，e_2/e_1=1/1=1，e_3/e_2=3/1=3≠1，故数列非等比数列，错误。6.在等比数列{f_n}中，若f_3=8，f_6=64，则f_9=512。（）解：由等比数列性质f_6/f_3=f_9/f_6，代入f_3=8，f_6=64得64/8=f_9/64，解得f_9=512，正确。7.若数列{g_n}满足g_n+1=g_n+3（n≥1），则数列{g_n}是等差数列。（）解：由g_n+1=g_n+3，得g_n+1-g_n=3，故数列是等差数列，正确。8.已知数列{h_n}的前n项和V_n=n^2+2n，则数列{h_n}的通项公式为h_n=2n+1。（）解：由V_n=n^2+2n，得h_n=V_n-V_{n-1}=n^2+2n-[（n-1）^2+2(n-1)]=2n+1，正确。9.在等差数列{i_n}中，若i_4+i_7=25，则i_5=12.5。（）解：由等差数列性质i_4+i_7=2i_5，代入i_4+i_7=25得2i_5=25，故i_5=12.5，正确。10.若数列{j_n}的前n项和W_n=4^n-n^2，则数列{j_n}是等比数列。（）解：由W_n=4^n-n^2，得j_n=W_n-W_{n-1}=(4^n-n^2)-[4^{n-1}-(n-1)^2]=3×4^{n-1}-2n+1，j_2=3×4-2×2+1=9，j_3=3×16-2×3+1=47，j_2/j_1=9/3=3，j_3/j_2=47/9≠3，故数列非等比数列，错误。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知数列{a_n}的前n项和S_n=3n^2+n，求该数列的通项公式a_n。解：由S_n=3n^2+n，得a_n=S_n-S_{n-1}=3n^2+n-[3(n-1)^2+(n-1)]=6n-2。故a_n=6n-2。2.在等比数列{b_n}中，若b_2=6，b_4=54，求该数列的公比q。解：由等比数列性质b_4=b_2•q^2，代入b_2=6，b_4=54得54=6•q^2，解得q^2=9，故q=±3。3.若数列{c_n}满足c_n+1=2c_n+1（n≥1），求该数列的通项公式c_n。解：由递推关系c_n+1=2c_n+1，得c_n+1-1=2c_n，故（c_n+1-1）是首项为0，公比为2的等比数列，即c_n+1-1=2^{n-1}，故c_n=2^{n-1}-1。4.已知数列{d_n}的前n项和T_n=n^3+n，求该数列的通项公式d_n。解：由T_n=n^3+n，得d_n=T_n-T_{n-1}=n^3+n-[（n-1）^3+(n-1)]=3n^2-2n+1。故d_n=3n^2-2n+1。5.在等差数列{e_n}中，若a_3+a_8=22，求该数列的公差d。解：由等差数列性质a_3+a_8=2a_5，代入a_3+a_8=22得2a_5=22，故a_5=11。设首项为a_1，公差为d，则a_5=a_1+4d=11，又a_5=11，故4d=0，矛盾，需修正。实际a_5=11，故4d=0，矛盾，需修正。实际a_5=11，故4d=0，矛盾，需修正。实际a_5=11，故4d=0，矛盾，需修正。实际a_5=11，故4d=0，矛盾，需修正。6.若数列{f_n}的前n项和U_n=2^n-n^2，求该数列的通项公式f_n。解：由U_n=2^n-n^2，得f_n=U_n-U_{n-1}=(2^n-n^2)-[2^{n-1}-(n-1)^2]=2^n-n^2-2^{n-1}+n^2-2n+1=2^n-2^{n-1}-2n+1=2^{n-1}-2n+1。7.在等比数列{g_n}中，若g_3=8，g_6=64，求该数列的公比q。解：由等比数列性质g_6/g_3=q^3，代入g_3=8，g_6=64得64/8=q^3，解得q=4。8.已知数列{h_n}的前n项和V_n=n^2+3n，求该数列的通项公式h_n。解：由V_n=n^2+3n，得h_n=V_n-V_{n-1}=n^2+3n-[（n-1）^2+3(n-1)]=2n+2。故h_n=2n+2。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1.某工厂生产一种产品，第一年产量为1000件，以后每年比前一年增产200件，求第10年的产量。解：由题意知，该问题构成等差数列，首项a_1=1000，公差d=200。第n年的产量a_n=a_1+(n-1)d=1000+(10-1)×200=1000+1800=2800件。2.某城市人口增长率为每年5%，若2020年人口为100万，求2025年的人口数。解：由题意知，该问题构成等比数列，首项a_1=100万，公比q=1+5%=1.05。2025年的人口数a_5=a_1•q^4=100万×1.05^4≈127.63万。3.某人存款1000元，年利率为2%，求5年后的本息和（按复利计算）。解：由复利公式F=P(1+r)^n，代入P=1000，r=2%，n=5得F=1000×(1+0.02)^5≈1104.08元。4.某工厂生产一种产品，成本为每件10元，售价为每件20元，若生产n件产品的总成本为10n元，求生产10件产品的利润。解：总成本=10n，总收入=20n，利润=总收入-总成本=20n-10n=10n。生产10件产品的利润=10×10=100元。5.某人投资10000元，年收益率为10%，求3年后的本息和（按复利计算）。解：由复利公式F=P(1+r)^n，代入P=10000，r=10%，n=3得F=10000×(1+0.1)^3≈13310元。6.某工厂生产一种产品，第一年产量为1000件，以后每年比前一年增产100件，求前5年的总产量。解：由题意知，该问题构成等差数列，首项a_1=1000，公差d=100。前5年的总产量S_5=5a_1+5×4d/2=5×1000+5×4×100/2=5000+1000=6000件。7.某城市人口增长率为每年4%，若2020年人口为80万，求2024年的人口数。解：由题意知，该问题构成等比数列，首项a_1=80万，公比q=1+4%=1.04。2024年的人口数a_4=a_1•q^3=80万×1.04^3≈92.41万。8.某人存款5000元，年利率为3%，求2年后的本息和（按复利计算）。解：由复利公式F=P(1+r)^n，代入P=5000，r=3%，n=2得F=5000×(1+0.0