考研数学一（一元函数微分学）模拟试卷23

考研数学一(一元函数微分学)模拟试

卷23

一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)

lim/f(x)=limf'(欠)=a,

1、设一中L4则()

A、f(x)在x=xo处必可导且r(xo)=a。

B、f(x)在x=xo处连续，但未必可导。

C>f(x)在x=xo处有极限但未必连续。

D、以上结论都不对。

标准答案：D

知识点解析:本题需将f(x)在X=XO处的左、右导数f「(xo),f」(xo)与在x=xo处的

lim/r(x)=lim/r(x)=a,

左、右极限L%KF；区分开。L与只能得

limfz(x)=a,

出i。但不能保证f(x)在X()处可导，以及在X=X()处连续和极限存在。

个)=1+2,…，

例如I%“W°，显然，x#)时，f(x)=l,因此

lim广(％)=lim/'(^)=lolim/(x)=2#lim/(x)=0,

…一但是，'八'因而

更那“)不存在，因此f(x)在x=0处不连续，不可导。故选(D)。

r/(r)1

2、f(x)在(-8,+8)内二阶可导，f'(X)<0,…I则f(x)在(一8,0)内()

A、单调增加且大于零。

B、单调增加且小于零。

C、单调减少且大于零。

D、单调减少且小于零。

标准答案：B

1•Ail1

知识点解析：由父得f(o)=o,r(o)=i,因为『(o)<o,所以r(x)单调

减少，在(一8,0)内r(x)>「(0)=l>0,故f(x)在(一co,0)内为单调增函数,又

f(0)=0,故在(一8,0)内f(x)<f(O)=O,故选(B)。

3、设y=f(x)是方程)y”-2y，+4y=0的一个解，且f(xo)>O,f(xo)=O,则函数f(x)在

点xo处()

A、取得极大值。

B、取得极小值。

C、某邻域内单调增加。

D、某邻域内单调减少。

标准答案：A

知识点解析：由P(xo)=O知x=x()是函数y=f(x)的驻点。将x=x()代入方程，得

,,,

y"(x())—2y(x())+4y(xo)=0o由于y(xo)=f(xo)=O,y”(xo)=F(xo)，y(xo)=f(x())>O,

则有r'(xo)=-4f(xo)VO,由极值的第二充分条件知f(x)在点xo处取得极大值，故

选(A)。

4、曲线y=(x-1)(X-2)2(X-3)3(X-4)4的拐点是()

A、(1,0)o

B、(2,0)o

C、(3,0)o

D、(4,0)o

标准答案：C

/(I)+/(2),0

知识点解析：方法一：艰据凹凸性的定义，在区间［1,2］±,29

而八2>故八2J2从而f(x)在区间［1,2］上是凹的；

f(2)=o,<o,

同理在［2,3］上，2而」［2,即f(x)在区间［2,3］上也是

八止)>o,

凹的：在［3.4］上，2=而'I2J故f(x)在区间［3,4］上

是凸的。由拐点的定义知，(3,0)为曲线的拐点，放选(C)。方法二：由广仪一

234

l)(x-2)(x-3)(x-4)f可知x=l,2,3,4分别是(x-l)(x-2)2(x-3"(x-4)4=0

的一、二、三、四重根，故由导数与原函数之间的关系可知，y'(l)#),

y,(2)=y,(3)=y,(4)=0,y"(2)y=0,y”⑶=0,y,M(3)-y=0,y'”(4尸0,故(3,0)是所给

曲线的拐点,故选(C)。

5、设函数f(x)满足关系式俨(x)+f(x)］2=x,且『(0尸0,则()

A、f(0)是f(x)的极大值,

B、f⑼是f(x)的极小值,

C、点(0,f(0))是曲线y=f(x)的拐点。

D、f(0)不是f(x)的极值，点(0,f(0))也不是曲线y=f(x)的拐点。

标准答案：C

知识点解析：令等式F(x)+[r(x)]2=x中x=0,得『(0)=0—[「(0)产=0,无法利用极值

的第二充分条件进行判定。对r(x)求导数r”(x)=(x—[f(x)fY=i-2r(x)F(x),将

『(0)=0代入，有?”(0)=1,所以由导数定义

厂(0):正"二=i加"=1>。。

I14从而存在x=0的去心

邻域，在此去心邻域内F(x)与x同号，且当x〈0时，r(x)<f'(O)=O,故曲线

y=f(x)是凸的,当x>0时『(x)>F'(O)=O,故曲线y=f(x)是凹的,因此点(0,f(0))是

曲线y=f(x)的拐点,故选(C)。

6、设f(x)有二阶连续导数，且"0)=0,!货卷二%)

A、f(0)是f(x)的极大值。

B、f(0)是f(x)的极小值,

C、(0,f(O))是曲线y=f(x)的拐点。

D、f(0)不是f(x)的极值，(0,f(0))也不是曲线y=f(x)的拐点。

标准答案：B

lim/-j~j-=1>0,

知识点解析：因为f(x)有二阶连续导数，且i0所以由函数极限

的局部保号性可知，在x=o的去心邻域内有相|'即r(x)>o,所以f(x)在

x=0的去心邻域内单调递增。又因r(o)=o,故r(xi在x=o处左右两侧取值由负变

正，根据极值的第一充分条件f(0)是f(x)的极小值，故选(B)。

7、设f(x)可导，F(x)=f(x)(l+|sinx|),则f(0)=0是F(x)在x=0处可导的()

A、充分必要条件。

B、充分条件但非必要条件。

C、必要条件但非充分条件。

D、既非充分条件又非必要条件。

标准答案：A

知识点解析：F(x)在x=0可导的充分必要条件是左、右导数都存在且相等，于是有

F：(0)=+§加%)-/(。)

x-4)*X

=+A£)sinxl=/*(0)+/(0),

XX〕

-(0)=二强食J⑼=广(0)-/(。)。

7.X由此可知

f(0)=0是F(x)在x=0处可导的充要条件，故选(A)。

,，/\_1-A%。+3-/(/)

j()-limAo

知识点解析：根据导数的定义式，有J°&7Ax由于

/(x0-2x)-/(x0-x)

lim-----------------------

Jt-0x

+x

t./(Xo-2x)-/(x0)-/(%-X)/(o)

=lim----------------------------------------

x-0x

,.一.f(x-2x)-/(x)f(x-r)-/(%o)

=(-2)lim----0-------------0-+lim----0--------------

R-o-2xx-o-x

=-4'(3)+/'(%)=1。所以,

原式=lim-------7~/-7-------C=Y=1o

*”(％o-2%)-/(x0-X)I

11.已知尸=（%+晨:#呗/L-o=

±

标准答案：§

知识点解析：

y'=/（一”）丸（1-%斗故八.。=卦-/）=%

/(x)=r，1-e'd/,

12、设函数J"则y=f(x)的反函数x=P(y)在y=0处的导数

dxI

标准答案:

,，（*）=亚=/]_.

知识点解析：由题设，曲'当x二-l时，y=0,所以

dx_]

乎I=打厂。一立——

爪（尸。日反函数求导法则，心?。

x=e~',

2=

,ny=fln(1+w)du,____________

13、设U卜'则"l。

标准答案：0

d>y

=d-£1

d-x

知识点解析：方法一:因为dz故

业嘀I

=4+ln(l+?)],

dx2dtdx£[一eI+t」

didt所以

--Im

c=。。、、iy-fIn(1+a2)du，尔夕=Lln(l+i?)du

此<s°方法二：由yJo得为l'/i

半二——ln(1+ln2x),=-y[ln(1+In2、21nx1

x)一，

以d%xdxxImi二丁厂当仁o时,

=°o

x=l,所以“<-odx2*■

14、函数f(x)=|4x3—18x2+27卜在［0,2］上的最小值是,最大值是

标准答案：0,27

知识点解析：设(p(x)=4x3—18x2+27,则

<0,0<X<3,

/(%)=12x(%-3)=0,x=3,

>°’”>3'因此((p(x)在[0,2]上单调下降，

且(p(0)=27,(p(2)=-13,因此存在唯---点xo€(O,2),使得(p(xo)=O,由于

f(x)=|(p(x)|,可得f(0)=27,f(xo)=O,f(2)=13o因此f(x)在[0,2]的最小值为0,最大

值为27o

/(x)='n&"三1,立

15、设函数2第-1,X<I»y=f[f(X)],则也,-e

标准答案:

1,

lo又f(x)的图

由于IVeVe2,

故当IVxV/时，,(")二从而o〈f(x)vi,进而

dy__1

Af(x)]=21n>/x-1=Inx-1,于是dx…一e

x=arctanl,.

qy

16、设y=y(x)由方程组127-+e'=5所确定，则d%------------°

(P7)(1+『)

标准答案：2(1-4)

dx_1

知识点解析：由已知参数方程得，市1+/°在2y-ly2+J=5两边对t求导,

2打_公_2打打+/二0匕=-一£」

有"dt'整理得山2(1-⑺'于是

<h±武一＜?

=2(1-打)_夕7)(1+/)

dx1-2(1-0)0

d71+『

dy

17、设函数y=y(x)由方程2*丫='刊所确定，则>>o

标准答案：(ln2-l)dx

2”(y+x¥)1«2=1+乎.

知识点解析：方程两边同时对x求导，得'侬，"整理得

卷二1一■十-----逅。孚=In2-1,

到dx1-ln2•x•2把x=0代入原方程得y=l,故也(o.i)

因此dy|x=o=(ln2—l)dxo

18、设函数f(x)=(F—I)(e2x—2)…(cnx—n),其中n为正整数，则

r(o)=o

标准答案：(一l)n"(n—1)!

知识点解析：根据导数定义，有

广(0)=(/-2)・・・(ez-几)

*-o4-0i欠

=1x(-1)x(-2)x-x[-(n-1)]=(-D!o

三、解答题(本题共22题，每题1.0分，共22分。)

19、设f(x)在x=a可导，且f(a)=l,f(a)=3。求数列极限

JL

口叫[小+》产。

标准答案：对所求极限的表达式进行恒等变形，即

XI

11V…

由等价无穷小代换及f(a)=l,并结合导数的

定义，得

1

「叩+:)=蚓卞[1咏+5)-1旷(川

lim

n

1一cos一

n

1旷(°+，)-1nA。)f，(、3

=2lim———¥--------------=2[1叭欠)]'|…=2修祟=2•字=6,

n

因此w=e6o

知识点解析：暂尢解析

求下列函数在指定点处的导数:

/I-sinx

y=/(%)arcsinx•

20、y1+sinx'求r(o)；

标准答案：由导数的定义

./I-sinx

“、c/c、tu4cdrcsinxI:.

../(%)-/(0)因为/(o)=o..y1+siru：

广(0)2~个-=====lim---------J---------

M-4>x-0ix

2g加上一。

iVI+sinx

知识点解析：暂无解析

21>设f(x)=(p(a+bx)—(p(a—bx),其中(p(x)在x=a处可导,求F(0)；

标准答案：由f(x)：(p(a+bx)—(p(a—bx),可知f(O)=(p(a)一(p(a尸0。由于题中并未

说明(p(x)在x=0处是否可导，所以利用导数定义。

广(0)=limAiksm=1而史立七坦二段二垃

X-0X-0X-0X-0

=|im[3(a+64)-3(a)]一-及)-w(a)〕

Ix

二lim.b+.

«—obxluim-bxb

rf

=b(p(a)+b(p'(a)=2b(p(a)0

知识点解析：暂无解析

y*(0)=—,

22、设函数f(x)在x=0处可导，且3,对任意的x,有f(3+x)=3f(x),

求f(3)o

标准答案：由于题中未说明f(x)在x=3处是否可导，所以须用导数定义进行求解。

因为已知f(3+x)=3f(x),所以

广⑶=1而0A=©=Iim3ZU^X0)

MXAJCA»-M)AX

=3iimZ(°A-4.-/(°)=y70)=3X；=1。

M-OAx3

知识点解析：暂无解析

设°，X=°。且g(x)具有二阶连续导数，且g(O)=l,g'(0)=-

lo

23、求r(x)；

标准答案：由于g(x)有二阶连续导数，故当X翔时，f(x)也具有二阶连续导数，此

时一阶导数r(x)连续；当x=o时，需用导数的定义计算r(o)。当x押时，

f(x)-%[/(%)+-g(U)_*(%)-g(%)+(%+1)

x2x2

当x=0时，由导数定义及洛必达法则，有

广(0)=_/°)=1而45)三0

—x-0x-ox

「小⑴..Y../(欠)-e-g"(0)-1

=limo-1-----=hm0----=°/---

…2xi-o22所以

和'(♦)-g(“)+(%+1”，

广⑴=?，，

-1…

2>4一u0

知识点解析：暂无解析

24、讨论r(x)在(-8,+00)上的连续性。

标准答案：由上题的结论知，x=0是f(x)的分段点，且有

li矿⑺=］而』/")二出汇4±"+1”：

*-XTx-0x

=+De-

x-o2x

;隔口£产二笔二1二/，(0)。

i22而产⑻

在X#)处是连续函数，所以r(x)在(-8,+8)上为连续函数。

知识点解析：暂无解析

25、利用导数的定义求函数f(x)=lnx的导函数。

ln(x+Ax)-Inx=In*±空=ln(1+—1,

x

标准答案：因为\xI由

ln(I+—)*—(Ax—*0),

\xfx可知

..ln(x+Ax)-Inx1..(x)1

lim-h-----------=-lim----------=—

Ax-O△4xu-o空x

(Inx)'=1

X即有1x

知识点解析：暂无解析

26、求函数尸=,”+4+石的导数。

标准答案：由复合函数求导的链式法则有

y，=y(x+4+阳丸4+

=y(x+A/X+[%｝丸/+(>/x+7x)r]

=y(«++7x)-T[l+y(x+7x)'^(x+7%)*]

=y(^+)x+.&)"T[1+；(勿+而[1+^^j]o

知识点解析：暂无解析

d2x

27、设y=x+lnx,求d尸

立=i+L

标准答案：由已知，得&*'再由反函数求导法则，有

d，xI1.••一-]--・,・一■，.

dydjf]+_Lx+1'

dxx故

立=且(上)=.@:].x

dy2dy\x+\ldx\x+1/dy(x+l)2・=(-1)3。

知识点解析：暂无解析

28、求由方程sin/二co§A确定的隐函数y=y(x)的导函数y，(x)。

标准答案；由复合函数的求导法则在等式sin/=cos，两边对x求导,

(siny2)1=(cos石)，,2y•cosy2•y'=-sinVx,—,

2G故

,sinJx

y=-------p----------o

4yxy(cosy")

知识点解析：暂无解析

d2>

29、设函数y=y(x)由y—x/=l所确定，试求，・。°

标准答案：由y—xe、'=l知，x=0时，y=l,且在方程两端同时对x求导，有y，一e，

-xy5ey=0,将x=0,y=l代入上式得)y，(0尸e。在一阶导函数等式两端继续对x求

导得y”—yf—y'e、一x(y'ey)'=0,将x=0,y=l,y10)=e代入上式得，y"(0)=2e2o

知识点解析：暂无解析

x=x(t),

y=fln(1+u)du

由参数方程IJ。确定，其中x(t)是初值问期

0,

出

dx2°

的解。求

标准答案，方法一由『2*'=。得对等式两边求积分得

ex=t2+C,再由xh=()=0得C=l,因此©x=t2+i,即x=ln(l+t2),从而

dy出

dy=-ln(l+J)・2(

=(1+r)ln(1+J),

dr(k-2t

出

1+z

,2..y[(1+/)]n(l+/)]

24rl(1+/)+2,

打=且/匕)=里_____________

dr2dx\dxfdr2t

di1+t2

2

=(1+r)[ln(l+z)+1]=e'(x+1)o方法二：由

-J

学~21e=0/9

也x=ln[l+t2)>所以

dy

it=d-rln(1+J)・2l

=(1+Z2)ln(l+d)xeX

dxd-x~2T

df

FT?即y,(x)=xex,进而

/V)=¥=(#+[)，。

知识点解析：暂无解析

f(x)=-j------------,

31、设x-3x+2求阿(X)。

〃、_]iJ

标准答案：由题设4-3z+2x-2x-1贝|j

(1y二1(1卜=(-1)(-2)=(-1)2・2

l%-21(x-2)2\X-2/(x-2)J(%-2)3'由数学归

(1)⑺=(-1)、！/1\(w)=(T)”!

纳法有仁-2)—Q_2).'同理可得I"—〃(1—])田'故

知识点解析：暂无解析

66n)

32、设f(x)=sinx+cosx,求f^(x)o

标准答案：因f(x)=6sin?,xcosx—6cos5xsinx=6sinxcosx(sin2x—cos2x)=—

_2./"(%)=-'X"*4sin(4x+•—)o

3sin2xcosx=2sin4x,2'2f利用sinx的高阶导数

公式即得

/(-)(x)=-y-4-“皿4%+5^1”):6•4-2CO»^4X+y*rr)o

知识点解析：暂无解析

33、求函数y=ln(2x2—x—1)的n阶导数。

标准答案：由于y=ln[(2x+1)(x—1)]=ln(2x+1)+ln(x—1),又

[……)尸J一厂,

(Q4+6)故

/n)=[ln(2x1)]<->HlnCx-l)]^=(一％”货/

+(2%+1)

=(T尸(〃T)![1(2%:+一1)+(1%-备I)1。

知识点解析：暂无解析

y=­z--------,

34、设-3x-4求丫⑺⑺为正整数)。

,今、13x+12

y=(%+3)+7------TV7~~TT»

标准答案：对函数进行整理得(4-4)(”+1)令

13%+124B

—^―—一,—.1—・■一+,

(x-4)(x+1)x-44+1'所以13X+12二A(x+l)+B(x-4),令x=4

A=第；•B=

得5A=64,即5'令x=—1得-5B=-1,即5将A,B代入可得

y=(欠+3)+%(%-4)7+1)”,

/=1-取力-4)C-+l)r，

八(7(-2恃…由归纳法有

641

y

-5(—4)7(x+1)”d°

知识点解析：暂无解析

35、求函数f(x)=x2ln(l+x)ffix=0处的n阶导数再⑼(吃3)。

标准答案：由莱布尼茨公式(UV)01-叫⑼+Cju(n-%+Cn2u(n-2)v“++u(0)v(n),及

_(-l)F-l)!

[ln(l+%)]”>作为正整数)，

(1+4)有

〃(…］等"…口气铲1

(-l)F

r/3(0)=(-l)-3n(n-l)(a-3)!=

十是n-2

知识点解析：暂无解析

lim[l+/(x)=e4,

36、设f(x)在x=0处n(吟2)阶可导且…求f(0),f(0),

叫0)。

lim[1+f(x)=e4lim1+/(欠)]=4,

标准答案：由…知…％"八"'因此

limln[1+/(%)]=0o

—已知f(x)在x=0处n阶可导，故f(x)在x=0处连续，从

limf(x)=/(0)=0o

而…利用等价无穷小代换，当x-0时，ln[l+f(x)]〜

hm^---=4,

f(x),可得i%Wf(x)=4xn+o(xn)o从而由泰勒公式的唯一性知f(0)=0,

f(0)=0,...»扪-1)(0)=0,f<n)(0)=4n!o

知识点解析：暂无解析

37、设f(x)在［a,b］上连续，在(a,b)内可导，其中a>0且f(a)=O。证明：在(a,b)

山…/J")=好与

内存在一点。使a

标准答案：作辅助函数F(x)=(b—x)af(x),由题设F(x)在［a,b］上连续,在(a,b)内

可导，已知f(a)