江苏省无锡市第三高级中学2026届高三上学期1月月考数学试卷（含解析）

江苏省无锡市第三高级中学2025-2026学年高三上学期1月月考数学试题一、单选题1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．2．若复数满足（是虚数单位），则（

）A． B．1 C． D．23．已知，，则“”是“”的（

）．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．已知，则（

）A． B． C． D．5．在通用技术课上，某同学制作了一个正四棱锥模型.他测量出正四棱锥的侧面是边长为2dm的正三角形，则该正四棱锥的体积为（

）A． B． C． D．6．在的展开式中，含的项的系数是（

）A．5 B．6 C．7 D．117．已知双曲线的左右焦点分别为、，过的直线与曲线的左右两支分别交于点，且，则曲线C的离心率为（

）A． B． C． D．8．数列满足，，记数列前项的和为，若对任意的恒成立，则正整数的最小值为（

）A．10 B．9 C．8 D．7二、多选题9．现有两组从小到大排列的数据，第一组数据为，其平均数为，标准差为，极差为，第80百分位数为；第二组数据为，，，…，.则下列说法正确的是（

）A．第一组数据去掉，，其剩余数据的平均数和极差都比原来小B．第二组数据的平均数为C．第二组数据的第80百分位数为D．第二组数据的标准差为10．下列结论中正确的是（

）A．若角的终边过点，则；B．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数；C．对任意，恒成立；D．是函数的一条对称轴.11．已知直三棱柱中，，，，O为该三棱柱的外接球球心O，则（

）A．直线与平面所成的角为 B．球的体积为C．半径为的球可以放入该直三棱柱的内部 D．球O被平面截得的截面圆的面积为三、填空题12．已知向量与的夹角为，，，则___________13．已知，若恒成立，求实数的取值范围为_________.14．某公司为了调查员工的体重（单位：千克），因为女员工远多于男员工，所以按性别分层，用按比例分层随机抽样的方法抽取样本，已知抽取样本中所有员工体重的方差为120，其中女员工的平均体重为50，方差为50，男员工的平均体重为70，方差为30.若样本中有21名男员工，则样本中女员工的人数为________.四、解答题15．为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，调查结果如下表：男性女性需要4020不需要160280(1)在该地区男性老年人中，随机选择一位，他需要志愿者提供帮助的概率记为，求的估计值；(2)完成抽样数据列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析该地区的老年人需要志愿者提供帮助与性别是否有关；并指出该调查中更优的抽样方法.参考数据：0.100.050.0100.0052.7063.8416.6357.87916．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．（1）求A的大小；（2）若b＋c＝6，D为BC的中点，且AD＝，求△ABC的面积．17．四棱锥，面，，，，，，M是PD中点.(1)求证：平面；(2)若，①求平面PAB与平面PCD夹角的正弦值；②在线段BD上是否存在点Q，使得点D到平面PAQ的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.18．已知动点到定点的距离和它到定直线距离的比是常数．(1)求动点的轨迹；(2)已知不过原点的直线与曲线交于、两点，若直线，直线，直线的斜率成等比数列．①求直线的斜率；②记以为直径的圆的面积分别为，试探究是否为定值，若是，求出此值；若不是，说明理由．19．已知函数.(1)若，求曲线在处的切线方程；(2)若对任意恒成立，求的取值范围；(3)证明：.参考答案1．B【详解】因为集合，，所以.故选：B.2．B【详解】由题意可知，∴.故选：B3．B【详解】当时，则，但是，不是充分条件，当时，因为，，所以，即，当且仅当等号成立，所以是必要条件，故“”是“”的必要不充分条件.故选：B4．B【详解】因为，所以，所以.故选：B5．D【详解】因为正四棱锥的侧面是边长为的正三角形，正四棱锥的底面是正方形，所以，因为，所以.根据勾股定理得.所以该正四棱锥的体积为.故选：D.6．C【详解】因为中只有和中含的项，的含的项为，的含的项为，所以的展开式中含的项的系数是.故选：C.7．B解：如图，设，因为,所以，由双曲线的定义得：，所以，，，，，所以，在中，，在中，因为，所以，即，所以故选：B8．A解：由题意：数列满足，，可得且，所以数列是以1为首项，公差为4的等差数列，可得，，，设，则，所以是递减数列，，即，所以，可得，又因为,故的最小值为10，故选:A.9．BC【详解】对于A，第一组数据去掉，，剩余数据平均数可能变小，也可能不变，所以不能确定其平均数一定比原来小，故A错误；对于B，第一组数据平均数为，第二组数据是，则第二组数据平均数为，故B正确；对于C，第一组数据第80百分位数为，第二组数据是，则第二组数据第80百分位数为，故C正确；对于D，第一组数据标准差为，第二组数据是，则第二组数据标准差为，故D错误.故选：BC10．ACD【详解】对于选项A：若角的终边过点，则，，所以，故A正确；对于选项B：将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数，故B错误；对于选项C：设，则，可知在内单调递增，则，即；又因为，则，可得，所以对任意，恒成立，故C正确；对于选项D：因为为最大值，所以是函数的一条对称轴，故D正确；故选：ACD.11．ABD【详解】对于A，因，且平面，故平面，是直线与平面所成角，在中，，则，故正确.对于B，如图，设分别为的中点，连接，因点是的外心，由对称性，可知该三棱柱的外接球球心为的中点，故，则球的半径为，球的体积为，故正确；对于C，内切圆半径，因为1，所以，即半径为的球不能放入该直三棱柱的内部，故错误；对于D，由题可得，所以，，设点到平面的距离为，斜边上的高为，由，得，解得，则球被平面截得的截面圆半径，从而所求截面圆面积为，故正确.故选：ABD12．2【详解】，又，所以，则.故答案为：213．【详解】令，求导得，令，求导得.当时，，此时在上单调递增，由于，所以当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以原不等式恒成立，所以符合题意；时，原不等式矛盾，理由如下：时，，而，或；故答案为：.14．63【详解】由题意，记样本中女员工的平均体重和方差分别为，，所占权重为，男员工的平均体重和方差分别为，，则所占权重为，则样本中全部员工的平均体重为，依题意，方差为.化简得，解得或(舍).所以女员工的人数为：.故答案为：63.15．(1)(2)该地区的老年人需要志愿者提供帮助与性别有关，更优的抽样方法是分层抽样【详解】（1）抽取的样本中，男性老年人共有200人，需要志愿者提供帮助的有40人，频率为，所以的估计值是.（2）列联表如下：男性女性合计需要402060不需要160280440合计200300500，所以根据小概率值的独立性检验，认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关.由于该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出男性老年人需要帮助的需求较高，与女性老年人有明显差异，因此调查时先确定男女老年人的比例，然后按照男、女两层进行分层抽样，更优的抽样方法是分层抽样.16．（1）

（2）解:（1）由正弦定理知，所以,

即

所以，化简得，

因为中，，所以，即，又，所以

（2）因为，

所以，由，解得所以的面积17．(1)取中点，为中点，，且，又，，，且，四边形为平行四边形，即，平面，平面，平面；(2)①②存在点满足题意，易知，，假设存在点满足题意，设，，，，设平面的法向量为，则，令，则，所以点到平面的距离，化简可得，解得或（舍去），即.【详解】（1）略（2）①平面，且，则以点为坐标原点，，，方向为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，得，，，，，，，，，易知平面的一个法向量为，设平面的法向量为，则，令，则，，平面与平面所成角的正弦值为；②略18．(1)曲线的方程为：，曲线的轨迹是焦点在轴上的椭圆.(2)①；②是，．【详解】（1）由题意：.所以曲线的方程为：．所以曲线的轨迹是焦点在轴上的椭圆.（2）①设直线方程为，，，，如图：由得，，所以，.因为，，且成等比数列，，，又，所以，解得．②，，为定值．19．(1)(2)(3)证明见解析【详解】（