考研数学二分类模拟题95

考研数学二分类模拟题95

一、填空题

1.由曲线/，x=2及y=2所围图形的面积5=

正确答案：

In2—

［解析］由图可知所求面积为

21

p+ln^-2^=ln2-4.

2.曲线y=-x3+x2+2x与x轴所围成的图形的面积A=.

正确答案：

37

12.

［解析］本题是求一条三次抛物线与X轴所围图形的面积.应先求出函数y

x'x'Zx的零点：Xi=-1,x2=0,X3=2.判断图形哪一部分在x轴下方，哪一部分

在上方，则

•Q

A=-(一./+,/+2.7*)d.r+(—1'+./+2?)(卜

J0

=(—)°+-T

-1\43/o12

3.位于曲线y=xe、(OWxV+o。)下方，X轴上方的无界图形的面积是______.

正确答案：

1.

［解析］

r——

A=je1cLr=—'+c,(!./*=_e'J=1.

•00JoQ

4.设曲线的极坐标方程为P二=ea0(a>0)，则该曲线上相应于9从0变到2n

的一段弧与极轴所围成的图形的面积为______.

正确答案：

3-)

4〃,

［解析］

1f2n1f2n12r

A=—(小’)汨。=方=—e^,，?=v-(e4KU-l).

ZJoZJolao4a

r=cos30(jy),

5.设封闭曲线L的极坐标方程为'

则L所围平面图形的面积是______.

正确答案：

7T

12.

)所围成的是“三叶玫瑰

L：r=cos30(号

［解析］曲线\66

线,，的一个“花瓣,，，注意到图形关于极轴的对称性,其面积为

4"⑻由=cos23(?d0=-^-60=4'(尹。)噬■

ZJ—TJ0JoZ

6.当0W。W兀时，对数螺线厂e°的弧长为—

正确答案：

4①一1).

［解析］根据弧长公式得

-1).

7.

正确答案：

ln(1+^/2).

C工,

，1+(，＞dz=\ZT+tan\rd.r=secj'd.r

—In|secx+tan.r।'=ln(72+l).

［解析］o

8.质点以速度tsint?米/秒作直线运动，则从时刻

7C

】

秒内质点所经过的路程等于米.

正确答案：

X

T.

［解析］质点所经过的路程为

S=「4sin/d〃=--^-cost2,=:(米).

Grsin/2dr=-yjy^-

9.一根长度为1的细棒位于x轴的区间［0,1］上，若其线密度P(x)二-

_亍=

X2+2X+1,则该细棒的质心坐标”------------------

正确答案：

20.

［解析］质心坐标

n

(―+2x2+jr)dz：

12_11

T-20,

(一才，+2.r+1)d.rT

二、解答题

1.过点（0,1）作曲线L：y=Inx的切线，切点为A,又L与x轴交于B点，区

域D由L与直线AB围成.求区域D的面积及D绕x轴旋转一周所得旋转体的体

积.

正确答案：

解设切点A的坐标为（X”r）,则切线方程为

1z-、

丁一丁1=一（之一巧3

将点（0,1）代入该切线方程，并注意到yklnx”解得之飞2,y尸2.

所求面积为

S-Injir---(e3-1),2=x\m-[a:,—dr-e2+l=2e2-e:'+He'+l=2.

Ji/liJix

所求体积为

ln2j(Li—y•4,(1-1)=1(]"7-2了11+2工)一”(e?-1)=入(1—1).

JiJ163

2.设D是由曲线直线x=a（a>0）及x轴围成的平面图形，Vx,Vv

分别是D绕x轴，y轴旋转一周所得旋转体的体积.若VLIOVX,求a的值.

正确答案:

v,=d；/匕=等，

V-7_「6」_TW6*tf116式〃3

3,=

\-to--?rydy=皿或匕=2tx•xcL­T—*-

yJoII*JoI

c一

ID

2__i八3

------10------r-

由Vy=ioK,即75,解得Q=7J7.

y=AsmN(0&NW丁)

3.设A>0,D是由曲线段L及直线y=0,

—・■―7T

2所围成的平面区域，V”V2分别表示D绕x轴与绕y轴旋转所成旋转

体的体积.若％川2,求A的值.

正确答案：

解

-22

1/—「八2・21A9户1COSlxA7TA

Vi—7TAsirT7(lr=7rA-----不---dr=——.

JoJo/4

由A>0,可得

a2

V2=2nT•Asinxclz

=-27rAjrdcosx

2

=-27rA(zcosxcosj-dr

0o

=2TCA.

邙=2TTA,所以八=凶

因为Vi=V2,即17T.

0Vz〈工

4.计算曲线y=ln(l-x?)上相应于、、'2的一段弧的长度.

正确答案:

解

S=\/1+，也="J1+(—7户匕

JoJoV\I-r/Jo1-r

=1(4rL-巾-q4

r=ln(l+.r)-ln(l-x)-z=In3-

Jou+T1-T/-」0

j1=］一(：()St,

5,求摆线"=Lsii

nt一拱(o〈t〈2Ji)的弧长s.

正确答案：

dr.dy

-T=sin，，之二=1-cost.

解(it(At

因为

dS=Msin2z+(1—cos0"dr=，2(1—cosf)df=2sin£d/,

S=2sin—dz=8.

所以J。N

6.设p:p(x)是抛物线上任一点Wx,

)=1y)(x2l)处的曲率半径,

s=s(x)是抛物线上介于点A(1,1)与M之间的弧长,计算

(半)

'小“'C15/的隹L(在直角坐标系下曲率公式为

z,1/1

rZ3.

(1+…)

正确答案：

/1//=____1_

V=一丁=

解2/x4,

所以抛物线在点M(x,y)处的曲率半径

p=p⑴=+=

抛物线上AA〃的弧长

s=s(i)=vl+^，2dz=1+”.

%i01

由参数方程求导公式得

生1a1

2

磬方•歹（41+1）•4

亚乙乙

=6A/T,

瓦1

1+

瓦4.r

d

_位616

『

±2后11iy4T+I

dr,1+森

从而

2

o选Q3

3。滞=另(4]+1)万•—r==—36^=9.

x/lr+1

7.设有曲线A/1—］，过原点作其切线，求由此曲线、切线及x轴

围成的平面图形绕X轴旋转一周所得到的旋转体的表面积.

正确答案：

解设切点的横坐标为X。，则切点（|。91）,曲线

1

3'=G-1在此点的切线斜率为2AZT.J—1,于是切线方程为

1

厂\/jr0—1=--=•（z—=）.

2J&一1

又因它经过原点，以点（0,0）代入，得-2囱-1）=-x。，解得X。=2,于是切

丁一1=春（1—2）丁=亏1

线方程为2，即2,切点为（2,1）.

由曲线段）=绕*轴旋转一周所得到的旋转

面的面积为

S]—，1+1汨7=nZSr-3&下=9(5痣一]).

J】io

y=（0&/&2）

由直线段2绕x轴旋转一周所得到的旋转面的面

积为

［21FE

=

S227r.芍1•方也=冷式,

J0乙乙

S=S1+S产备（11石-1）

因此，所求旋转体的表面积为6.

8.设函数f（x）在闭区间［0,1］上连续，在开区间（0,D内大于零，并满足

3a

一7.・9

xf'（x）=f（x）+2、（a为常数），又曲线尸f（x）与x=l,尸。所围的图形S的

面积值为2,求函数y=f（x）,并问a为何值时，图形S绕x轴旋转一周所得的

旋转体的体积最小.

正确答案：

解由题设知，当xWO时，

①/'(jr)—/O)=3〃日nd一3a

9一彳，即石

JC"2,据此并由f（x）

在点x=0处的连续性，得

/（J7）L。门」.

又由已知条件得

2=[()dr=(-j-^3)

即C=4-a,

/(i)=^-6Zjr2+(4—a)J?.

因此,2

旋转体的体积为

12/11.16\

V(d)=7t/'(r)cb=7r心2+(4-1dr=(而

V'(a)=

由

得a=-5,

V(a)=,〉0,

又因15

故a=-5时,旋转体体积最小.

9.求微分方程xdy+(x-2y)dx=0的一个解y=y(x),使得由曲线y=y(x)与直线

x=l,x=2以及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周的旋转体体积最小.

正确答案：

解原方程可化为

dy21

这是一阶线性非齐次微分方程，故直接套用公式得

3，=/，必(_卜/"+。)C+c)一+CV

由曲线y=x+Cx)直线x=l,x=2以及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一

周的旋转体体积为

V(C).卜(工+SU砥+%+%[>砥0+¥计：),

令V'(C)=O,得

^(。)=乌江＞09故c=一俗

又。124为唯一极小值点，也就是

最小值点.因此，

75,

为所求解.

设位于第一象限的曲线y二f(x)过点,修2」2)/,其上任一点P(x,y)处的法

线与y轴的交点为Q,且线段PQ被x轴平分.

10.求曲线尸f(x)的方程：

正确答案：

解曲线y=f(x)在点P(x,y)处的法线方程为

Y-y=---v(X—x).

y

其中(x,Y)为法线上任意一点的坐标.令x=o,则

丫=?+声

(0,y+3).

故Q点坐标为'y/由题设知

»+»+当=0,即Zydy+icLruO.

积分得

x2+2y2=C.

_1

由/="乙知O1,故曲线尸f(x)的方程为

x2+2y2=l.

11.已知曲线尸sinx在［0,兀］上的弧长为1,试用1表示曲线厂f(x)的弧

长s.

正确答案：

解曲线y二sinx在［0,兀］上的弧长为

f-o____________-___

/=2+COS,NCLZ.

J0

曲线尸f(x)的参数方程为

X=COS/

<".A

y=KSin8,

r2

故

I1[2.------------

sin2^+—cos'OdO=—A/1+sin汨d9.

JoVZJ2J。

令2，则

1fo/__________=4=-2+cos?疝==?，

5=—工，1+cos%—ck)=

⑸。2724

ex+e-J

y=---------

曲线2与直线x=o,x=t(t>0)及y=0围成一曲边梯形.该曲边

梯形绕X轴旋转一周得一旋转体，其体积为V(t),侧面积为S(t),在x=t处的

底面积为F(t).

SG)

12.求V(£)的值；

正确答案:

解

Sd)=国/TG%=2n1产)小耳不再上二2"[(亡产)%,

Jo\L/

SG)

所以VQ)一=?・

limS（O

13.计算极限L+8F（£）・

正确答案：

解

F(i)=7ry

z=/+l.

己知曲线L的方程为

14.讨论L的凹凸性；

正确答案：

解由于

m=2_]&=_」

dit'&/t]

当t>0时,故L是凸的.

15.过点（-1,0）引L的切线，求切点（x。，y0）,并写出切线的方程;

正确答案：

解因为当t=0时，L在对应点处的切线方程为x=l,不合题意，故设切点

（Xo,y。）对应的参数为t0>0,则L在（x。，yo）处的切线方程为

y-（4]o-*）=（7"-1）（j：—1）.

令x=T,y=0.得

〃十£o—2=0,

解得to=l或to=-2（舍去）.

由31知,切点为（2,3）,且切线方程为y=X+L

16.求此切线与L（对应于xWx°的部分）及x轴所围成的平面图形的面积.

正确答案：

解由尸0时t=0,t=4知L与x轴的交点分别为（1,0）和（17,0）.故所求平

面图形的面积为

(/+l)cb•一?cLr

J1

Qfl7

(4r—z2)d(z2+l)=-^■—2(4z2—z3)dz=—.

，J0o

17.设非负函数厂y（x）（x20）满足微分方程xy"-y+2=0,当曲线y二y（x）过原

点时，其与直线x=l及y=0围成平面区域D的面积为2,求D绕y轴旋转所得旋

转体体积.

正确答案：

解记y'=p,则y〃=p',代入微分方程，当x>0时，

解得

y'=p=eJ8i7，h)dr+C)=/(—^cb-+C))=2+C：

因此

丁=2工+4。]]2+C2(z〉0).

由已知y(0)=0,有L().,于是C?二0,故

由题意，有

2=(2z+(G①2)也=1+卷G,

所以G=6,因此

y=2x+3x2.

由于

，3)+(—1)

O

故所求体积为

f5_f5_______

V=3兀-兀7n了卜心+1l）dy—5*-.

J066

—^-ln

y

设曲线L的方程为〜

18.求L的弧长；

正确答案：

解,二!(工7

工，则

=1+；（］2-2+2）=1（工+!），

i+(y)2=

于是L的弧长

r-jL（工十三加-丁（2+-）-4-

S=/l+S'Md

J1

19.设D是由曲线L,直线x=l,x=e及x轴所围平面图形，求D的形心的横

坐标.

正确答案:

xydij：

x=i

)dr

解平面图形D的形心横坐标的计算公式为i，其中

1曲=z[

1I1\4L116

「

xlnx+x=-P―7•

=j(jp-|lnz)(k=(^-|i)e

JlJi'4Lj1212'

所以D的形心的横坐标为

2222

^(e+l)(e-3)3(e+l)(e-3)

14(e3-7)

—p

1212

平面区域D的形心一般表达式为:

Tdidyy(Lrdy

</<>

DD

7==

cLrdydrclj1

</t>«/•>

DD

2。.设函数A")

1+才，X£[0,1],定义函数列:

fl(x)=f(X),f2(x)=f[fi(x)],—,fn(x)=f[fn-1(X)],・・・.

记出是由曲线y=0(x),直线x=l及x轴所围平面图形的面积，求极限

lim〃S〃.

正确答案：

解

X

人(6=兀力(M)]=14⑴==1+2J-；

1+1

“(1)=flf2(])1=1勺式为=1：3Z;

由数学归纳法得人⑺=,5=123,…).

rixri1T—ln(l+??)

Sn=

于是Jol+zz.rnJo1+〃JTnn2

i-i.「[ln(l+?7)1-

110172c,=hm1—---------=1.

故8L8L77_

J=2()+l)

21.已知函数f(x,y)满足，且f(y,y)=(y+l)2-(2-

y)lny,求曲线f(x,y)=0所围图形绕直线尸-1旋转所成旋转体的体积.

正确答案：

?=2(»+1)

解由cJy得

f(X,y)=(y+l)2+g(x).

又f(y,y)=(y+l)2-(2-y)lny,得

g(y)=-(2-y)Iny,

因此

f(x,y)=(y+l)2-(2-x)lnx.

于是，曲线f(x,y)=0的方程为

(y+l)2=(2—x)lnx(lWxW2).

其所围图形绕直线y=-l旋转所成旋转体的体积为

V=K(y+1)2dz*=兀(2—1)Indr

JiJi

~1I12/q、

=TC—x"(2-jr):*ln1+丁工'-2i+21nx=(2ln2—y)7t

.44」i\4/

?=2(y+l)

对于偏微分特别注意积分后不是加上任意常数

C,而是加上关于x的任意函数g(x).

22.设D是由曲线

»一—，1一(0。忆。1)与

的平面区域，求D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积和表面积.

正确答案：

解设D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为V,表面积为S,则

V=—7x—nydr

OJo

2ro

=亏兀-resin-t(cos3Z)'d/

3J号w

?c2/•-SL

=今冗+3n(1-cos2t)3cos2fd(cost)

oJo

216

一下一演7r

_18

=不力,

3o

.号

S=2n+2n？(£)，［7'(£)，+［；/(£)了df

Jo

rf，___________

=2n+27tsin3\/9cos7sin:7+9sin5/cos2t(\t

=2兀+67rsin；/cos£ck

Jo

_16

—r7l.

5

23.为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口（如

图）.已知井深30m,抓斗自重400N,缆绳每米重50N,抓斗抓起的污泥重

2000N,提升速度为3m/s,在提升过程中，污泥以20N/s的速率从抓斗缝隙中漏

掉.现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重力需作多少焦耳的功？

（说明：①INXbiPlJ；m,N,s,J分别表示米，牛顿，秒，焦耳.②抓

斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计.）

正确答案：

解作x4|如图所示，将抓起污泥的抓斗提升至井口需作功

WW+W2+W3,

其中团是克服抓斗自重所作的功；W2是克服缆绳重力所作的功；”为提出

污泥所作的功.由题意知

W尸400X30=12000。).

将抓斗由x处提升到x+dx处，克服缆绳重力所作的功为

dW,=50(30-x)dx,

-30

W产50(30—N)dz=22500(J).

从而J0

在时间间隔［t,t+dt］内提升污泥需作功为

dW3=3(2000-20t)dt,

30

号=10(s)

将污泥从井底提升至井口共需时间3,所以

70

W：s=3(2000-20Odr=57000(J).

J0

因此，共需作功

W=12000+22500+57000=91500(J).

24.某闸门的形状与大小如图所示，其中直线1为对称轴，闸门的上部为矩

形ABCD,下部由二次抛物线与线段AB所围成.当水面与闸门的上端相平时，欲

使闸门矩形部分承受的水压力与下部承受的水压力之比为5:4.闸门矩形部分的

高h应为多少米？

正确答案：

解/标1的建立如图，则闸门下部边缘抛物线的方程为

y=x“TWxWl).

由侧压力公式知，闸门矩形部分所承受的水压力为

P\=2Pg（九+l—））dj/

=2^L(A+1)3，-tJL

=pgh2,

其中p为水的密度，g为重力加速度.

同理，闸门下部承受的水压力为

Pz=[2Pg(九+l—y)6dy

=2pg[^（A+l）/--

按题意P2

即3h2-5h-2=0,

h=---

解之得h=2,3（舍去）.因此闸门矩形部分的高应为2米.

25.一个高为1的柱体形贮油罐，底面是长轴为2a,短轴为2b的椭圆.现将

b

贮油罐平放，当油罐中油面高度为2时（如图），计算油的质量.（长度单位

为m,质量单位为kg,油的密度为常量P,单位为kg/n?.）

正确答案：

22

石+4=1

解如图所示建立坐标系，则油罐底面椭圆方程为.图中阴影

e_1.

部分为油面与椭圆所围成的图形.记S］为下半椭圆面积，则L.

设y=bsint,则dy=bcostdt,

S?=2abMl—sin/costdt

Jo

=2abcos2tdt

Jo■

—ab(1+cos2%)ck=质(*+彳).

于是油的质量为

(S]+S2)/p=(：7T而+太而+,而)/p=■五+号””。・

26.一容器的内侧是由图中曲线绕y轴旋转一周而成的曲面，该曲线由

之2+2=2y(y>万1)与/+?2=]('&1)

N乙连接而

成.

(H)若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功？(长

度单位为m,重力加速度为gm/s2,水的密度为lO'kg/ml)

正确答案：

解法1U)由对称性，所求的容积为

2c.2

V=2V=2n厂b=2几(1-y2)dy=竽,

}J—iJ-i

97r3

m,

即该容器的容积为」

(H)因为当，功的微元

dW=101Ji(1-y2)(2-y)dy；

J

当2时，功的微元

dW=10；!gn[l-(y-l)L)](2-y)dy,

故所求的功为

32

W=10g3(1一「)(2_y)dj+10'g,□—(y_l)](2—y)dy

♦—]J,

=10Gg[J：(2-v-2y+v3)d^+.(4^-4y+/)dj/

2n

27X10』

43.1

二10,7rg一7厂8%

27X1O3

-------oTCgJT

即所求的功为8a

解法2(I)所求的容积为

?±f2

2

V=VI+V2=7t(1—y)d^+7t工(2y—y)dy

-i

±

=(T)2

一］+GT)4

97r

m"

即该容器的容积为4

(H)同解法1.

设f(x)在(-8,+8)上有连续导数，且m〈f(x)WM.

a

lim"(t+a)—/(，-Q)]d/；

27,求i'

正确答案：

解由积分中值定理和微分中值定理有

lim工[[/(，+a)—/(，—〃)]&=lim/[/(S+a)—/(£—〃)]

cr-*04〃J-aff-^Q〃'一

=lim/'(S")=lim/'(£，)=/"(0)(-aV’<£+a&2a).

a**0E-*0

J（，）d，一/（i）（。＞0）.

28.

正确答案：

证由f（x）的有界性及积分估值定理有

1Cu

J-a

又

-M^-f(x)<-m,

故有

1

—(M—???)—f(r)d£—/(z)&M—m,

乙aJ-a

即

£［：/"）山-/（外

I<M—m.

29.设f'(x)在[0,a]上连续，且f(0)=0,证明：

/G)ck(粤M=max|/(n)|

!*0乙，其中

正确答案：

证法1任取x£(0,a],由微分中值定理有

f(x)-f(0)=f(€)x,《£(0,x).

又因f(0)=0,故f(x)=f'(g)x,xE(0,a],于是

/(•r)dz|=||/'(£)icLr<|/'(E)h(lr<Miclr=%/.

。IUoIJoo2

证法2设x£[0,a],由f(0)二0知

，•

/7r)dz=/(JT)—/(0)=

J0

于是

/(T)|=7(z)d/<『I/(f)|dz<Mdf=Mr,

0JoJo

故

/Q:)df(!/(T)|di(MrcLr="」

JoJ0Jo6

/(•z)dr

对积分J。।作估计，只要对被积函数f(x)作估计即可.条

件中给出导数f'(X)及f(0)二0的信息，自然想办法把f(x)和f'(X)联系起来，

在高等数学中，联系f(x)和f'(x)的常用的有两种办法，一是微分学中的拉格

朗日中值定理(解法1),二是积分学中的牛顿一莱布尼茨公式(解法2).

30.设f(x)在［0,1］上连续且递减，证明：当0〈入VI时,

/•.

Ari

/(JT)dr/(1)dr

J0o

正确答案:

证法

fAfl

/(.r)cL—Af(x)dr=f(x)d.r—A—\/(.r)dz

0o

ri

=(1—1)/(j')Ar—A/(T)CLT

JoVA

[=(1-必/(&)-XI-Q/(&)=XI-/)[/(&)-/(&)1,

其中OWgW入W3WL因f(x)递减,则有f(□)文(—).

又入>0,1-:>0,所以入(1-入)[f(r)-f(320,即原不等式成

证法2令

二ri

F(A)=/(x)dr—A/(x)drtAG[0」].

F'(入)=f(2)—八外匕=/(A)—/(§)，we

J0

又f(x)递减，于是，当0＜入＜自时，r*X)＞o,当&v入＜1时,

F'(入)VO,且F(O)=F⑴=0,所以

7

F(A)=—A入£[0,1]

oJo'即

A

/(.r)dj'，A/(T)CLZ^AG[0,1]

Jo0

设函数s(z)=Icos11d九

0

31.当n为正整数，且nnWxV(n+l)几时，证明：2nWS(x)V2(n+1)；

正确答案：

解因为|cosx|20,且n冗WxV(n+1)Ji,所以

“孙.(什Dir

|cos川dr&S(N)VIcosWdr.

J0Jo

又因为Icosxl是以工为周期的函数，在每个周期上积分值相等，所以

rmK

|cosx|dr=?zIcosx\dx=z2n,

0Jo

(/H-Dr

cosz|dr=2(〃+l).

0

因此，当n兀<x<(n+l)冗时，有

2nWS(x)V2(n+1).

i.S(z)

lim.

32.求.l-工’

正确答案：

解由第一小题知，nnWxV(n+1)兀时，有

271<S(z)<2(〃+l)

(〃+l)7t工nn

令Xf+8,由夹逼准则得

lim里也2

JC7t

33.设函数f(x)在［0,Ji］上连续，且

/(M)CLT=0,/(JT)COSTdr=0

J0Jo试证明:在(0,冗)内

至少存在两个不同的点L,",使f(")=f(&2)=0.

正确答案：

F(JT)=/(f)dr,0<1<7T,

证令Jo

则有F(0)=0,F(JT)=0.又因为

0=7(z)cosj-dr=cosjdF(z)=F(x)cosx+FWsinTCLT=F(z)sinxdi.

JnJo0JOJ。

所以存在&e(0,工)，使F(g)si"=O.若不然，则在(0,兀)内或

c

F(jr)sinzclr=0

F(x)sinx恒为正，或F(x)sinx恒为负，均与J。矛

盾.但当W0(0,兀)时，sinWWO,故F(g)=0.

由上证得F(O)=F(g)=F(五)二0(0<€<Ji).

再对F(x)在区间[0,g],[1,弘]上分别应用罗尔中值定理，知至少存

在L£(0,G,一£(&,兀)，使得

F'(g)=F'(一)=0,

即f(€i)=f(C2)=0.

34.证明积分中值定理：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则至少存在一

*

/(j7)dr=/(77)(/;—a)

点n£[a,b],使得Ja.

正确答案：

证设M与m是连续函数f(x)在[a,b]上的最大值与最小值，即

mWf(x)WM,x£[a,b].

由定积分性质，有

Cb

ni(b—aXf(卫)dr&M(b—a),

Ja

即

1rb

〃忘7------f(J7)dz^M,

b-aJa

由连续函数介值定理，至少存在一点n£［a,b］,使得

八片土/(jr)cLr,

即

•b

/(i)cb=/(7)(〃­〃).

35.若函数6(x)具有二阶导数，且满足*(2)><b(1),

•3

卬(2)>o(<r)clz

,则至少存在一点，£(1,3),使得6〃小)<0.

正确答案：

证由上一小题的结论，可知至少存在一点nE［2,3］,使

以忆)(1丫=火(7)(3—2)=^(^).

C3

2)>(p(:c)dr=X

又由J2'知，2VnW3.

对d)(x)在［1,2］和［2,n］上分别应用拉格朗日中值定理，并注意到“(1)

<4)(2),4)(n)<(|)(2),得

&)=*三;⑴〉0,1V&<2,

d(&)=弋二名⑵vo,2<&v咨3.

在［加，一］上对导函数O'(x)应用拉格朗日中值定理，有

二？W)VO/e(&，&)U(1,3).

Cl

［解析］“加强形式的积分中值定理”设f(x)在［a,b］上连续，则

*

/(i)cLr=/(。(〃一〃){G(。").

JU

你会证明吗？提示：利用牛顿一莱布尼次公式和拉格朗日中值定坦.

设函数f(x),g(x)在区间［a,b］上连续，且f(x)单调增加,OWg(x)W