考研数学（数学一）模拟试卷431

考研数学(数学一)模拟试卷431

一、选择题(本题共8题，每题7.0分，共8分。)

]im—J=1

1、设f''(x)在x=0处连续，且i%(1+N),则()

A、f(0)是f(x)的极大值

B、f(0)是f(x)的极小值

C、(0,f(0))是曲线y=f(x)的拐点

D、f(0)非f(x)的极值，(0,f(0))也非产f(x)的拐点

标准答案：C

知识点解析：由巴卜(1+幻=1得r'(0)=0,由极限保号性可知存在3>0,

■^工)—>0

当IxlV6时，Ed+工)当xW(—5,0)时，因为ln(l+x)Vo,所以f'"(x)

<0；当xW(0,6)时，因为ln(l+x)>0,所以f''(x)>0,于是(0,f(0))为y=f(x)的

拐点，选C

x__2_=三

2、设平面兀平行于两直线彳一一2-7及2x=y=—z且与曲面Z=x2+y2+l相切，则

平面兀的方程为()

A、4x+2y—z=0

B、4x—2y+z+3=0

C、16x+8y—16z+11=0

D、16x-8y+8z-l=0

标准答案：C

知识点解析:平面兀的法向量为n={2,-2,l)x(l,2,2)=-3{2,1,一2}设平

面兀与曲面z=x?+2+l相切的切点为(xo,yo,Z0)则曲面在该点处的法向量为{2xo，

由"="=-7得了o=•1•，”=于是R

2y(),-1),2%2y.-12416,因此兀的方程为

''''''皿，整理得16x+8y—16z+U=0,选C

_(丁+2工-3)e+

3、‘一(工--Darctarur的渐近线的条数为()

A、2

B、3

C、4

D、5

标准答案：C

知识点解析：

由limy=­2,lim1y=2得y=—冬与y=2为两条水平渐近线；

由limy=00,limy=lim7(:七@，上一=—,limy=8得/=一】与"=。为铅宜渐近线;

X-1LILI(x4-1)arctanxK…+

由lim2=0得曲线没有斜渐近线，故曲线共有4条渐近线，应选(C).

*■9X

4、设D为xOy平面上的有界闭区域，z=f(x,y)在D上连续，在D内可偏导巨满

若f[x,y)在D内没有零点，则f(x,y)在D上()

A、最大值和最小值只能在边界上取到

B、最大值和最小值只能在区域内部取到

C、有最小值无最大值

D、有最大值无最小值

标准答案：A

知识点解析：因为f(x,y)在D上连续，所以f(x,x)在D上一定取到最大值与最小

值，不妨设f(x,y)在D上的最大值M在D内的点区)，yo)处取到，即f(xo,

荒，「这与手+矢=-彳=

y())=M^0,此时力F|«、句=o,Oxdy0矛盾，即f(x,y)

在D上的最大值M不可能在D内取到，同理f(x,y)在D上的最小值m不可能在

D内取到,选(A)。

1111

A=a1aj4，

5、[a；alala\其中a1，a2,a3,闻两两不等，下列命题正确的是()

A、方程组AX=0只有零解

B、方程组ATX=0有非零解

c、方程组ATAX=O只有零解

D、方程组AATx=0只有零解

标准答案：D

111

由a1a2at

知识点解析：由谑a*=(a3—ai)(a3—a2)(a2—ai)^0,得r(A尸3由r(A)=3V4,

得方程组AX=0有非零解，不选(A)；由r(Ab=r(A)=3,得方程组人T*=0只有零

解，不选(B)；由r(A)=r(ATA)=3V4,得方程组ATAX=0有非零解，不选(C)；由

r(A)=r(AAT)=3,得方程组八人丁乂=0只有零解，应选(D)

6、对三阶矩阵A的伴随矩阵A*先交换第一行与第三行，然后将第二列的一2倍加

--t*.•―.一

00I001

(A)--210(B)-01--2

100100

100001

(C)-01-2(D)-210

001100

A、

B、

C、

D、

标准答案:A

知识点解析：

由一后=%4,4(一2)得4・=一用&“-2)=一厮&⑵,

因为|A・|=|A-=i且|A|〉O,所以|4|=1,于是4・-i

100001]001

故A=G4,)-*=一左；(2)同&式-2)EM=-00110

001100100

选(A).

7、设连续型随机变量X的分布函数F(x)严格递增，y〜U(0,1),则2=11(丫)的分

布函数()

A、可导

B、连续但不一定可导且与X分布相同

C、只有一个间断点

D、有两个以上的间断点

标准答案：B

0,"0,

•»，04yV1

知识点解析：因为Y〜U(0,1),所以Y的分布函数为FY(y)=b'，则

Z=F-1(Y)的分布函数为Fz(z)=P(Z0z}=P{F—i(Y)Sz尸P{YSF(Z)}=FYF(Z)],因为

gF(z)Wl,所以Fz(z)=F(z),即Z与X分布相同，选(B)

8、设X|,X2,X3，…，Xn是来自正态总体N(a。2)的简单随机变量，X是样本

均值，记

S；=三乞(X,—丫儿货=1S(X,-X)2,S1=三七(x,-〃/⑸=工£(乂一浦?

则服从自由度为n-lWt分布的随机变量为（）

（A”=—X二Ji—（B）/=—Xy_（C）z=（D）x=—

S）/，.一1Si/—1Sj/GSJA

A、

B、

C、

D、

标准答案：B

知识点解析：，

令S:占£（X.-XT,则5=+£（XLX）,〜W（n-1）.

〜N（0,D,由S；=得苧=空（Xi-X>~/（n-D,且^^

口-Jn

x-“

a

与学相互独立，由，分布的定义.手—=.、三£---〃”一1）•洗（B）.

/*G

二、填空题（本题共5题，每题L0分，共5分。）

rr为曲线|"+歹=仃，

9、如a+3=dy-zydz=,其中，R_+l=。,从工轴的正向

看，1r为逆时针方向

标准答案：8兀

?产+，=4”

知识点解析：设曲线139—2+1=0所在的截口平面为2,取上侧，其法向量为

......................................CO^=-3C03/=4--

n={0,-3,1},法向量的方向余弦为cosa=0,A/IO，质由斯托

克斯公式得

■cosacospcos/0-31

且色且

yzdx+3zxdy-xydz=JJ*ds=且色色dS

3JCdydz^Idxdy3z

yz3zx-xyyz3zx-xy

描（256网=翩£

面z：Z=3y+1,其在xOy平面内的投’区域为Dxy：x2+y2<4y,

好=J】+(却+傍)"二网占'

于是,yzdx+3txdy—xydz=2|Jda=8K

10、设(P连续，且x2+y2+z2」Z+，­)"，则2z套+豢

标准答案：(p(y)~(p(x)—2x(x+y)

|夕(z+y-。山=Jdu)=j^(u)du*

x2+»'+/=j^p(u)du两边对x求偏导得

2“+2z空=—3(工)，解得生=--:土红

dx丁dx2z

x1+y+z"n两边对y求偏导得

2,+2啜=内)，解得意=叫二2匕则

知识点解析：2"一十』)十外-2G+Q.

11、设f(x)是以2兀为周期的函数，当XW［一兀，何时,

Ix|».0<|xKy»

./(x)

J-il*f《E&*'f(x)的傅里叶级数的和函数为S(x),则,(一岑)

标准答案：于

知识点解析：当X为f(x)的连续点时，f(x)=S(x)；当X为Rx)的间断点时,

OZX=f(工-0)+f(工+0)

2于是

S(一即=S(-4«+t)-S修卜小一与土削=A.

z=Af(xy)+再出♦王)

12、设“七'丫0f,<p分别具有二阶连续导数和二阶连续偏导数,

3，

一■■一=

则_______

标准答案："C+2冲;+犷“一手逅

知识点解析：

,=一十/（）+歹林+城，

=—5/'（制）+［f'（Ny）+yf（xjr）+2冲；+丁（斗：1—六/2）+邛：］一5向2

=W（%，）+2打；+秒，丸一j“.

13、10件产品中有-3件产品为次品，从中任取2件，已知所取的2件产品中至少

有一件是次品，则另一件也为次品的概率为

标准答案：百

知识点解析：令事件A二｛所取两件产品中至少有一件次品｝,B二｛两件产品都是次

P（A"1-P6-"1=高P⑻・圣=］，

则P(B|A)=整第P(B)=1

品),PCA)—Q

三、解答题（本题共12题，每题1.0分，共12分。）

14、计算」，「一2

标准答案：

fdx=―为一d(5-2)

=2口＜1—2=2x\/e*二2—21—2业,

令，e'-2=(,则z=ln(2+/),dz=市，

2+P

龄曲=2j(l—击拉.

所以/,&=2x

J-v/e--2

知识点解析：暂无解析

设f（x）=l+x（0<z<l）

⑸将侬展开成余弦级数,并求热

标准答案：将f(x)进行偶延拓和周期延拓，则

%=2j^/(x)dx=2J(1+N)(£I=3,

二2jo/(N)cosniu；dx=2j*(l4-x)cosnxxdx

=□〃=1，3,…，

[0,n=2,4，….

瓦=0(”=1,2,…)，则

1+K(甯+啜+・・・)(。。&])，

取工=0,则有S诵占5T=9，令£±=S,则

=1y1+y—i—=至+U

s4JM⑵-1)248,

解得力x

••1n0

知识点解析：暂无解析

16、将f(x)展开成正弦级数

标准答案：将f(x)进行奇延拓和周期延拓，则an=0(n=0,1,2,…),

b„=2Jy(x)sinnxxdx=(1+x)sinnxxdx

6

——,n=1,3,…，

2lr.

—[l-2(-l)s]c

nn2

----,n=2,4,…,

nn

KX+y-sin3nx—看sin4"+…(0VzV1)

则1+工=-sinxx-

知识点解析：暂无解析

17、设f(x)在⑶b］上连续，在⑶b)内可导(0小〈归2),证明：存在&ne(a,

b),使得八小号“⑷黑

标准答案：令g(x)=—cosx,gz(x)=sinx^O(a<x<b),由柯西中值定理，存在

r|G(a,b),使得cosa-co#sinq令h(x)=sinx,hx(x)=cosx^O(a<x<b),由

柯西中值定理，存在乐⑶b),使得sin6-sina"甫4.

从而匚5^(cosa-cos6)=二(？(sin6—sina),

sin^sin^

于是侬・c?北丁幽=R,或3・tan中=华，

si”sind-sinasin^si”Lsin^

故/卬tan审=/(0g.

知识点解析：暂无解析

18、设f(x)在［1,+8)上有连续的二阶导数，f(l)=O,f'(l)=l,且二元函数

32z।32z=0

Z=(X?+y2)f(x2+y2)满足正万一,求f(x)在［1,+oo)的最大值

dzg

标准答案：石=2xf+2x(x?+y2)f，ax，=2f+(10x2+2y2)f+(4x4+4x2y2)r,根据对

弯迂+虫

称性得dyt=2f+(10y2+2x2)fz+(4y4+4x2y2)f…/57=4f+12(x2+y2)

32z十3^_z=0

fz+4(x2+y2)2f，，令x2+y2=r,由疗疗一得f+3rf'+r2fz=0,令r=el,

r/'=亚—鱼，+2*+f=。._

3市'JdPdJ整理得出曲解得仁(Ci+C2t)「，于是

r

f(r)=(Ci+C2lnr),由f(l)=0,得C.O,f(r)=~f'(r)=/,由

/(x)=典

f'(1)=1，得C2=l，于是‘工，得x=e,当xW(l,e)时，f'(x)>0,当x>e

时，f'(x)V0,则x=e为f(x)在［1,+oo)上的最大值点，最大值为」f(e)=—e

知识点解析：暂无解析

12工,dydz+Zy'dcdr+3cli—Ddzdj

19、计算曲面积分X其中Z为曲面Z=l—x2

-y2(zK))的上侧

标准答案：补充Zo：z=0(x2+y2<l),取下侧，

1=(勺—jj)2x3dydz+2>3dzdx4-3(x:-l)dxd>

加4%由格林公式得

。2x3d.ydz+2y3dzdx+3(x2—Ddrdy

=6jjJ(xl4-yt')dv-6|dz：J(丁+y2)dxdy=6]dzJ：dd：/“

3n(1—«):dz=it,

2x3dydz+2ydN(lr+3(z?—Ddzdy

jj03(jr:—Dd-rdy=-3jj,(xl-Ddxdjr=-3Jd^|(r'cos2^-r)dr

X

-品cos2Odd4-3K=-31cos2<W+3*=竽

则原式=L学一条

44

知识点解析：暂无解析

“1+"2+/j+Nd=0,

it+2xj+2jrt=1,

-x：+(a-3)x3—2x<=6,

20、a,b取何值时，方程组3n+2八+为+所,=-1有唯一解、无解、有无穷

多个解?有无穷多个解时，求出其通解

标准答案:当存1

时，r(A)=r(&=4,所以方程组有唯一解；当a=l,屏一1时，r(A)打⑸,所以方

程组无解；当a=l,b=-l时，方程组有无穷多个解，通解为X=ki(l,-2,1,

TTT

0)+k2(l,-2,0,l)+(-l,1,0,0)(ki，k?为任意常数)

知识点解析：暂无解析

设A是三阶矩阵，a”012，013为三维列向量且a1*，若Aa]=a],Aa2=a]+a2，

Aas=a2+a3

21、证明：向量组四，s，013线性无关

标准答案：由Aa]=ai得(A—E)ai=0,由Aa2=ai+a2得(A—E)a2=ai,由

Aa3=a2+a3得(A—E)a.3=a2令kiai+k2a2+ksa3=0»1)两边左乘以(A—E)得k2ai+

k3a2=。2)两边再左乘(A—E)得k3Ct]=0,由ai，O得k3=0,代入2)得k2ai=0,则

k2=0,再代入1)得kiai=O,从而ki=O,于是ai，“2，口3线性无关

知识点解析：暂无解析

22、证明：A不可相似对角化

标准答案：令P=(ai，a?,(13),由(Aoq,Aa2，Aas)=(ai,ail+ct2，(12+013)得

110110

AP=P011，从而kAP=011=B,

001001

由|AE-A|=|AE-BI=(A—l)s=0得A的特征值为箝=A：=A,=1♦

0-101.

E—B=00—1•

000因为r(E

-B)=2,所以B只有一个线性无关的特征向量，即B不可相似对角化，而A〜B,

故A不可相似对角化.

知识点解析：暂无解析

有甲、乙、丙三个盒子，第一个盒子里有4个红球1个白球，第二个盒子里有3个

红球2个白球，第三个盒子里有2个红球3个白球，先任取一个盒子，再从中先后

取出3个球，以X表示红球数

23、求X的分布律；

2

标准答案：令Ak={所取为第k