考研数学三（定积分及应用）模拟试卷6

考研数学三(定积分及应用)模拟试卷6

一、选择题(本题共2题，每题7.0分，共2分。)

1、下列广义积分发散的是().

.-r-dr

A、Jf.isiiu?

1-

B、J，/]-I

C>fo+°°e-X2dx

dx

D、L+'lnG

标准答案：A

1.

知识点解析：J/sinx中，x=0为该广义积分的瑕点，且sinx〜xl由住1,得

广义积分J/回发散；为该广义积分的瑕点，且收敛，同理日也收敛，故收

敛；(尸尸2dx中，e*为连续函数，因为*2尸2=0,所以6VX2dx收敛；根据广

义积分收敛的定义，收敛，选A.

2、设f(x),g(x)在区间[a,b]上连续,且g(x)Vf(x)Vm,则由曲线y=g(x),y=f(x)

及直线x=a,x=b所围成的平面区域绕直线y=m旋转一周所得旋转体体积为().

A、7tJab[2m-f(x)+g(x)][f(x)-g(x)]dx

b

B、7tfa[2m-f(x)-g(x)][f(x)-g(x)]dx

b

C、7rfa[m-f(x)+g(x)][f(x)-g(x)]dx

b

D、7uJa[m-f(x)-g(x)]|f(x)-g(x)]dx

标准答案：B

知识点解析：由元素法的思想，对[X,x+dx]C[a,b],dV=(7i[m-g(x)]2-7i[m-

2b

f(x)])dx=rc[2m-f(x)-g(x)][f(x)-g(x]dx.则V=jcfa[2m-f(x)-g(x)][f(x)-g(x)]dx,选B.

二、填空题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)

3、晓和(1+刊

2_

标准答案：ln2-2

lim24n(l+=)=lim-XLn(l+=)

知识点解析：'九/L8〃一〃'〃/

=fo1xln(l+x2)dx=冈ln(l+x2)d(l+x2)f]2lntdt=lntIi-Mi2t=ln2-

22

4、j0v2x-JCdr

TV

标准答案：2

知识点解析：

,2—(z-1)2d(x—1)■■■■■J2z

A/2j?-x2dx•Jl—udu=2f-u

J00-iJo

■■■in/「三

'"2'cos/•cos/d/2fjco^d/=2x|x1=f.

5、J。1+，1一“2二

------1

标准答案：2

知识点解析:

f1dz1

(if

01+V1-X

n172

d?=secgd

277oZ

2cos'7

t

2o2

rJL•4

4sinx,

--------dj

6、/+/=

37r1

标准答案：324

知识点解析：因为在[-a,a]上连续的函数f(x)W/-aar(x)dx=Joa[f(x)+f(-x)]dx,所以

划”=fsin：(备+F777)"=f；sin，妙

=J；(匕衿)"=H：(]_cos"dr

=(1-2cos/+cos2z)山=7T7f2costdt+』「cos21dz

8Jo164Jo8Jo

164822324

F-

7、设f(x)」।e-t2dt,则J(J曰-_________.

标准答案：eL|

知识点解析：

f-=2ff(x)d-/x=2丘f(工)一2「6r(N)dz

JoGJoJo

•Jx•e-T•-dx

l，x-1

2fo2Vx=J0e-dx=e-l.

8、fo+c°x7e_X2dx=.

标准答案：3

2

知识点解析：10+激7屋也=2626夕2d(x?)=口fo+3°t3e-tdt==3.

9、曲线y=x%x2(xX))与x轴围成的区域面积为

标准答案:O

X2

知识点解析：A=fo+O°x4e-X2dx----Jo^tV1.[Ux]e4dt

三、解答题(本题共18题，每题J.0分，共18分。)

10、设f(x)=xe2x+2joif(x)dx,求J(/f(x)dx.

标准答案：令A=Jo"(x)dx,对f(x尸xe2x+2j(/f(x)dx两边积分，得

1e2+l

A=f()lxe2xdx+2A,解得A=fo1f(x)dx=Jo1xe2xdx=2卜卜”碎)=4

知识点解析：暂无解析

⑴匕（龙黑+”门

sinr-cosx

1+sin2H

x+Isi•n2x

(1+cosx)2

______dx______

(COST+2sinj)2

(7)P-------J--dxi

JTi+7r

(8)p任”陪id-

17、计算下列定积分：J。1+sinz

标准答案：(I)

ri/cosx,.\,ficosx.rid(2+siar)

——：---1-x2siardx=,—~：—dz=-z-.~:----

J-f\24-sinx)J-f2+sinxJ-Kf2+sinx

w

=ln(2+sinx)=ln3.

।-T(2)

□

」(3)(4)(5)(6)(7)(8)

知识点解析：暂无解析

\rsin2x,z>0,

18、设f(x)=11-bcosx求卜2兀f(x-兀)dx.

sinx

标准答案：Jo211f(X-兀)dx=J()2吁(x-兀)d(x-7t尸J.『F，(x)dx+coszx

o区r)

IJoHxsin27xdx=-arctan(cosx)I-兀"+Jonsin-xdx

知识点解析：暂无解析

匕[ln(#++三)9

19、求J—+sinzx]coszxdx.

标准答案：因为ln(N+/l+工2)为奇函数,所以国

2222・2・2

+sin，x]cos“xdx=sin~xcosxdx=sin*'x(1-sin**x)dx=2(l2-l4)

知识点解析：暂无解析

20、求函数f(x)=JoX2(2-t)e-tdt的最大值与最小值.

标准答案：因为f(x)为偶函数，所以只研究f(x)在[0,+8)内的最大值与最小值即

可.令「(x)=2x(2-x2)e72=o,得f(x)的唯一驻点为x=&当x&O,回)时，f(x)>

0,当xC(,ico)时,F(x)<0»注意到驻点的唯一性，则入=及x=为函数f(x)的最大

值点，最大值为因为f(+co)=f{-co)=I(24)e-,dt=l及f(0)=0,所以最小值为0.

知识点解析：暂无解析

b,

21、设f(x)在[a,b]上连续，证明：faf(x)dx=(b-a)fofla+(b-a)x]dx.

..x«a+<6—.

标准答案：Jabf(x)dx-fof[a+(b-a)t].(b-a)dt=(b-a)fof[a+(b-a)t]dt=(b-

a)fo1f[a+(b-a)x]dx.

知识点解析：暂无解析

22、设f(x)在区间[0,1]上可积,当0<x<y<l时，If(x)-f(y)I<Iarctanx-

arctanyI,又f(l)=0,证明：IJo*f(x)dxI<21c2.

标准答案：由If(x)I=If(x)-f(l)I<Iarctanx-arctan1I=Iarctanx-|得|

凶

fo1f(x)dxI<[()*If(x)Idx<fo!Iarctanx-Idx=J(J(-arctanx)dx=-J(Jarctanxdx=-

xarctanxIo1+fo1ln(l+x2)Io1=ln2.

知识点解析：暂无解析

23、设f(。在[0,兀]上连续，在(0,兀)内可导，且JoTxNosxdxTo'fa/inxdxR.证

明：存在乐(0,71),使得仔《)=0.

标准答案：令F(x)=JoXf(t)sinldt,因为F(0尸穴兀尸0,所以存在XI®0,兀)，使得

F'(xi)=0,即f(xi)sinx]=0,又因为sinxi#0,所以f(xi)=O.设x[是f(x)在(0,九)内

唯一的零点，则当x£(0,兀)且x,xi时，有sin(x-xi)f(x)恒正或恒负，于是Jo'siiXx-

X1)f(x)dx，0.而Jo'sin(x-x])f(x)dx=cosxJo阡(x)sinxdx-sinxiJo"f(x)cosxdx=0,矛盾，

所以f(x)在(0,%)内至少有两个零点.不妨设f(X])=f(X2)=0,xi，X2G(0,九)且X|V

X2，由罗尔定理，存在年(xi，X2)U(o,7t),使得r(o=o.

知识点解析：暂无解析

24、求曲线y=x?・2x与直线y=0,x=I,x=3所围成区域的面积S,并求该区域绕y

轴旋转一周所得旋转体的体积V.

J

标准答案：所求面积为S=J/If(x)Idx=J(2x-x2)dx-I(x2-2x)dx=(x2-^x3)IJ+(

x3-x2)I23=2；Vy=2兀JJx|f(x)|dx=27t[f]2x(2x-x2)dx+f23x(x2-2x)dx]=2n[(x3-x4)I

i2+(x4-x3)I23]=9TI.

知识点解析：暂无解析

25、设L：y=sinx(0<x<2),由x=0,L及y=sint围成面积Si⑴；由y=sinl,LR.x=

山围成面积S2(t),其中gts(l)t取何值时，S(t)=S](t)+S2(t)取最小值？(2)t取何值

时,S(t)=Si⑴+S2⑴取最大值?

一、.『回

标准答案:S1(t)=tsint-folsinxdx=tsint+c