课标版2025版高考数学大一轮复习第十一章统计统计案例第4讲概率与统计的综合问题检测文

第4讲概率与统计的综合问题

高效演练•分层突破

［基础题组练］

1.为探讨女高校生体重和身高的关系，从某高校随机选取8名女高校生，其身高和体

重数据如下表:

身高

165165157170175165155170

x/cm

体重

4857505464614359

y/kg

利用最小二乘法求得身高预报体重的回来方程为尸（）.849>—85.712,据此可求得人

0.64,下列说法正确的是（）

A.两组变量的相关系数为0.64

B.4越趋近于1,表示两组变量的相关关系越强

C.女高校生的身高说明了64$的体重改变

D.女高校生的身高差异有64%是由体重引起的

解析：选C.用最小二乘法求得身高预报体重的回来方程为y=0.849x—85.712,据此可

求得V-0.64,即女高校生的身高说明了64%的体重改变，而随机误差贡献了剩余的36$,

故选C.

2.为了考察两个变量x和y之间的线性相关状况，甲、乙两个同学各自独立地做了10

次和15次试验，并且利用最小二乘法，求得回来直线所对应的方程分别为7.：y=0.7x-0.5

和Ay=（）.8*-l,则这两个人在试验中发觉对变量不的观测数据的平均值s与对变量y

的观测数据的平均值-的和是（）

A.8B.9

C.10I）.II

解析：选A.因为两组数据对变量x的观测数据的平均值都是s,对变量y的观测数据的

平均值都是"所以两组数据的样本中心点都是（s,0.因为数据的样本中心点肯定在线性

£=0.7s-0.5,（s=5,

回来直线上，所以回来直线人和心都过点（s,。.由八八解得"所以s

"=0.8s-l,（t=3,

+£=8.故选A.

3.（2024•贵阳第一学期检测）力市某校学生社团针对“力市的发展环境”对男、女各

10名学生进行问卷调查，每名学生给出评分（满分100分），得到如图所示的茎叶图.

图⑵

(1)计算女生打分的平均分，并依据茎叶图推断男生、女生打分谁更分散(不必说明理

由);

⑵如图(2)是按该20名学生的评分绘制的频率分布直方图(每个分组包含左端点，不包

含右端点)，求a的值;

⑶从打分在70分以下(不含70分)的学生中抽取2人,求有女生被抽中的概率.

解：⑴女生打分的平均数为导(68+69+76+75+70+78+79+82+87+96)=78；

男生打分比较分散.

9

(2)由茎叶图可知，2。名学生中评分在［70,80)内的有9人，则以=+10=0.045.

乙U

(3)设“有女生被抽中”为事务4由茎叶图可知，有4名男生，2名女生的打分在70

分以下(不含70分)，其中4名男生分别记为a,b,c,d,2名女生分别记为勿，n,

从中抽取2人的基本领件有ab,ac,ad,am,an,be,bd,bm,bn,cd,cm,cn,dm,

dn,mn,共15种，其中有女生被抽中的事务有a勿，a〃，bm,bn,cm,cn,dm,dn,mn,共

aq

9种，所以尸(4)=F=(

lb□

4.(2024•河南郑州一中入学测试)已知某中学高三文科班学生共有800人参与了数学

与地理的测试，学校确定利用随机数表法从中抽取100人进行成果抽样调查，先将800人按

001,002,…,800进行编号.

(1)假如从第8行第7列的数起先向右读，请你依次写出最先抽取的3个人的编号；(下

面摘取了第7行到第9行妁数据)

84421753315724550688770474

第7行

476721763350258392120676

63016378591695556719981050,

第8行

717512867358074439523879

33211234297864560782524207'

第9行

443815510013429966027954

(2)抽取的100人的数学与地理的测试成果如下表：

成果分为优秀、良好、及格三个等级；横向、纵向分别表示地理成果与数学成果，例如:

表中数学成果为良好的人数共有20+18+4-42.

数学

人数

优秀良好及格

优秀7205

地理良好9186

及格a4b

①若在该样本中，数学成果的优秀率是30乐求a6的值；

②在地理成果及格的学生中，己知^11,2)27.求数学成果优秀的人数比及格的人数

少的概率.

解：(1)785,567,199.

H

⑵①”0aX100X=30*,所以a=14,Z?=100-30-(20+18+4)-(5+6)=17.

②a+Z;=100—(7+20+5)-(9+18+6)-4=31.

因为aell,b、7,所以a,力全部可能的取值为：

(11.20).(12.19).(13.18).(14.17).(15.16).(16.15).(17.14).(18.

13),(19,12),(20,11),(21,10),(22,9),(23,8),(24,7),共14种.

当人27时，设“数学成果优秀的人数比及格的人数少”为事务人则a+5<8.

事务力包括：(11，2D),(12,19),共2个基本领件.

21

所以必用=77=及

故数学成果优秀的人数比及格的人数少的概率为;.

［综合题组练］

1.某班甲、乙两名同学参与100米达标训练，在相同条件下两人10次训练的成果(单

位：秒)如下.

X12345678910

甲11.612.213.213.914.011.513.114.511.714.3

乙12.313.314.311.712.012.813.213.814.112.5

(1)请画出适当的统计图：假如从甲、乙两名同学中选一名参与学校的100米竞赛，那

么从成果的稳定性方面考虑，选派谁参与竞赛更好，并说明理由(不用计算，可通过统计图

干脆回答)；

(2)经过对甲、乙两名同学的若干次成果的统计，甲、乙的成果都匀称分布在［11.5,14.5］

之间，现甲、乙竞赛一次，求甲、乙成果之差的肯定值小于0.8的概率.

解：(1)茎叶图(其中茎表示整数部分，叶表示小数部分),

甲乙

756117

2123085

19213328

3501431

7.

从统计图中可以看出，乙的成果较为集中，差异程度较小，故选派乙同学参与竞赛更好.

⑵设甲同学的成果为X,乙同学的成果为八则由lx—WV0.8,得一0.8Vx-yV0.8,

y

y=i+0.8」,

145..................................[1-OS

O'11.514.5x

如图，阴影部分的面积为3X3-2.2X2.2=4.16.

416104

故所求概率为〃(=以一().

Ix-y|<0.8)8Vx—yVO.8)=7<5^X73=—5

2.（2024•沈阳质量检测（一））为调杳中国及美国的中学生在“家”、“挚友聚集的地

方”、“个人空间”这三个场所中感到最华蜜的场所是哪个，从中国某城市的中学生中随机

抽取了55人，从美国某城市的中学生中随机抽取了45人进行答题.中国中学生的答题状况:

选择“家”的中学生的人数占高9选择“挚友聚集的地方”的中学生的人数占Q而选择“个

31

人空间”的中学生的人数占正，美国中学生的答题状况：选择“家”的中学生的人数占个

1U□

31

选择“挚友聚集的地方"的中学生的人数够选择“个人空间”的中学生的人数占；

(1)请依据以上调查结果将下面的2X2列联表补充完整，并推断能否有95%的把握认为

“恋家(在家里感到最华蜜)”与国别有关：

在家里感到最华蜜在其他场所感到最华蜜总计

中国中学生

美国中学生

总计

(2)从被调查的不“恋家”的美国中学生中，用分层抽样的方法随机选出4人接受进一

步调查，再从4人中随机选出2人到中国沟通学习，求2人中含有在“个人空间”感到最华

蜜的中学生的概率.

on(ad-be)'_,.,..,

附：其中〃=a+6+，+d.

0.0500.0250.0100.001

莅3.8415.0246.63510.828

解：⑴补充2X2列联表如下:

在家里感到最华蜜在其他场所感到最华蜜总计

中国中学生223355

美国中学生93645

总计3169100

a100X(22X36—9X33)」,cc-

因为犬=31X69X55X45%(628>3.841,

所以有95%的把握认为是否“恋家”与国别有关.

(2)用分层抽样的方法选出4人，其中在“挚友聚集的地方”感到最华蜜的有3人，在

“个人空间”感到最华蜜的有1人，分别记为m，包，a,b,则全部的基本领件为(国,品)，

(d,&),(国，方)，(我，a),(斑，0,(&,b),共6个.

设“含有在‘个人空间’感到最华蜜的中学生”为事务力.

则力包含的基本领件为E,0,(亚，〃，(&,W,共3个，

3I

所以一(心

0/

故2人中含有在“个人空间”感到最华蜜的中学生的概率为5

乙

3.(应用型)(2024•太原模拟试题(一))某校提倡为特困学生捐献，要求在自动购水机

处每购买一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少抽入一元钱，现统计了连续5天的售出矿泉水

箱数和所得捐款额状况，列表如下：

售出水量力箱76656

所得捐款额〃元165142148125150

学校安排将捐款以奖学金的形式嘉奖给得才兼备的特困生.规定：特困生综合考核前

20名，获一等奖学金500元：综合考核前21〜50名，本二等奖学金300元：综合考核50

名以后的不获得奖学金.

(1)若x与y成线性相关，则某天售出9箱水时，预料所得捐款额为多少元？

(2)假设甲、乙、丙三名学生均获奖，且各自获一等奖和二等奖的可能性相同，求三人

获得奖学金之和不超过1000元的概率.

n

E(x-x)(y,­y)

附：回来方程旷=bx-\-ci,其中6=---------------------二-------,a=y—bx.

E(XLx)2

7+64-6+5+6。

解:(1)7=----------二----------=6

165+142+148+125+150

=146,

5

5__

£(X/-x)(/>—y)

:/=i19+0+。+21+。=

b=-----------------------------------

14-0+0+1+0

£(XLx)2

;=1

a=y—=146—20X6=26,

所以y=20x+26.

当x=9时，y=20X9+26=206.

即某天售出9箱水的预料所得捐款额是206元.

(2)设事务4：甲获一等奖；事务4;甲获二等奖；事务笈：乙获一等奖；事务限乙

获二等奖；事务G：丙获一等奖；事务G：丙获二等奖.

则总事务为(4,B\,G),(4,R,C),(4,'G),(4,圾G),(4,反,G),(4,

B\,C),(4,G),(4,晟，G),共8种状况.甲、乙、丙三人获得奖金之和不超过1000

元的事务有(4,B”G)1种状况，则三人获得奖学金之和不超过1000元的概率为5.

4.某市一中学课外活动小组为了探讨经济走势，对该市1994〜2024年的GDP(国内生

产总值)相关数据进行了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.

,y..

818

值型3

.P类.

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