解三角形-高考数学解答题专项练习

正、余弦定理及解三角形

一、梳理必备知识

利用正、余弦定理解三角形属于高考中的常考题型，常考类型主

要包括：求角的大G，求边的长度，求三角形的面积及面积的取值范

围，求三角形周长及周长的取值范围。

一、正弦定理和余弦定理

I、正弦定理：在AABC中■i分别为角ABC的对边,，则行^=赢=A7T=2〃

（A为AAB「的外接国的卡价）

2、正弦定理的变形公式：

Ca=2/CsinA./>=2/CsinB,c=2Ksin('；

②sinA-•sinB

2R2R2R

③。：6:c=sinA:sinB:sin('：

3、：.角形面枳公式：=—besinA——cibsinC=—c/csinB.

b1\c:a

4,余弦定理：dAAB1中.(iu:b2+c22/KCOSA,推论：cosA

2bc

a'+L-b'

b'-a'+c'-ZficcosB.推论：cos"一

2ac

2.2

c:=u:+h:-24/ACOSC.推论：cost'=^———

lab

二、解三角形

1、三角彩中的边*关系

(1)二.加杉内加和F丁180：

(2)・•角形巾仃直两边之W大于第•边,任意两边之差狂第三边：

(3):.角形中大边对大角,小边对小角:

(4)止弦定理中，。一乂期且b-2R$inli,c^sinC.其中R是A.外接劫T抬.

(5)在余弦定理中:28。3=82'/«*.

(.6)三地形的面枳公式有:S=—ah,S=gabsin(、-£Z,csia4-；acsmB,5=H

­///

中.方是/«.边上高,〃是半周长.

2,利用正、余弦定网及三角彩西积公式等0任丸三角彩

(I)己知两知及•边.求其它边角,常选川地定理.

(2)已知两边及其中•边的对角.求另•边的对角•常选用侬定理.

(3)已知三边.求三个角，常选用金弦定理.

(4)已知两边和它们的夹角,求第•劝和其他两个角,常选用余弦定理.

(5)已知两边和共中一边的对角.求笫：边和我他两个用・常选川正弦定理.

3.三角形中的三角变换

(1)角的变换

W为在△ARC中，A^R^Cx,所以sin(A+H)sin('：c(>s(A+Hf-cos(,：lan(AH)tanC•

sin^CA+B.C

-cos-,cos------------sm—：

2222

(2):角形边、角关系定理及面枳公式，正弦定理.余弦定理

面积公式1S*ah,=abnnC«r,p=^p(p-a)(p-b)(p-c).其中「为•:角形内切W半径，P为周长之半x

(3)在△ABC中，熟记并会证明：ZA.ZB./C成等无数列的充分必要条件是/B60。：△ABC是正

三角形的充分必要条件达NA.ZB./C成等基数列且a,b,c成等比数列.

二、解三角形题型综合讥练

1.已知△ABC的内角A,及C的对边分别是且人=3,a-c=2,A=专.

(1)求448。的面积；

⑵求sin(A-C)的值.

仅=3,

解:⑴由已知得。-。=2，2分

(a2=b2+c2-2bccos^,

解得O4分

故SwcW心inAWx3x£xsin第二早.6分

(2)结合(1),由正弦定理得看二焉，得sinC二聆7分

由c〈a,得C为锐角，所以cosC=Vi-sin2c=^,9分

所以sin(i4-C)=sinAcosC-cosAsinC-xIA+lx^=^.12分

2.在△ABC中，内角A,£C所对应的边分别是cM?,c.已知cos28=3cos(A+C)+L

(1)求B的大小；

(2)若AABC的面积5=5、氏。=1(),求sinAsinC的值.

2.解:⑴由cos2B=3cos(A+0+l,可得

2COS2B+3COS8-2=0,2分

解得cos4=)或cosA=-2(舍去)，

因为8d0,兀),所以5分

(2)由S=*csinB=56，得c=2.6分

由余弦定理得b2=a2+c2-laccos8二84,所以〃=2&1,

8分

由正弦定理捻端啧，

可得sinAsinC=^sin25=^.10分

b

3.在△ABC中，内角A,6,C所对的边分别为。力C己知"必十.W，且b=2.

acz

(1)求证:〃+企4;

(2)若aABC的周长为2+3企,求其面积S.

3.解:⑴证明:方法一，由己知及正弦定理，得黑+篝二焉1分

siii/isinesino

禺汨cos力+cosC_cos」sinC+a>sCsin4_sin(/l+C)_sinb

sin/1sinCsiMsinCsinAsinCsin/lsinC,

所以8即%二分

si「n/：lsinC。一sin®'sinsinAsinC.4

由正弦定理得即ac=4,所以。+企2延=4,当旦仅当a=c=2时，等号成立.

6分

方法二，由已知及余弦定理，得号等+粤誓W，

4分

得ac=2/)=4,所以a+cN2而=4,当且仅当a=c=2时，等号成立.6分

(2)因为△ABC的周长为2+3&,所以a+c=3&.

7分

因为/>2=t72+c2-2flccosB=(a+c)2-2ac-2accosB,

由⑴可知,ac=4,所以cosB吟又Be(0,7r),

所以分

sing/4.10

所以△A8C的面积S=^acsinB-.12分

4.记△ABC的内角A,8,C的对边分别为a力,c,8丹，且(sinA+sinB)sinC+cos2C=I.

•J

(1)求证:5a=3c;

(2)若△ABC的面积为156,求a

4.解:(l)iiE明：：'(sinA+sin8)sinC+cos2C=1,

•：(sinA+sinB)sinC+l-2sin2c=1,2分

.：(sinA+sin8)sinC=2sin2C,XsinC/0,

・：sinA+sinfi=2sin。，结合正弦定理得a+b=2c.4分

由余弦定理得cos8=胃空即六笔或

则:立警犬整理可得5〃=3c.7分

zlac

(2)由(1)知々=阮故Sc=/csin。=如卷><(?*噂=15后10分

可得c=10.12分

5.在△ABC中，内角A、B,C的对边分别为a,Z?,c,且cosQin(44-*sinCsin(71-^=1

(1)求角8的大小;

(2)若AABC的周长为4,面积为4,求b.

5.解:(1)因为cosCsin(A+^-sinCsin(71-^=1,

所以cosCsin(4-j+)sinCsin^/1-^

即cosGcos(A・5sinCsin^-^=1,

所以cos,+C-；)'.

因为A+B+CF,所以4+C=e9所以cosg-B月，又所以？＜筌8＜当

所以"8』,即B=-.

333

⑵由余弦定理得""fosB=；,

2ac2

即cT+(r-ac=b2,^^)a+〃+c=4,所以t72+c2-«c=[4-(67+c)]2,tP(«+c)2-3ac=[4-(«+c)]2,

整理得3ac+16=8(a+o).

由aABC的面积为;ac'sin[=g得ac=^,

所以a+c4,所以万V

6.在△ABC中，内角A,8,C的对边分别为。力0,已知3(sinA-sinC)2=3sin2B-2sinAsinC.

(1)求cos8的值.

(2)若5a=3b.

⑴求tanA的值；

(ii)求sin(2A+《)的值.

o

解:⑴由正弦定理白=搐=$及3(sinA-sinQ2=3sin2B-2sinAsinC,

sin/isinnsine

得3(Q-C)2=3力2-2ac,化简得a2+(r-b~~ac,2分

由余弦定理知,cos8二贮留4H.4分

(2)(i)由(1)知,cos

J

(0,7i),Zsin5分

：，5a=34,：〃</?,且5sinA=3sin8,即sinA=|sinB-,

COSB>04<B,・：COSARl-sin2A=等，7分

.5强=吗=；.8分

8sA2

(ii)由(i)知,sinA=4,cosA二孚，

O3

.：sin2A_2sinAcosA-J,cos2A-1-Zsin%一;，10分

Zsin(2A+J)=sin2AcosJ+cos2Asin5=ix^+1xl=±^t2.12分

7.在△ABC中，内角ABC所对的边分别为a,"c,且b=a+2.c=a+3.

(1)若5sinAsinC=4-4cos2A,求cosA的值.

(2)是否存在正整数使得ZXABC为钝角三角形?若存在，求出a的值;若不存在，请说明理

由

解:(l)5sinAsinC=4-4cos2A=4-4(l-2sin2A)=8sii?A,因为A£(0,0所以sinA>0,

所以5sinC=8sin4,则5c=8。,即5(a+3)=8。,可得a=5,所以c=a+3=8力=o+2=7.

由余弦定理可得cosA=「*：。=77.

2bJc14

⑵假设存在正整数a,使得△ABC为钝角三角形，由题知c知>4则C为钝角，

所以cosc="：c2=m+2：+a2；a+3)2<0,即，_24_5<0,解得1-V6<«<1+V6.

2ab2a(a+2)

根据三角形三边的关系可得a+“+2>a+3,可得所以1I+V6.

因为。是正整数，所以«=2或*3,因此当a=2或”3时,zMBC为钝角三角形.

8.设△ABC的内角人民。的对边分别为已知AABC的面积为(；Q2-b2)sinC

(1)证明:sinA=2sinB;

(2)若4cos。=56,求cosA.

8.解:⑴证明:由题得抽sinC=(1a2-b2)sinC,

又sinCHO,所以抽二次方,2分

由正弦定理可得sinAsin8=si/A-Zsin?及所以sinB(sinA+sinB)=sin2A-sin2B=(sinA+sin

B)(sinA-sinB),又sinA+sin琼0,所以sinB=sin>4-sinB即sinA=2sinB.5分

(2)由⑴及题设得,sinAcosC=2sin8cosC=|sinB,又sin8>0,所以cos。=衿偿4),则

3c哼故SinC4又cos。=啥=叱鬻产=交弓，所以sinB吗.7分

因为5布4=241I8,所以8<5，所以858=苧，8分

乙O

所以cosA=cos[n-(fi+C)]=-cos(B+C)=sinBsinC-cosBcosC=^xf-苧乂>耳.

9.在△ABC中，内角ARC的对边分别为.力c且

⑴若cosAcosC=g,求的面积.

⑵试问5+}=1能否成立?若能成立,求此时△ABC的周长;若不能成立,请说明理由.

解:⑴由8=季得A+C=m，cos(A+C)=cosAcosC-sinAsinC,即g=cos4cosC-sinAsinC.2

分

又cosAcosC=5',・：sinAsinC~.o3分

万

•,斯•a一_赤cF—l—

T

•：a=2VIsinA,c=2岳inC,4分

，x岳分

•-SM«c=L^2V2sinAx2inCxsinB=4sinAsinBs6inZC=34xlx^=^.6

⑵假设：+3=l能成立，则a+c=ac.7分

由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB,得6=a2+c2+ac,9分

•：(a+c)2-ac=6,.：3c)2-ac-6=0,解得ac=3或ac=-2(舍)，比时a+c=ac=3,

不满足。+仑2\码当且仅当a=c时取等号)，即假设不成立，

.：；+；口不能成立.分

ac12

10.如图J4-1,一架£机从4地沿直线匕往8地，两地相距200km飞行员为了避开某一区

域的雷雨云层，从机场起飞以后，就沿与原来的飞行路线成。角的方向飞行,在同一水平面

内飞行到。地，再沿与原来的飞行路线成45。角的方向在同一水平面内继续飞行60/

km到达B地.

(1)求AC两地之间的距离；

(2)求tan0

(本小题满分12分)

10.解:⑴由余弦定理可得AC?=A4+BCTABBCCOSB=2002+(60^2)2-2x200x60V2xcos

45°=23200,3分

所以AC=20闻kin,即A.C两地之间的距离为20、颌km.5分

(2)方法一:由余弦定理可得cosA=也步#=甯，8分

所以cos〃=cos所以sin^=Vl-cosz0=^^,

5obo

11分

所以tangn=*12分

cos07

方法二:由TF弦定理得益=就，

则sin%sin4若明嚼8分

/•COo

因为8C<AC,所以A为锐角，

所以cos9=cosA=要，11分

□o

所以tan。吟=”2分

COS07

11.在锐角三角形ABC中，内角AM,C的对边分别为a/,c,且sin8+sin(4-C)=cosC.

(1)求角A的大小；

⑵当“2百时，求加+序的取值范围.

11.^:(l)Ai4BC中，由sinB+sin(A-C)=cosC得sin(A+C)+sin(A-C)=cosC,

化简得2sinAcosC=cosC,2分

乂△ABC为锐角三角形，

所以cosC^O,

所以sinA—J4,又0<A<T4J天以A—也04分

⑵由正弦定理得白啧，得公爱二笔等=吗学2嗯+3.6分

又

|o<*y,

所以T<C<*tanC>瓜

故有3</?<4,8分

由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=b2-6b+\2,

所以/+从=2序-6〃+l2=2(b-，+学

所以42+〃£([2,20).10分

12.在锐角三角形ABC中，内角A,B,C的对边分别为的,。,且3+与用于A-sinB)=(c-/?)sinC.

⑴求A；

(2)求cosB-cosC的取值范围.

12.解:⑴因为(〃+b)(sinA-sinB)=(c-6)sinC,所以(a+b)3-b)=(c-6)c,即a2=b2+c2-bc.2分

因为a'b'dlbccosA,所以cosA=1,

又4£(0,»所以435分

(2)由⑴知cosB-cosC=cos8-cos管-B)=cosB+知sB~s\nB=|cosB~s\n

5=V3cos(B+*

8分

f2n口

因为°V广8V，所以吗则票所以ask+习£(一另)，10分

0<〃<162363\6/\LL/

、2

所以cos8-cosC£(qA),

即cosB-cosC的取值范围是(4片).12分

13.在△A8C中，内角A,B,C的对边分别为c且2COS2C-COSC=2cos2^-2sin2/4+cos(A-B).

⑴求C；

⑵若〃+。=4,求c的取值范围.

13.解:⑴因为2COS2C-COSC=2cos25-2sin2A+cos(24-B),

所以2(1-sin2C)+cos(/l+B)=2(l-sin2B)-2sin2A+cos(A-3),化简得sin2A+sin2fi-sin2C=sinAsin

B.

3分

由正弦定理得『+〃・/=曲,

由余弦定理得cos

因为o<c〈兀，所以cq6分

(2)由(1)可设

7分

由a_b_cjjr4Ha+b_c

msin/1sinBsinC'寸sinA+sirBsinC'

42V3

即sinA+sin尸百，可得C=1()分

sinA+sinBsin(j+a)+sin(^-a)2sinjcosacosa'

~2

因为-/a%所以3cos处1,所以2<c<4,

故c的取值范围为［2,4).12分

14.在锐角三角形48c中，内角A,B,C的对边分别是4瓦°,且(a+8)(sinA-sinB)=(«-c)sinC.

(1)求角B的大小；

⑵若c=2V5，求。的取值范围.

解:⑴因为(a+〃)(sinA-sinB)=(a-c)sinC,

所以由正弦定理可得3+b)(4-/?)=3-c)c,2分

化简得/+(r-b2=ac,3分

由余弦定理得cos8二日/二手毛，5分

Zoe2ac2

又所以836分

(2)因为6哮所以A+C=7i-8哼7分

由正弦定理曲二六，所以«=^-sinH仃鬻0=2」4+、％.+9分

因为△ABC为锐角三角形，所以f<:<5'“解得/Cv*10分

"4-y,62

所以tanC>£所以0v*v3百,所以百<6+9<4收所以百<〃<4Q,故a的取值范围为

3tan。tanc

(V3,4V3).12分

15.已知8c的内角A,B,C的对边分别为且a-b=c(cos8-cosA).

(1)判断△ABC的形状并给出证明；

⑵若斫纺，求sinA+sinB+sinC的取值范围.

解:(1)Z\ABC为等腰三角形或直角三角形，证明如下：

由a-b=c(cosB-cosA)及正弦定理得,sinA-sinB=sinC(cosB-cosA),

BPsin(B+C)-sin(A+C)=sinC(cosB-cosA),

BPsinBcosC+cosBsinC-sinAcosC-cosAsinC=sinCeos8-sinCeosA,整理得sin8cosC-sin

AcosC=0,

所以cosC(sinB-sinA)=0,

故sinA=sinB或cosC=0,

又A,8c为△ABC的内角、所以a=b或C=p

因此△A8C为等腰三角形或直角三角形.

⑵由⑴及a*b知△ABC为直角三角形且不是等腰三角形工。除故8g4且A#,

所以sinA+sinB+sinC=sinA+sinB+l=sinA+cosA+l=&sin(A+J+L

因为A£(0,»(泊)，所以A+衿(讨)U售书,得sin(A+加仔1),

所以或sin(4+：)+lW(2,夜+1),因此sinA+sinB+sinC的取值范围为(2,或+1).

16AABC中，A,B,。所对的边分别为“，b,c,已知+

(1)若6=弓，求色的值；

3c

(2)若&43c是锐角三角形，求J5sin8+2cos2c的取值范围.

【详解】(1)在AABC中，5=p据余弦定理可得

b2=a2+c2-2ac-cosB=a2+c2-ac»

人b，=c，+ac,故/-ac=ac，即/=2ac,

又。＞0,故a=2c,得9=2.

c

(2)在“18。中，据余弦定理可得从=/+/_2呢.8S3，

Zb2=c2+acfa~+C2-lac-cosB=c~+ac^1-a2-lac-cosB=ac＞

又。＞0,故a-2ccos3=c.

据正弦定理=.J,可得sinA-2sinCeos8=sinC,

sinAsine

J听以sin[兀一(8+C)]—2$inCeos区一sinC,

即sin(^+C)-2sinCeos8=sinC,sin5cosC+cos^sinC—2sinCeos=sinC

所以sin8cosc-cos8sinC=sinC,sin(^-C)=sinC,

因为A8,CG(0,TI),所以3—CC(F,兀)，B-C=C^iB-C+C=7t,

即3=2C或3=产（舍）.

所以EsinB+2cos2。=G1in2C+cos2(7+1=2$亩。。+：)+1.

0<A=n-3C<-,

2

因为"AC是锐角三角形，所以0<B=2C<-,W-<C<-,

264

0<C<^,

2

所以5<2C+.<曰，故sin(2C+t)wjW」

2sin2C+[)+lc(石+1,3),

所以Gsin8+2cos2c的取值范围是(6+1,3).

17在△ABC中，内角A,R,C的对边分别为a,h,c,M是AC卜的点，用V/平分/AAC/XAPM

的面积是aBCM的面积H勺2倍.

⑴求强

⑵若cos/48CW4=2,求△"(?的面积.

15.解:⑴因为S△八8M=yB，MsinN/WM,•阳，sinNM8C,2分

=

且S^ABM2SABCM,Z-ABM-Z.MBCy

所以A8=28C,4分

由正弦定理可得S普lll/I-怒L>C-2.5分

⑵由⑴知舞二2,所以c=2a,6分

由余弦定理得b-=«2+<?2-2t7ccosZABC,

得4=«2+4a2-4fl2xl,

所以。=l,c=2,8分

又0<NA8C<7t,所以sinZ/lBC=^\-COSZZ.ABC=^,

10分

所以S△八sL'esinZ47?C=|xlx2x.=半.12分

18在锐角三角形A8c中，内角48,C所对的边分别为“,b,c,已知ccosA+csinA-^a-b=O.

(1)求cosC的值;

⑵在的延长线上有一点。，使得ND4C="Q=10H4C,CO的长.

.解:(1)由正弦定理得sinCeosA+sinCsinA—^sinA-siu6-0,因为sinB—sin(A+C)—sinAcos

C+cosAsinC,

所以上式可化为sinCsinA-^sinA-cosCsinA=0,

乂sinA>0,所以sinC-cos0=弓.因为sin2C+cos2C=I,/^ABC是锐角三角形，所以cosC=y.

⑵由(1)得cosNAC8=4,所以sinNACB=学，

所以sinZADC=sin^z/lCfi-^=Y(sinZACZ?-cosZAC^)=yX(^-=^-

在△AC。中，由正弦定理得CD="二_竺_gp££=4£=21=5V5.

''"sinWACsin/HOCSE(TTYAC8)',出叵/、

210S

解得CD=字,AC=苧.

19在△ABC中，内角A,民C的对边分别为a力,c,且10sin2^=7-cos2B.

⑴求角B;

(2)已知点D满足而三册且AB>BD,若S△八所苧/£>二心求AC.

解:⑴：N+B+C』，

・：sin华二cos1.1分

由lOsin?竽=7-cos25,得10cos21=7-cos2B,

gp10X21^»=7-(2COS2B-1),3分

化简得2COS25+5COS8-3=0,

解得cos3=1或cos8=-3(舍去).5分

:•0<8<兀,,：8二宗6分

(2)VS^BD^BDBAsin8=苧，

.\BDBA=3(J).7分

在△48。中,由余弦定理知/Q2=B4+842_2BO-8ACOSB,

BD2+BA2=\0(S).8分

由①S解得BD=\,BA=3或BD=3,BA=1,

又AB>BD,二BD=1,BA=3,BC=4BD=4.10分

在△A8C中,由余弦定理知AC2=8A2+8C2_2BCBA-COSB=9+16-2X3X4XA13,・：AC=B.

12分

20.在AABC中，内角ARC所对的边分别为。力,c,已知a"、b=®c=\.

(1)求sin4,sin及sinC中的最大值;

(2)求AC边上的中线长.

18.解:⑴：'函>企>1,.：〃>a>c,.：sinB>sinA>sinC,

2分

由余弦定埋可得cos/六嘤空空=4，

ZXVX14

4分

又8£(0,兀),.：8=%:sinB考6分

(2)设AC边上的中线为BQ,则所弓廊+瓦)，

8分

.：⑵丽|尸=(丽|+|阳六jp+d+ZaccosNABCK物2+r+2x&xlxcos午=1,10分

・：［前|］即AC边上的中线长为12分

21已知△A8C的内角A,B,C的对边分别为a力,c,且2asin(c+沪〃+。.

(1)求角A的大小；

⑵若折夕,瓦5•前二-3,内角A的平分线交边BC于点7,求AT的长.

19.解:(1)因为2asin(。+g)=V5asinC+acosC=b+c,

所以由正弦定理得V^sinAsinC+sinAcosC=sin4+sinC,

又sinfi=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,

所以VSsinAsinC+sinAcosC=sinAcosC+cosAsinC+sinC,即V5sinAsinC=cosAsinC+sinC.

因为CW(0㈤，所以sin。用,所以VSsinA-cosA=l,即2sin(A-勺=1,所以sin(4-：)=g.

因为A£(0,兀),所以A5£(三

所以ATE解得A=*

663

(2)由⑴知A=,所以瓦52?=-反cosA=-3,即cosA=1W，解得bc=6.

由余弦定理得cos八金黑处，所以解得房+213,所以｛：=1或g=楙

当行,=2时,38二喑=若噂

则sinB=71-COS28卫,

14

所以sin/A7B=sin(84--1=sinBcos-+cosfisin-=^^x—+—xi=—,

\6；6614214214

在三角形A取中，由正弦定理得益=缶，

即备啧解得心等；

1414

当)=2,c=3时，同理可得A7=喀

综上工7=?.

22在AABC中，内角A,反C所对的边分别为&b,c,已知加inC=sinC+V3cos

⑴求c.

(2)在卜.列三个条件中选择一个作为补充条件，判断该三角形是否存在?若存在，求出三角

形的面积;若不存在,请说明理由.

①BC边上的中线长为号;②4B边上的中线长为4;③△48C的周长为6.

解:(1)由正弦定理及力sinC=sinC+V3cosC得fsin6=2sin(c+0.3分

又A=^4+8+C=7T,所以csinB=2sin(n-B)=2sinB,5分

又0<8<兀,所以sin毋0,故c=2.6分

⑵选条件①

8cAAO

方法一:设边上的中线为。,则聋4.

由cosNA£)8=-cosNAOC,得丝第袈AD2+CD2-AC2

2ADCD-7分

即畀f4=1+£炉),即/=2〃+6,9分

在△ABC中,由余弦定理得a2=b2+c2-lbccos/84C,即a2=b2-2b+4,10分

即〃+2b+2=0,II分

该方程无实数解，故符合条件的三角形不存在.12分

方法二:设8c边上的中线为40,则而4(方+硝，

8分

两边平方得同2W（而+2翻而+而2）,9分

即广如（4+2x2bx|+炉），即从+23+2=0,

11分

易知该方程无实数解，故符合条件的三角形不存在.12分

O)B

方法三:以A为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则8（2,0）,C（bcos9bsin*即

8分

所以8c的中点坐标为（1+/表）.9分

因为BC边上的中线长为格所以（1+4+停）=俘『，I。分

整理得〃+2。+2=0,11分

该方程无实数解，故符合条件的三角形不存在.12分

选条件②

设AB边上的中线为则CF5

在△ACT"中,由余弦定理得。尸=Ap2+AC2_2AC4Fcos4即7=1+AC<2x1xACcos^,8

分

整理得AC2/C6=0,9分

解得4c=3或AC=-2（舍去），10分

故符合条件的三角形存在，且△A8C的面积S=^ACABsin4=；x3x2x苧=苧.12分

选条件③

依题意得A/?+8C+C4=6,因为AB=2y

所以8C+CA=4.4分

在△ABC中,由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2ABACCOSBC2=22+AC2-2X2X^AC,

gpBC2=4+AC2-2AC,8分

所以（4-AC）2=4+AC2-2AC,解得AC=2,10分

故符合条件的三角形存在，且△/WC的面积S=/CA8sin/I=lx2x2x^=^.12分

23.知△ABC的内角48。的对边分别为a,b,c,若B为锐角，且b=csinB+acosC.

⑴求C;

⑵若AB=4,点D满足而=3而.当△A8C的面积最大时，求线段CD的长和cos/ACD的

值.

21.解:(1)由Z?=csinB+accsC及正弦定理得sinZ?=sinCsinB+sinAcosC,

则sin(A+C)=sinCsinB+sinAcosC,2分

即sinAcosC+cosAsinC=sinCsin3+sinAcosC,

即cosAsinC=sinCsinB,3分

因为0<(7<兀,所以sinC>0,所以cosA=sinB>0.

因为B是锐角，所以0<8<却<.<

因为cosA>0,所以A为锐角，

所以cos4=sin5分

所以A带返所以A+8募所以C==6分

(2)由(1)知ZACB=l，c=4,a2+b2=ci=16,

则5&八8(7=/43"0£=9竽=4,

当且仅当。=沙=2鱼时等号成立,9分

此时aABC是等腰直角三角形.

因为说=3瓦;，所以4。=1出。=3,在△AC。中,由余弦定理得

CL>=Js+1-2x2V2x1xy=V5,1I分

所以cosNA3彘%嚼12分

24如图J7-1,在平面四边形ABCD中,BO<4O,sin(y'os管+2)=*

⑴求A；

⑵若48=75/。=3,。)=1,。=2/圆口求平面四边形/^。。的面积.

(本小题满分12分)

图J7-1

22.解:⑴因为传")+传+/)《所以sinC")=cos传+/1),

所以sin(源)cos传+n)W可化为所29同/2分

由二倍角公式可得cos(^-2/l)=l3分

因为8。小。,所以A£(0.以所以1-14£(4居)，5分

所以92Aq解得A6分

35o

(2)在△A3。中工8=旧<。=34=3O

由余弦定理得BD2=AB2+A£)2.2A8AOcosA=3+9-2x国x3x苧=3,所以BD=6.8分

在△中，由正弦定理得_^=黑=%,所以。，分

BCDsinz.ctiUCDsinC=HsinNC89

又C=2NC3O,所以cosZCBD=y,

又(所以所以，所以分

NC3O£(U),NC8OWbC=2NC8OWJ/BOG*Z11

因此平面四边形ABCD的面积S=/8AO・sinA+；BZ>CZ)="逐x3x"如百xl=苧.

25在△ABC中,A=120。,角A的平分线与8C相交于点D

(1)若AC=2A8=2,求CD的长；

⑵若AD=1,求△ABC的面积的最小值.

(木小题满分12分)

24.解:⑴由余弦定理可得8c2=4C2+AB2_2A8XACXCOSN/MO7,所以BC=®

在△A3。中，由正弦定理得焉=缶,在△ACO中，由正弦定理得篇-AC

~si必DC'4分

可得需WH，又8/)+CO=V7,所以CD笠

5分

(2)Z\A8C的面积等于△48D的面积与△ACD的面积之和，6分

设AB=c,<C=6,则gx?xbc=；x苧x/?xl+；x苧xcxl,整理得bc=b+c.7分

儿一3+出27^,当且仅当b-c-2时取等号，

则痴N2,则/?c>4,1()分

所以x4=73,

故8c的面积的最小值为百.12分

26如图J4-2,在四边形ABCD中,A^+BCZ+AB/OAC/.

⑴若A8=38C=3,求△A6C的面积；

⑵若CD=V3BC,ZC4O=30。,ZBCD=120。,求ZACB.

(本小题满分12分)

图J4-2

25.解:(1)在△48C中,由余弦定理得cosB=AB?黑:-y=罂器=义2分

因为0。<5<180。,所以8=120。,3分

x

所以5A4flC=lABBCsin120°43xlx^=^.

5分

(2)设//。=0,贝I」ZACD=120。-仇ZADC=30o+0,ZBAC=60o-0.6分

在△A8中，由正弦定理得而蔡犷熹，则人。=嚅怔。①.7分

在△■C中，由正弦定理得益=缶，则4G；谭萧C②'分

由室吸。。二仃8。，得6sin(30°4-0)_sinl200

sin300sin(60。-。)'

9分

整理得5皿(30°+须皿60。劭=所以sin(600+2^)=p10分

因为0°<0<60。,所以60。<600+20Vl80。，11分

所以60。+20=150。,解得。=45。,故NACA=45。.12分

27在平面四边形AI3CD中,AB=4/O=2四,对角线AC与BD交于点E,E是BD的中点，且

AE=2EC.

(1)若NABD吟求BC的长;

⑵若403,求cos/BAD

解:⑴在△/W。也48=4<。=2企，乙48/)=；,

由正弦定理得』=』,

sin^ADIismzjl^D

所以sinNAOB=^=l.

2V2

又0<44£>8<兀,所以乙4。8吗所以8。=2或,2分

所以DE=BE=&AE=4^,

所以cosZAED=cosZBEC~.

因为族=2就所以七。二乎4分

在△BCE中,由余弦定理得«C2=BE2+£C2-2«EECCOSZMC=2+1-2XV2X^X^=|,

所以8c二孚6分

(2)因为AC=3,族=2或所以AE=2.7分

设DE=BE=x,

在△48。中,由余弦定理得cosN/WBi；：)；£/=馥,

在△4E。中,由余弦定理得cosNAQB二嚼君二糅，

所以畿二急，得42伉所以I3D=4Vz.10分

在AAB。中,由余弦定理得cosNBAD=AB；：%%12分

28.在锐角^ABC中，角A,B,C所对的边分别为mb,c,

加inA+trtan/lcosB=2as\nC.

⑴求A;

⑵若。为BC延长线上一点，且NCAO=；,求为的取值范围.

【详解】(I)角A,B,。是AABC的内角,故sin4>0,sinB>0,sinC>0.

在锐角“lAC中，由正弦定理得，sinBsinA+sin/ltanAcosB=2sin4sinC,

•4

即sinB+——cosB=2sinC,

cosA

所以sinBcosA+sinAcosB=2sinCcosA,即sinC=2sinCcosA,故cosA=—,又

2

4w(0,R,所以4、.

BDAO、fBD'sinB

(2)在AAB。中，一^一而万’~TiT

sin—sin一

1212

CD?sin(B今

CD

在“18中，———AAD=

.71IF.71

sinsin(B+—)sm

44

CD?sin(B

BD'sin8

所以

In.兀

sin—sin—

124

I旦

•

口八sin—?sin(B—)-nB+s8

故叽—12---------------L2SI2

3加与sinBs.8

4In

6+।播g工

2.籍2tan8

TT

0<B<-

2

因为“8C为锐角三角形，ZAC£>=4,所以+f<兀,解得JvBv*

423612

兀八兀37c

—<B+—<—

[234

所以正<tanB<G+2,所以2-6<—^<石，

3tanB

从而1<

故赛的取值范围为（0,网.

29.已知“18C的内角A,B,C的对边分别为mb,c,力是边8c上一点,

/BAD=a,Z.CAD=0,AD=d,目.2«csina+2«/?sin°=3bc.

(1)若人=苧，证明：a=3d；

6

(2)在(1)的条件下，且8=243,求cosZAOC的值.

〜»-r•芬…e-SinasinB.BDsmB

在△A3。中，由正弦定理得=则sma=-----------,

BDADa

在“18中，由正弦定理得曙=噤，则sin/?二咒nJ

CDADa

因为24/rsina+2«bsinp=3bc,所以‘访。+'访"=_2_,

bc2a

sin。+sinpBDsinBCDsinC..「八•A-(BD+CD)-a,

而=-------+--------=BoDnsmACDsinA7vf71

bbdcd-------1-----------------—————

adadadad2d

所吗3

即a=3d.

2a

(2)由CD=2肛得CQ=W，BD=g

在小的中,由余弦定理得CM困咒北「叽堂

在“18中，由余弦定理得cos/4QC=0。'+小一八°=一”

由44。3+44。。=180。，cosZADB=-cosZ/IDC,

即名”二“乎,整理得，/_6=2。2,

2a~4a~

在“LBC中，由余弦定理得8sA=—正,

2bc2bc2b2

c=6b,故u~-b'=6Z/2，即a=yjlb»

22

a4a,2

AD2+DC2-AC2W*万5a2-9B35〃一9"J3

所以cosN4QC=

24。DC4^4a2―2Sb2--14'

9

30.在“WC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若c=2,4物C的角平分线

AO交3c于点O.

(1)若〃=1,NBAC-60。，求4。的长度；

(2)若“8C为锐角三角形，且¥=1+塔，求“8C周长的取值范围.

btan8

【详解】(1)方法一：

因为AO为/8AC的角平分线，ZBAC=60,

所以NR4O=NC4O=30,

因为SaABC=SJBD+S城BD

所以」x2xlxsin60=—x2x/4Dsin30+—x1x>4Dsin30,

222

所以4)=苧.

法二：设三角形△ABC的边BC上的高为人，

因为AO为N8AC的角平分线

—AB-ADs,in/.BAD—BD-h0

cAo_BoDn_2

2_48_2--

所以F----------~~AT~~\--777T

“Ae-ACADsin^CAD-CDhC/J1

22

所以B万二2配，所以75-血=2/一2A万，

__1_2__

所以AO=3AB+§AC.

因为〃=1，c=2,

所以而丁仕丽+工宿=-ZB?+-ABMC+-AC2=-+-COS60\

U3)9