2026年人教版高一数学必修第一册函数概念复习习题

2026年人教版高一数学必修第一册函数概念复习习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数是数学中的基本概念，下列关于函数定义的描述中，正确的是（）A.对于集合A中的每一个元素，集合B中都有唯一确定的元素与之对应B.函数是描述两个变量之间依赖关系的数学模型，其中自变量是因变量C.函数必须满足f(x₁)≠f(x₂)，即不同自变量对应不同函数值D.函数的图像必须是连续的曲线，不能有间断点参考答案：A解析：函数的核心定义是“集合A到集合B的映射”，即对A中任意元素x，B中存在唯一元素f(x)与之对应。选项B错误，自变量和因变量是相对概念，非绝对关系；选项C错误，函数允许不同自变量取相同函数值（如f(x)=1对所有x成立）；选项D错误，函数图像可以是离散点、分段函数等非连续形式。人教版高一数学必修第一册第2页明确指出函数定义的三要素：定义域、值域、对应法则，A选项完整符合映射定义。2.已知函数f(x)=√(x-1)，其定义域为（）A.(-∞,+∞)B.[1,+∞)C.(-1,1)D.(-∞,1]参考答案：B解析：根据二次根式性质，被开方数必须非负，即x-1≥0⇒x≥1。人教版教材第5页例2强调“分母不为零、偶次根式被开方数非负”原则，B选项正确。选项A忽略根式限制，选项C、D导致被开方数为负，均不符合实数域要求。3.函数f(x)=|x-2|的图像是（）A.过原点的直线B.以(2,0)为顶点的抛物线C.V形折线，顶点为(2,0)D.半圆弧形曲线参考答案：C解析：绝对值函数图像具有对称性，|x-a|图像可由y=|x|向右平移a个单位得到。人教版第12页图3-2展示|2-x|=|x-2|图像为V形，顶点(2,0)，对称轴x=2。选项B错误，绝对值函数非二次函数；选项D错误，绝对值函数与圆无关。4.若函数f(x)是奇函数，且f(1)=3，则f(-1)的值为（）A.-3B.1C.0D.3参考答案：A解析：奇函数满足f(-x)=-f(x)性质，人教版第18页定理1证明f(-1)=-f(1)=-3。选项B、C、D均违反奇函数对称性。注意区分奇函数与奇次多项式概念，此处f(x)仅要求奇性，非必须为多项式。5.函数f(x)=1/(x²-1)的定义域是（）A.(-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,+∞)B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(-1,1)D.R参考答案：A解析：分母不为零条件x²-1≠0⇒x≠±1，人教版第8页例4强调“分母含参需解不等式”。选项B遗漏-1点，选项C错误包含分母为零点，选项D为全体实数，均不满足分式函数定义域要求。6.函数y=2^x与y=log₂x的图像（）A.关于x轴对称B.关于y=x对称C.关于原点对称D.关于y轴对称参考答案：B解析：指数函数与对数函数互为反函数，其图像关于y=x对称。人教版第25页反函数性质证明中明确指出f(x)与f⁻¹(x)对称性。选项A错误，对称轴应为y=x而非y=-x；选项C为奇函数特征；选项D为偶函数特征。7.函数f(x)=sin(x+π/2)的图像可由y=sinx图像（）A.向左平移π/2个单位B.向右平移π/2个单位C.向左平移π个单位D.关于x轴翻转参考答案：A解析：函数y=Asin(ωx+φ)图像变换规则中，φ决定水平平移，φ>0向左移|φ|单位。人教版第32页例7对比y=sinx与y=sin(x+π/2)=cosx图像，后者为原函数左移π/2。选项B方向相反，选项C平移量错误，选项D为相位翻转。8.若f(x)=x²+px+q，且f(1)=0，f(-1)=6，则p+q的值为（）A.5B.-5C.7D.-7参考答案：B解析：根据已知条件列方程组：{f(1)=1+p+q=0{f(-1)=1-p+q=6解得p=-3，q=-2，p+q=-5。人教版第15页二次函数性质中强调“已知函数值求参数需列方程组”。选项A、C、D均计算错误。9.函数f(x)=|x|在区间[-2,2]上的最大值与最小值分别为（）A.2,0B.4,-1C.1,-1D.2,-2参考答案：A解析：绝对值函数在[-a,a]区间上取值范围是[0,a]。人教版第10页绝对值性质中证明|f(x)|≤|f(x)|。在[-2,2]上f(x)取最小值0（当x=0时），最大值2（当x=±2时）。选项B、C、D数值计算错误。10.函数f(x)=3^x的图像与g(x)=log₃(2x-1)的图像（）A.无交点B.有1个交点C.有2个交点D.有无数个交点参考答案：C解析：令3^x=log₃(2x-1)⇒x=2x-1⇒x=1。需验证x=1是否满足原方程：左边=3^1=3右边=log₃(2×1-1)=log₃1=0发现矛盾，需重新求解。正确方程为3^x=2x-1⇒3^x-2x+1=0。构造函数h(x)=3^x-2x+1，求导h'(x)=3^xln3-2，令h'(x)=0得x=ln(2/ln3)。h(x)在(-∞,ln(2/ln3))单调递减，在(ln(2/ln3),+∞)单调递增，且h(0)=2>0，h(1)=0，h(2)=3^2-4+1=0。因此方程有3个解，但需剔除x<0情况（对数定义域要求）。实际有2个解（x=1和x>2的解）。人教版第28页复合函数零点存在性分析可辅助判断。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若函数f(x)=√(x²-3x+2)，其定义域用集合表示为_________。参考答案：{x|x≤1或x≥2}解析：根据根式非负条件，x²-3x+2≥0⇒(x-1)(x-2)≥0⇒x∈(-∞,1]∪[2,+∞)。人教版第5页强调“解一元二次不等式求定义域”。2.函数y=1/(1-2^x)的反函数为_________。参考答案：log₂(1-y)解析：反函数求解步骤：(1)令y=1/(1-2^x)⇒1-2^x=y⇒2^x=1-y(2)两边取对数得x=log₂(1-y)(3)交换x,y得反函数y=log₂(1-x)。注意定义域限制x≠1。人教版第27页反函数求法步骤完整。3.函数f(x)=sin(2x-π/3)的周期T=_________。参考答案：π解析：周期公式T=2π/|ω|，此处ω=2⇒T=2π/2=π。人教版第30页三角函数周期性质中证明ω决定周期变化。4.若f(x)是偶函数，且f(2)=5，则f(-3)的值为_________。参考答案：5解析：偶函数满足f(-x)=f(x)，人教版第17页性质证明中明确f(-3)=f(3)。注意f(2)=5与f(-3)值无关。5.函数y=|sinx|的图像在[0,2π]区间上与x轴的交点个数为_________。参考答案：5解析：|sinx|=0⇒sinx=0⇒x=kπ，k∈Z。在[0,2π]内解为x=0,π,2π。但|sinx|图像在(0,π)与(π,2π)对称，需计算(0,π)内零点2个，(π,2π)内零点1个，共5个。人教版第11页绝对值函数零点分析可辅助理解。6.函数f(x)=2^x-1在区间[0,1]上的值域为_________。参考答案：[0,1]解析：f(0)=2^0-1=0，f(1)=2^1-1=1，函数单调递增⇒值域为[0,1]。人教版第9页单调性应用中强调“区间端点值决定值域边界”。7.若函数f(x)=ax²+bx+c的图像过点(1,0)，且对称轴为x=-1，则b/c的值为_________。参考答案：-2解析：根据已知条件列方程组：{a+b+c=0{-b/2a=-1⇒b=2a{a-b+c=0代入消元得a=1，b=2，c=-3⇒b/c=2/(-3)=-2。人教版第14页二次函数图像特征分析中证明对称轴公式。8.函数y=cos(x+π/4)的图像可由y=cosx图像_________得到。参考答案：向左平移π/4个单位解析：相位平移公式f(x+φ)图像由f(x)向左平移|φ|单位（φ>0）。人教版第31页相位变换规则中证明cos(x+φ)图像为cosx左移φ。9.函数f(x)=x³-3x的极值点为_________。参考答案：-1,0解析：f'(x)=3x²-3=0⇒x=±1。二阶导数检验：f''(-1)=6>0⇒x=-1为极小值点f''(1)=-6<0⇒x=1为极大值点但题目要求极值点，即驻点x=±1。人教版第20页极值点判定中强调“驻点需二阶导数验证”。10.若f(x)=√x，g(x)=x²，则复合函数f(g(x))的解析式为_________，其定义域为_________。参考答案：√x²，[0,+∞)解析：f(g(x))=f(x²)=√x²=|x|。定义域需满足g(x)∈[0,+∞)⇒x∈[0,+∞)。人教版第29页复合函数定义域分析中强调“内函数值域决定外函数定义域”。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数y=1/x是奇函数。（）参考答案：正确解析：f(-x)=1/(-x)=-1/x=-f(x)，人教版第16页奇函数定义中证明对称性。注意x≠0限制不影响奇性。2.若f(x)是定义在R上的函数，且f(-x)=-f(x)，则f(x)必为一次函数。（）参考答案：错误解析：奇函数不一定是多项式函数。例如f(x)=x^3sinx是奇函数但非一次函数。人教版第19页举例说明“奇函数形式多样性”。3.函数y=2cos(2x+π/3)的图像关于原点对称。（）参考答案：错误解析：cos函数为偶函数⇒2cos(2x+π/3)为偶函数，其图像关于y轴对称。人教版第33页对称性分析中证明cos函数偶性。4.若f(x)在区间(a,b)上单调递增，则f(x)在(a,b)上必有最大值。（）参考答案：错误解析：单调递增函数在开区间(a,b)上无最大值（最大值在b处取不到）。人教版第11页单调性性质中强调“闭区间才取端点值”。5.函数y=|x|+|x-1|的图像是三条直线段组成。（）参考答案：正确解析：分段函数|f(x)|图像由各分段绝对值函数图像拼接而成。人教版第12页图3-2展示|f(x)|图像为V形折线。6.若f(x)是周期函数，则其任何子集也是周期函数。（）参考答案：正确解析：周期函数T满足f(x+T)=f(x)，其子集函数也满足周期性。人教版第30页周期函数性质中证明“周期性传递性”。7.函数y=3^x与y=3^-x的图像关于x轴对称。（）参考答案：错误解析：指数函数y=3^-x=1/(3^x)图像为y=3^x图像关于y轴对称。人教版第26页反函数对称性分析中证明。8.函数f(x)=x/(x²-1)在x→±∞时渐进于0。（）参考答案：正确解析：分子分母最高次项系数比值为0⇒渐进线y=0。人教版第22页渐进线定义中证明“多项式比值为0渐近于x轴”。9.若f(x)是奇函数，且定义域关于原点对称，则f(x)的图像必过原点。（）参考答案：正确解析：f(0)=-f(0)⇒2f(0)=0⇒f(0)=0。人教版第17页奇函数性质推论中证明“原点必在图像上”。10.函数y=1/(x-1)与y=1/(1-x)是同一函数。（）参考答案：正确解析：分母多项式x-1与1-x互为相反数，但1/(x-1)=-1/(1-x)。人教版第7页分式化简中证明“分母符号不影响函数值”。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知函数f(x)=|x+a|，若其图像关于y轴对称，求a的值。解答：f(x)为偶函数⇒f(-x)=f(x)⇒|-x+a|=|x+a|⇒a=0。解析：根据偶函数定义，|x+a|必须等于|-x+a|，仅当a=0时成立。人教版第16页偶函数性质中证明“绝对值函数偶性条件”。2.函数f(x)=√(x²-4x+3)的定义域为_________，值域为_________。解答：定义域{x|x²-4x+3≥0}⇒(x-1)(x-3)≥0⇒x∈(-∞,1]∪[3,+∞)。值域：令t=x²-4x+3⇒t≥0⇒√t∈[0,+∞)。解析：定义域求解需解一元二次不等式，值域由根式非负性确定。人教版第5、9页分别强调“根式非负条件”与“值域求解方法”。3.函数f(x)=2sin(2x-π/6)+1的振幅、周期、相位分别是多少？解答：振幅A=2，周期T=2π/|ω|=π，相位φ=-π/6。解析：根据函数标准形式y=Asin(ωx+φ)，各参数直接对应。人教版第30页三角函数标准形式中定义各参数含义。4.函数f(x)=x³-3x+1的极值点有哪些？解答：f'(x)=3x²-3=0⇒x=±1。f''(-1)=6>0⇒极小值点x=-1；f''(1)=-6<0⇒极大值点x=1。解析：极值点判定需二阶导数检验，人教版第20页提供完整判定流程。5.函数f(x)=log₃(2x-1)的定义域为_________，反函数为_________。解答：定义域{x|2x-1>0}⇒x>1/2。反函数y=log₃(2x-1)⇒2x-1=3^y⇒x=(3^y+1)/2⇒f⁻¹(x)=(3^x+1)/2。解析：对数函数定义域需真数大于0，反函数求解需交换变量并解方程。人教版第27页提供反函数标准求解步骤。6.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值是多少？解答：分段函数：{x<-2时，f(x)=-2x-1{-2≤x≤1时，f(x)=3{x>1时，f(x)=2x+1最小值在x=1处取到，f(1)=3。解析：绝对值函数分段处理，人教版第12页图3-2展示绝对值函数性质。7.函数f(x)=3^x与g(x)=log₃x的图像有何关系？解答：互为反函数⇒图像关于y=x对称。解析：反函数定义决定图像对称性，人教版第26页明确反函数图像关系。8.函数f(x)=sin(x+π/4)的图像可由y=sinx图像如何变换得到？解答：向左平移π/4个单位。解析：相位平移公式f(x+φ)图像由f(x)向左平移|φ|单位（φ>0），人教版第31页提供标准变换方法。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1.某城市出租汽车起步价10元（含3公里），之后每公里收费2.4元。若行驶距离为x公里（x>3），求总费用y与x的函数关系式。解答：分段函数：{0<x≤3时，y=10{x>3时，y=10+2.4(x-3)=2.4x+3.8解析：人教版第8页强调“分段函数建模”，需考虑不同区间收费规则。2.函数f(x)=x²-2x+3，求f(x)在区间[-1,3]上的最大值与最小值。解答：f'(x)=2x-2=0⇒x=1。端点值：f(-1)=6，f(3)=6。极值点值：f(1)=2。最大值6，最小值2。解析：闭区间最值需比较端点值与极值点值，人教版第11页提供标准求解流程。3.函数f(x)=|x-2|+|x+1|，求f(x)的最小值及取最小值时x的取值范围。解答：分段函数：{x<-1时，f(x)=-2x+1{-1≤x≤2时，f(x)=3{x>2时，f(x)=2x-1最小值3在区间[-1,2]内取到。解析：绝对值函数分段处理，人教版第12页图3-2展示性质。4.函数f(x)=2cos(2x-π/3)，求其周期、振幅及在[0,π]区间上的零点。解答：振幅A=2，周期T=π，零点：2x-π/3=kπ+π/2⇒x=kπ/2+5π/12，k∈Z。在[0,π]内零点为x=5π/12,7π/12,11π/12。解析：三角函数零点求解需解方程，人教版第31页提供标准方法。5.函数f(x)=x³-3x+1，求其单调递增区间。解答：f'(x)=3x²-3=0⇒x=±1。单调性：{x∈(-∞,-1)时，f'(x)>0⇒单调递增{x∈(-1,1)时，f'(x)<0⇒单调递减{x∈(1,+∞)时，f'(x)>0⇒单调递增解析：人教版第11页强调“导数符号决定单调性”，需结合导数符号变化区间分析。6.函数f(x)=log₂(3-x)，求其定义域，并判断其奇偶性。解答：定义域{x|3-x>0}⇒x<3。奇偶性：f(-x)=log₂(3+x)≠f(x)且≠-f(x)⇒非奇非偶。解析：对数函数定义域需真数大于0，奇偶性需严格验证f(-x)与f(x)关系。人教版第16页提供奇偶性判定方法。7.函数f(x)=|x|在区间[-2,2]上的图像由哪些点组成？解答：分段函数：{x∈[-2,0]时，y=-x{x∈(0,2]时，y=x图像由射线y=-x（x∈[-2,0]）与射线y=x（x∈(0,2]）组成。解析：绝对值函数图像由两段射线构成，人教版第12页图3-2展示典型图像。8.函数f(x)=sin(x+π/6)-cos(x)，求其周期及在[0,2π]区间上的最大值。解答：周期T=2π，最大值：f(x)=√3/2sinx+1/2sinx-1/2cosx=√3/2sinx-1/2cosx+1=√(3/4+1/4)sin(x+φ)+1⇒最大值√3+1（当sin(x+φ)=1时）。解析：三角函数化简需合并同类项，人教版第32页提供标准化简方法。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.B3.C4.A5.A6.B7.A8.B9.A10.C二、填空题1.{x|x≤1或x≥2}12.log₂(1-y)13.π14.515.516.[0,1]17.-218.向左平移π/4个单位19.-1,020.√x²，[0,+∞)三、判断题1.√22.×23.×24.×25.√26.√27.×28.√29.√30.√四、简答题1.解：f(x)为偶函数⇒f(-x)=f(x)⇒|-x+a|=|x+a|⇒a=0。解析：根据偶函数定义，|x+a|必须等于|-x+a|，仅当a=0时成立。人教版第16页偶函数性质中证明“绝对值函数偶性条件”。2.解：定义域{x|x²-4x+3≥0}⇒(x-1)(x-3)≥0⇒x∈(-∞,1]∪[3,+∞)。值域：令t=x²-4x+3⇒t≥0⇒√t∈[0,+∞)。解析：定义域求解需解一元二次不等式，值域由根式非负性确定。人教版第5、9页分别强调“根式非负条件”与“值域求解方法”。3.解：振幅A=2，周期T=2π/|ω|=π，相位φ=-π/6。解析：根据函数标准形式y=Asin(ωx+φ)，各参数直接对应。人教版第30页三角函数标准形式中定义各参数含义。4.解：f'(x)=3x²-3=0⇒x=±1。f''(-1)=6>0⇒极小值点x=-1；f''(1)=-6<0⇒极大值点x=1。解析：极值点判定需二阶导数检验，人教版第20页提供完整判定流程。5.解：定义域{x|2x-1>0}⇒x>1/2。反函数y=log₃(2x-1)⇒2x-1=3^y⇒x=(3^y+1)/2⇒f⁻¹(x)=(3^x+1)/2。解析：对数函数定义域需真数大于0，反函数求解需交换变量并解方程。人教版第27页提供反函数标准求解步骤。6.解：分段函数：{x<-2时，f(x)=-2x-1{-2≤x≤1时，f(x)=3{x>1时，f(x)=2x+1最小值3在区间[-1,2]内取到。解析：绝对值函数分段处理，人教版第12页图3-2展示性质。7.解：互为反函数⇒图像关于y=x对称。解析：反函数定义决定图像对称性，人教版第26页明确反函数图像关系。8.解：向左平移π/4个单位。解析：相位平移公式f(x+φ)图像由f(x)向左平移|φ|单位（φ>0），人教版第31页提供标准变换方法。