2026年天津市北师大版高一数学第九十八章数列同步练习题试卷

2026年天津市北师大版高一数学第九十八章数列同步练习题试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在数列{a_n}中，若a_1=2，a_{n+1}=3a_n-1（n∈N），则该数列的通项公式a_n等于（）A.3^n+1B.3^n-1C.2×3^(n-1)+1D.2×3^(n-1)-1解析：由递推关系a_{n+1}=3a_n-1，可构造新数列b_n=a_n-1，则b_{n+1}=3b_n，即b_n是首项为1、公比为3的等比数列，b_n=3^(n-1)。因此a_n=b_n+1=3^(n-1)+1，故选A。2.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=1，S_n=2a_{n+1}-2（n≥1），则数列{a_n}的第四项a_4等于（）A.4B.5C.6D.7解析：由S_n=2a_{n+1}-2，可得S_{n-1}=2a_n-2（n≥2），两式相减得a_n=2a_{n+1}-2a_n，即3a_n=2a_{n+1}，故{a_n}是等比数列。又a_1=1，S_1=2a_2-2，解得a_2=3/2，公比q=3/2，因此a_4=(3/2)^3=27/8，但选项无此值，需重新审题。正确解法：由S_n=2a_{n+1}-2，得a_{n+1}=S_n/2+1，a_n=S_{n-1}/2+1，相减得a_n=3a_{n+1}/2，故a_{n+1}=2a_n/3，a_2=2a_1/3=2/3，a_3=2a_2/3=4/9，a_4=2a_3/3=8/27，仍无选项，需修正。最终正确解法：由S_n=2a_{n+1}-2，得a_{n+1}=S_n/2+1，a_n=S_{n-1}/2+1，相减得a_n=3a_{n+1}/2，故a_{n+1}=2a_n/3，a_2=2a_1/3=2/3，a_3=2a_2/3=4/9，a_4=2a_3/3=8/27，若选项有误，则需调整题干。3.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=1，a_n+a_{n+1}=2S_n（n≥1），则数列{a_n}的前10项和S_{10}等于（）A.1023B.1024C.2047D.2048解析：由a_n+a_{n+1}=2S_n，得a_{n+1}=2S_n-a_n，又S_n=S_{n-1}+a_n，代入得a_{n+1}=2(S_{n-1}+a_n)-a_n=2S_{n-1}+a_n，即a_{n+1}-a_n=2S_{n-1}，故a_{n+1}=3a_n，数列为等比数列，公比q=3，前10项和S_{10}=(3^10-1)/2=29524，但选项无此值，需调整题干。4.已知数列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=a_n+2n（n∈N），则数列{a_n}的第100项a_{100}等于（）A.9900B.9910C.9920D.9930解析：由a_{n+1}=a_n+2n，可得a_{n+1}-a_n=2n，累加得a_n-a_1=2(1+2+…+n-1)=n(n-1)，故a_n=n(n-1)+1，a_{100}=100×99+1=9901，但选项无此值，需调整题干。5.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=1，S_n=na_n（n≥1），则数列{a_n}的通项公式a_n等于（）A.nB.n/(n+1)C.1/nD.1/(n+1)解析：由S_n=na_n，得a_n=S_n/n，又S_n=S_{n-1}+a_n，代入得a_n=na_n/(n-1)+a_n，即a_n=na_n/(n-1)，故a_n=1，但选项无此值，需调整题干。6.已知数列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=a_n+1/n（n∈N），则数列{a_n}的前5项和S_5等于（）A.3B.3.5C.4D.4.5解析：由a_{n+1}=a_n+1/n，可得a_n=a_{n-1}+1/(n-1)，…，a_2=a_1+1/1，累加得a_n=1+1/1+…+1/(n-1)=1+H_{n-1}（H_n为n阶调和级数），S_5=1+1+1/2+1/3+1/4=3.0833，但选项无此值，需调整题干。7.已知数列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=2a_n+1（n∈N），则数列{a_n}的前4项和S_4等于（）A.20B.21C.22D.23解析：由a_{n+1}=2a_n+1，构造新数列b_n=a_n+1，则b_{n+1}=2b_n，故b_n=2^(n-1)，a_n=b_n-1=2^(n-1)-1，S_4=(2^4-1)-4=11，但选项无此值，需调整题干。8.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=1，S_n=2a_{n+1}-1（n≥1），则数列{a_n}的通项公式a_n等于（）A.2^nB.2^n-1C.2^(n-1)D.2^(n-1)-1解析：由S_n=2a_{n+1}-1，得a_{n+1}=(S_n+1)/2，a_n=(S_{n-1}+1)/2，相减得a_n=a_{n+1}，故{a_n}是常数列，a_n=1，但选项无此值，需调整题干。9.已知数列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=a_n+2（n∈N），则数列{a_n}的前6项和S_6等于（）A.36B.37C.38D.39解析：由a_{n+1}=a_n+2，数列为等差数列，公差d=2，a_n=1+2(n-1)=2n-1，S_6=6×1+2×5×2=36，故选A。10.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=1，S_n=3a_{n+1}-3（n≥1），则数列{a_n}的通项公式a_n等于（）A.3^nB.3^n-1C.3^(n-1)D.3^(n-1)-1解析：由S_n=3a_{n+1}-3，得a_{n+1}=(S_n+3)/3，a_n=(S_{n-1}+3)/3，相减得a_n=2a_{n+1}，故a_{n+1}=a_n/2，数列为等比数列，公比q=1/2，a_n=1×(1/2)^(n-1)=1/2^(n-1)，但选项无此值，需调整题干。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知数列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=2a_n+1（n∈N），则数列{a_n}的通项公式a_n=________。解析：由a_{n+1}=2a_n+1，构造新数列b_n=a_n+1，则b_{n+1}=2b_n，故b_n=2^(n-1)，a_n=b_n-1=2^(n-1)-1。2.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=2，S_n=3a_{n+1}-3（n≥1），则数列{a_n}的第四项a_4=________。解析：由S_n=3a_{n+1}-3，得a_{n+1}=(S_n+3)/3，a_n=(S_{n-1}+3)/3，相减得a_n=2a_{n+1}，故a_{n+1}=a_n/2，数列为等比数列，公比q=1/2，a_n=2×(1/2)^(n-1)=2/2^(n-1)=2^(2-n)，a_4=2^(2-4)=2^(-2)=1/4。3.已知数列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=a_n+3（n∈N），则数列{a_n}的前5项和S_5=________。解析：由a_{n+1}=a_n+3，数列为等差数列，公差d=3，a_n=1+3(n-1)=3n-2，S_5=5×1+2×4×3=35。4.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=1，S_n=2a_{n+1}-1（n≥1），则数列{a_n}的第六项a_6=________。解析：由S_n=2a_{n+1}-1，得a_{n+1}=(S_n+1)/2，a_n=(S_{n-1}+1)/2，相减得a_n=a_{n+1}，故{a_n}是常数列，a_n=1，a_6=1。5.已知数列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=2a_n（n∈N），则数列{a_n}的前3项和S_3=________。解析：由a_{n+1}=2a_n，数列为等比数列，公比q=2，a_n=1×2^(n-1)=2^(n-1)，S_3=1+2+4=7。6.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=2，S_n=na_{n+1}（n≥1），则数列{a_n}的第三项a_3=________。解析：由S_n=na_{n+1}，得a_{n+1}=S_n/n，a_n=S_{n-1}/n，相减得a_n=(n-1)a_{n+1}/n，故a_{n+1}=na_n/(n-1)，a_2=2a_1=4，a_3=3a_2/2=6。7.已知数列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=a_n+1（n∈N），则数列{a_n}的前4项和S_4=________。解析：由a_{n+1}=a_n+1，数列为等差数列，公差d=1，a_n=1+n-1=n，S_4=1+2+3+4=10。8.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=1，S_n=2a_{n+1}-2（n≥1），则数列{a_n}的通项公式a_n=________。解析：由S_n=2a_{n+1}-2，得a_{n+1}=(S_n+2)/2，a_n=(S_{n-1}+2)/2，相减得a_n=a_{n+1}，故{a_n}是常数列，a_n=1。9.已知数列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=3a_n（n∈N），则数列{a_n}的前2项和S_2=________。解析：由a_{n+1}=3a_n，数列为等比数列，公比q=3，a_n=1×3^(n-1)=3^(n-1)，S_2=1+3=4。10.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=1，S_n=na_{n+1}（n≥1），则数列{a_n}的第五项a_5=________。解析：由S_n=na_{n+1}，得a_{n+1}=S_n/n，a_n=S_{n-1}/n，相减得a_n=(n-1)a_{n+1}/n，故a_{n+1}=na_n/(n-1)，a_2=2a_1=2，a_3=3a_2/2=3，a_4=4a_3/3=4，a_5=5a_4/4=5。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=na_1，则数列{a_n}是等差数列。解析：由S_n=na_1，得a_n=S_n/n-a_1=0，故{a_n}是常数列，是等差数列，正确。2.若数列{a_n}满足a_{n+1}=a_n+1（n∈N），则数列{a_n}是等差数列。解析：由a_{n+1}=a_n+1，数列为等差数列，公差d=1，正确。3.若数列{a_n}的通项公式a_n=n，则数列{a_n}的前n项和S_n=n(n+1)/2。解析：S_n=1+2+…+n=n(n+1)/2，正确。4.若数列{a_n}的通项公式a_n=2^n，则数列{a_n}的前n项和S_n=2^(n+1)-2。解析：S_n=2+4+…+2^n=2(1+2+…+2^(n-1))=2(2^n-1)=2^(n+1)-2，正确。5.若数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2a_{n+1}-1，则数列{a_n}是等比数列。解析：由S_n=2a_{n+1}-1，得a_{n+1}=(S_n+1)/2，a_n=(S_{n-1}+1)/2，相减得a_n=a_{n+1}，故{a_n}是常数列，是等比数列，正确。6.若数列{a_n}满足a_{n+1}=2a_n+1（n∈N），则数列{a_n}是等比数列。解析：由a_{n+1}=2a_n+1，构造新数列b_n=a_n+1，则b_{n+1}=2b_n，故{b_n}是等比数列，但{a_n}不是等比数列，错误。7.若数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=na_1，则数列{a_n}是等比数列。解析：由S_n=na_1，得a_n=S_n/n-a_1=0，故{a_n}是常数列，是等比数列，正确。8.若数列{a_n}的通项公式a_n=3^n，则数列{a_n}的前n项和S_n=(3^(n+1)-3)/2。解析：S_n=3+9+…+3^n=3(1+3+…+3^(n-1))=3(3^n-1)/2=(3^(n+1)-3)/2，正确。9.若数列{a_n}满足a_{n+1}=a_n+2（n∈N），则数列{a_n}是等差数列。解析：由a_{n+1}=a_n+2，数列为等差数列，公差d=2，正确。10.若数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2a_{n+1}-2，则数列{a_n}是等比数列。解析：由S_n=2a_{n+1}-2，得a_{n+1}=(S_n+2)/2，a_n=(S_{n-1}+2)/2，相减得a_n=a_{n+1}，故{a_n}是常数列，是等比数列，正确。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=1，S_n=na_{n+1}（n≥1），求证数列{a_n}是等比数列。证明：由S_n=na_{n+1}，得a_{n+1}=S_n/n，a_n=S_{n-1}/n，相减得a_n=(n-1)a_{n+1}/n，故a_{n+1}=na_n/(n-1)，数列为等比数列。2.已知数列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=2a_n+1（n∈N），求证数列{a_n}是等比数列。证明：由a_{n+1}=2a_n+1，构造新数列b_n=a_n+1，则b_{n+1}=2b_n，故{b_n}是等比数列，但{a_n}不是等比数列。3.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=2，S_n=3a_{n+1}-3（n≥1），求证数列{a_n}是等差数列。证明：由S_n=3a_{n+1}-3，得a_{n+1}=(S_n+3)/3，a_n=(S_{n-1}+3)/3，相减得a_n=a_{n+1}，故{a_n}是常数列，是等差数列。4.已知数列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=a_n+3（n∈N），求证数列{a_n}是等差数列。证明：由a_{n+1}=a_n+3，数列为等差数列，公差d=3，正确。5.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=1，S_n=2a_{n+1}-1（n≥1），求证数列{a_n}是等比数列。证明：由S_n=2a_{n+1}-1，得a_{n+1}=(S_n+1)/2，a_n=(S_{n-1}+1)/2，相减得a_n=a_{n+1}，故{a_n}是常数列，是等比数列。6.已知数列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=2a_n（n∈N），求证数列{a_n}是等比数列。证明：由a_{n+1}=2a_n，数列为等比数列，公比q=2，正确。7.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=1，S_n=na_{n+1}（n≥1），求证数列{a_n}是等差数列。证明：由S_n=na_{n+1}，得a_{n+1}=S_n/n，a_n=S_{n-1}/n，相减得a_n=(n-1)a_{n+1}/n，故a_{n+1}=na_n/(n-1)，数列为等差数列。8.已知数列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=a_n+1（n∈N），求证数列{a_n}是等差数列。证明：由a_{n+1}=a_n+1，数列为等差数列，公差d=1，正确。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某工厂第一年产量为1万件，以后每年比上一年增产2万件，求该工厂第10年的产量。解：由a_{n+1}=a_n+2，数列为等差数列，公差d=2，a_n=1+2(n-1)=2n-1，a_{10}=2×10-1=19，第10年产量为19万件。2.某城市人口第一年为100万，以后每年比上一年增长10%，求该城市第5年的人口。解：由a_{n+1}=a_n×1.1，数列为等比数列，公比q=1.1，a_n=100×1.1^(n-1)，a_5=100×1.1^4≈146.41，第5年人口为146.41万。3.某人存款第一年存入1000元，以后每年比上一年多存100元，求第5年存入的金额。解：由a_{n+1}=a_n+100，数列为等差数列，公差d=100，a_n=1000+100(n-1)=100n+900，a_5=100×5+900=1900，第5年存入1900元。4.某农场第一年收获粮食1万吨，以后每年比上一年增产20%，求第4年的粮食产量。解：由a_{n+1}=a_n×1.2，数列为等比数列，公比q=1.2，a_n=1×1.2^(n-1)，a_4=1×1.2^3≈1.728，第4年产量为1.728万吨。5.某公司员工工资第一年为5000元，以后每年比上一年增加500元，求第8年的工资。解：由a_{n+1}=a_n+500，数列为等差数列，公差d=500，a_n=5000+500(n-1)=500n+4500，a_8=500×8+4500=8000，第8年工资为8000元。6.某工厂第一年利润为100万元，以后每年比上一年增长30%，求第6年的利润。解：由a_{n+1}=a_n×1.3，数列为等比数列，公比q=1.3，a_n=100×1.3^(n-1)，a_6=100×1.3^5≈371.29，第6年利润为371.29万元。7.某城市人口第一年为100万，以后每年比上一年减少5%，求第3年的人口。解：由a_{n+1}=a_n×0.95，数列为等比数列，公比q=0.95，a_n=100×0.95^(n-1)，a_3=100×0.95^2≈90.25，第3年人口为90.25万。8.某人投资第一年投入10000元，以后每年比上一年多投2000元，求第4年投入的金额。解：由a_{n+1}=a_n+2000，数列为等差数列，公差d=2000，a_n=10000+2000(n-1)=2000n+8000，a_4=2000×4+8000=20000，第4年投入20000元。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.B3.A4.D5.A6.B7.A8.A9.A10.A二、填空题1.2^(n-1)-12.1/43.354.15.76.67.108.19.410.5三、判断题1.√2.√3.√4.√5.√6.×7.√8.√9.√10.√四、简答题1.证明：由S_n=na_{n+1}，得a_{n+1}=S_n/n，a_n=S_{n-1}/n，相减得a_n=(n-1)a_{n+1}/n，故a_{n+1}=na_n/(n-1)，数列为等比数列。2.证明：由a_{n+1}=2a_n+1，构造新数列b_n=a_n+1，则b_{n+1}=2b_n，故{b_n}是等比数列，但{a_n}不是等比数列。3.证明：由S_n=3a_{n+1}-3，得a_{n+1}=(S_n+3)/3，a_n=(S_{n-1}+3)/3，相减得a_n=a_{n+1}，故{a_n}是常数列，是等差数列。4.证明：由a_{n+1}=a_n+3，数列为等差数列，公差d=3，正确。5.证明：由S_n=2a_{n+1}-1，得a_{n+1}=(S_n+1)/2，a_n=(S_{n-1}+1)/2，相减得a_n=a_{n+1}，故{a_n}是常数列，是等比数列。6.