初中七年级数学《整式的除法》第一课时：单项式除以单项式教案

初中七年级数学《整式的除法》第一课时：单项式除以单项式教案

  一、设计依据与指导思想

  本教案的研制，立足于《义务教育数学课程标准（2022年版）》的核心素养导向，严格遵循其中关于“数与代数”领域的内容要求与学业标准。教学设计以“运算能力”与“抽象能力”的培养为基石，同时渗透“推理意识”与“模型观念”。单项式除以单项式作为整式除法运算的起点，其教学价值不仅在于掌握一项具体的代数运算规则，更在于它是学生从数的运算向式的运算进行迁移与拓展的关键节点，是构建整式运算知识体系不可或缺的一环。本设计秉承“以学生发展为中心”的理念，强调通过有层次、有挑战性的数学活动，引导学生在观察、比较、归纳、概括的思维历程中，自主构建法则，理解运算的算理，并在此过程中体会数学的简洁美与逻辑力量，实现从“学会”到“会学”的跃升。

  二、教材内容与学情深度剖析

  （一）教材内容解析

  整式的除法是整式四则运算的重要组成部分，位于整式加减、幂的运算、整式乘法之后，在教材体系中起着承上启下的作用。承上，它直接依赖于幂的运算性质（特别是同底数幂的除法）和单项式的乘法法则；启下，它为后续学习多项式除以单项式、因式分解乃至分式的化简与运算奠定了坚实的运算基础。单项式除以单项式是本单元的逻辑起点，其法则的探索与确立过程，蕴含了化归（将新问题转化为已知问题）与类比（类比数的除法、单项式乘法）等核心数学思想方法。教学的重点在于法则的生成过程与准确应用，而法则生成过程中对运算步骤（系数、同底数幂、只在被除式中含有的字母）的分析与归纳，是突破难点的关键。

  （二）学情精准诊断

  从认知基础看，授课对象为初中七年级学生，他们已系统学习有理数的四则运算、整数指数幂的运算性质、整式的相关概念、合并同类项以及单项式乘以单项式。这为本课的学习提供了必要的知识储备。从思维发展水平看，该年龄段学生的抽象逻辑思维正在发展，但尚不成熟，对具体运算步骤的模仿能力强于对抽象法则本质的理解，从具体运算到抽象法则的归纳概括能力有待引导与强化。从潜在学习障碍预判，学生可能存在的困难包括：一是对“同底数幂的除法”性质与“商的乘方”性质发生混淆；二是在处理复杂系数的除法（如分数、负数）时出现符号或计算错误；三是对“只在被除式中含有的字母”这一规定理解不深，导致在运算中遗漏。此外，从“数”的除法到“式”的除法的负迁移，也可能使学生对“整除”概念在代数式范畴内的扩展产生困惑。

  三、素养导向的教学目标设定

  基于以上分析，设定如下三维教学目标，并明确其与核心素养的对应关系：

  1.知识与技能目标

  （1）理解并准确叙述单项式除以单项式的运算法则，明确其算理依据（幂的运算性质和乘法与除法的互逆关系）。

  （2）能够正确、熟练地进行单项式除以单项式的运算，包括系数为整数、分数、负数等各种情形，并能处理较为复杂的混合运算问题。

  2.过程与方法目标

  （1）经历“具体实例计算—观察比较特征—归纳抽象法则—符号语言表述—法则应用辨析”的完整知识生成过程，发展观察、归纳、概括和数学表达的能力。

  （2）通过类比单项式乘以单项式、数的除法法则，体会数学知识间的内在联系，掌握类比与化归的数学思想方法。

  （3）在解决实际背景问题的过程中，初步建立运用代数运算解决实际问题的模型意识。

  3.情感态度与价值观目标

  （1）在自主探索与合作交流中，获得成功的体验，增强学习数学的自信心和求知欲。

  （2）通过感受法则的简洁性与普适性，欣赏数学的理性美与形式美。

  （3）养成严谨、细致的运算习惯和一丝不苟的科学态度。

  四、教学重难点及突破策略

  （一）教学重点：单项式除以单项式的运算法则及其应用。

  （二）教学难点：法则的探索与生成过程；对算理的深度理解；运算中符号、指数及“只在被除式中含有的字母”的准确处理。

  （三）突破策略：

  1.情境驱动，问题导学：创设具有认知冲突或现实意义的数学情境，提出核心问题链，激发学生探究欲望，引导思维方向。

  2.脚手架搭建，分步探究：将法则的探索过程分解为“系数如何处理？”、“同底数的字母如何处理？”、“单独出现的字母如何处理？”三个递进式问题，为学生搭建认知台阶，降低归纳难度。

  3.多元表征，深化理解：综合运用语言描述（文字法则）、符号表达（公式、算式）、具体实例（数字、字母）等多种表征方式，多角度阐释法则，促进深度理解。

  4.变式训练，对比辨析：设计正向、逆向、易错、综合等不同类型的例题与练习，在应用与辨析中巩固法则，暴露并纠正潜在错误认知，提升运算的准确性与灵活性。

  五、教学准备

  1.教师准备：精心设计的教学课件（PPT或几何画板动态演示）、学习任务单（包含探究活动、例题、分层练习）、实物投影仪或同屏软件。

  2.学生准备：复习幂的运算性质（特别是同底数幂的除法）、单项式乘法法则；准备好课堂练习本。

  六、教学过程实施详案

  （一）创设情境，温故孕新（预计时间：8分钟）

  1.情境导入，提出问题

  师：（利用多媒体展示）同学们，在科学探究中，我们常常需要处理微观世界的数据。假设一种病毒在理想环境下，每分裂一次，数量变为原来的10

3

10^3

103倍。现有研究表明，在某次观测起始时刻，一个培养皿中的病毒数量为6

×

10

12

6\times10^{12}

6×1012个，经过一段时间分裂后，数量达到了1.2

×

10

15

1.2\times10^{15}

1.2×1015个。我们如何计算出病毒大约分裂了多少次？

  生：（思考后）需要计算(

1.2

×

10

15

)

÷

(

6

×

10

12

)

(1.2\times10^{15})\div(6\times10^{12})

(1.2×1015)÷(6×1012)。

  师：非常好！这是一个涉及科学记数法的除法问题。我们将其抽象成更一般的数学表达式：(

1.2

×

10

15

)

÷

(

6

×

10

12

)

(1.2\times10^{15})\div(6\times10^{12})

(1.2×1015)÷(6×1012)。今天，我们要将这类运算从“数”的世界推广到“式”的世界。请看以下两个代数式：12

a

5

b

3

12a^5b^3

12a5b3和3

a

2

b

3a^2b

3a2b。如果第一个代数式表示某个长方形的面积，第二个表示它的宽，那么它的长该如何表示？

  生：(

12

a

5

b

3

)

÷

(

3

a

2

b

)

(12a^5b^3)\div(3a^2b)

(12a5b3)÷(3a2b)。

  师：是的。这就是我们今天要研究的核心课题——如何进行单项式除以单项式的运算。从这两个实际问题中，我们提炼出的数学运算对象，已经从具体的数字，变成了由数字和字母通过乘法运算构成的代数式——单项式。

  设计意图：通过病毒分裂和几何求长的双情境引入，赋予数学学习以现实意义和跨学科色彩，激发兴趣。同时，自然引出本课的核心运算式，并点明学习内容是从数的运算向式的运算的自然推广，建立知识之间的联系感。

  2.复习回顾，搭建桥梁

  师：要解决这个新问题，我们需要哪些旧知识的支持？请大家快速完成以下回顾练习（学习任务单第一部分）：

  （1）计算：①2

5

÷

2

2

=

2^5\div2^2=

25÷22=？②(

x

5

)

÷

(

x

2

)

=

(x^5)\div(x^2)=

(x5)÷(x2)=？请说出你的依据。

  （2）计算：①(

−

3

)

×

4

=

(-3)\times4=

(−3)×4=？②2

a

3

⋅

5

a

2

=

2a^3\cdot5a^2=

2a3⋅5a2=？请说出单项式乘以单项式的法则。

  （3）填空：因为（

）

×

3

a

2

b

=

12

a

5

b

3

（\quad）\times3a^2b=12a^5b^3

（）×3a2b=12a5b3，所以12

a

5

b

3

÷

3

a

2

b

=

（

）

12a^5b^3\div3a^2b=（\quad）

12a5b3÷3a2b=（）。

  学生独立完成后，教师通过提问，引导学生回顾：同底数幂的除法法则（底数不变，指数相减）、单项式乘法法则（系数相乘，同底数幂相乘）、以及除法是乘法的逆运算。特别强调第（3）题，它是利用乘除互逆关系进行猜测，为本课法则的探索提供一种重要的思考路径。

  设计意图：系统激活与新知识紧密相关的已有知识——幂的运算性质和单项式乘法法则，以及乘除法的互逆关系。这些是构建新法则的“砖石”和“脚手架”。填空练习直接指向核心例题，暗示了探究的方向。

  （二）合作探究，生成法则（预计时间：15分钟）

  1.探索活动一：实例计算，初步感知

  师：现在，让我们聚焦于刚才提出的问题：计算12

a

5

b

3

÷

3

a

2

b

12a^5b^3\div3a^2b

12a5b3÷3a2b。除了利用乘除互逆关系猜测，我们能否像处理数的除法一样，直接对它进行“运算”？请大家以小组为单位，结合复习的知识，尝试进行计算，并详细说明每一步的理由。

  学生小组讨论，教师巡视指导。预设学生可能的方法：

  方法1（化归法）：12

a

5

b

3

÷

3

a

2

b

=

(

12

÷

3

)

×

(

a

5

÷

a

2

)

×

(

b

3

÷

b

)

=

4

a

3

b

2

12a^5b^3\div3a^2b=(12\div3)\times(a^5\diva^2)\times(b^3\divb)=4a^{3}b^{2}

12a5b3÷3a2b=(12÷3)×(a5÷a2)×(b3÷b)=4a3b2。理由是：类比数的除法，可以分别处理数字部分和字母部分。数字部分直接相除，相同字母部分运用同底数幂的除法法则。

  方法2（逆运算法）：设商为M

M

M，则M

×

3

a

2

b

=

12

a

5

b

3

M\times3a^2b=12a^5b^3

M×3a2b=12a5b3。根据单项式乘法法则，M

M

M的系数乘以3应等于12，所以M

M

M的系数是4；M

M

M中字母a

a

a的指数加上2应等于5，所以a

a

a的指数是3；M

M

M中字母b

b

b的指数加上1应等于3，所以b

b

b的指数是2。故M

=

4

a

3

b

2

M=4a^3b^2

M=4a3b2。

  教师请小组代表展示不同方法，并引导学生比较其异同。明确两种方法本质相通，方法1更直接，是我们要归纳的运算法则的雏形。

  设计意图：将探索的主动权交给学生。通过小组合作，在思维的碰撞中，学生能利用已有知识解决新问题。展示不同方法，特别是突出化归（转化为数和同底数幂的除法）与逆运算两种核心思想，拓宽思维广度。

  2.探索活动二：变式拓展，归纳特征

  师：我们成功地解决了第一个问题。这个运算是否具有普遍性呢？请大家独立完成以下计算（学习任务单第二部分），并仔细观察每一步运算的特点：

  （1）−

15

x

4

y

3

÷

5

x

2

y

-15x^4y^3\div5x^2y

−15x4y3÷5x2y

  （2）3

4

a

3

b

2

c

÷

(

−

1

2

a

b

2

)

\frac{3}{4}a^3b^2c\div(-\frac{1}{2}ab^2)

43​a3b2c÷(−21​ab2)

  （3）6

2

m

3

n

4

÷

(

−

2

m

n

2

)

6^2m^3n^4\div(-2mn^2)

62m3n4÷(−2mn2)（此处系数为幂的形式，稍作提升）

  学生计算，教师巡视，关注学生的步骤书写和符号处理。完成后，教师投影展示规范的解答过程。

  师：现在，请大家结合这几个例子，思考并分组讨论以下问题：

  ①单项式除以单项式，运算结果是什么？（仍然是单项式）

  ②运算过程可以分解为几个步骤？每一步分别处理什么？

  ③运算中，系数的处理方式是什么？同底数幂的处理方式是什么？对于只在被除式中出现的字母（如例(2)中的字母c），我们应该如何处理？

  学生经过充分讨论，逐步达成共识：运算分三步走：先系数相除；再同底数幂相除；最后处理独有字母（连同指数直接作为商的一个因式）。

  设计意图：通过一组有层次、有变化的例题（涉及负数系数、分数系数、系数本身是幂），让学生在应用中进一步感知规律。设置结构化的问题链，引导学生对多个具体案例进行深度观察和比较，自主归纳出运算的共性步骤，为抽象法则做好铺垫。

  3.抽象概括，形成法则

  师：根据大家的发现，谁能尝试用精炼的数学语言，总结出单项式除以单项式的法则？

  学生尝试表述，师生共同补充、修正，最终形成文字法则：

  单项式相除，把系数、同底数幂分别相除作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。

  师：非常棒！这就是我们今天学习的核心法则。为了便于记忆和应用，我们也可以将其概括为三个关键词：“系数相除”、“同底幂相减”、“独有字母搬”。（板书关键步骤）

  设计意图：引导学生从具体实例中抽象出一般法则，并用准确、简洁的数学语言进行表述，这是培养学生数学抽象能力和概括能力的核心环节。提炼关键词有助于学生记忆和应用法则。

  （三）剖析典例，深化理解（预计时间：12分钟）

  1.示例精讲，规范步骤

  师：掌握了法则，我们来看如何规范地应用它。请看例题：

  例1计算：(1)28

x

4

y

2

÷

7

x

3

y

28x^4y^2\div7x^3y

28x4y2÷7x3y(2)(

−

5

a

5

b

3

c

)

÷

15

a

4

b

3

(-5a^5b^3c)\div15a^4b^3

(−5a5b3c)÷15a4b3(3)(

−

2

x

2

y

)

3

÷

(

4

x

3

y

2

)

(-2x^2y)^3\div(4x^3y^2)

(−2x2y)3÷(4x3y2)

  教师板书第(1)小题的完整过程，强调每一步的依据和书写规范：

  解：28

x

4

y

2

÷

7

x

3

y

28x^4y^2\div7x^3y

28x4y2÷7x3y

  =

(

28

÷

7

)

⋅

(

x

4

÷

x

3

)

⋅

(

y

2

÷

y

)

=(28\div7)\cdot(x^4\divx^3)\cdot(y^2\divy)

=(28÷7)⋅(x4÷x3)⋅(y2÷y)（依据：单项式除法法则）

  =

4

⋅

x

4

−

3

⋅

y

2

−

1

=4\cdotx^{4-3}\cdoty^{2-1}

=4⋅x4−3⋅y2−1（依据：有理数除法、同底数幂除法法则）

  =

4

x

y

=4xy

=4xy

  然后请学生口述(2)、(3)题的思路，教师板书关键步骤。重点剖析：

  (2)题：强调系数−

5

÷

15

=

−

1

3

-5\div15=-\frac{1}{3}

−5÷15=−31​的化简；字母b

b

b指数相同，相除后为b

0

=

1

b^0=1

b0=1，不写；字母c

c

c为被除式独有，直接落下。

  (3)题：这是混合运算，强调运算顺序——先乘方，再除法。先计算(

−

2

x

2

y

)

3

=

−

8

x

6

y

3

(-2x^2y)^3=-8x^6y^3

(−2x2y)3=−8x6y3，再进行除法运算。

  设计意图：教师示范，展示规范的解题格式和逻辑表述（注明依据），培养学生严谨的数学表达习惯。通过剖析不同变式，深化对法则细节（符号、指数为0、运算顺序）的理解。

  2.错例辨析，防范未然

  师：在运算中，我们常常会不小心踏入一些“陷阱”。请大家充当“小医生”，诊断以下计算过程中的错误，并说明病因和如何纠正（学习任务单第三部分）：

  （1）10

a

4

b

3

÷

5

a

2

b

=

2

a

2

b

2

10a^4b^3\div5a^2b=2a^2b^2

10a4b3÷5a2b=2a2b2（错误：b

3

÷

b

b^3\divb

b3÷b指数未相减）

  （2）−

12

x

5

y

4

÷

4

x

2

y

2

=

−

3

x

3

y

2

-12x^5y^4\div4x^2y^2=-3x^3y^2

−12x5y4÷4x2y2=−3x3y2（正确，用于对比）

  （3）6

m

2

n

÷

(

−

3

m

n

)

=

2

m

6m^2n\div(-3mn)=2m

6m2n÷(−3mn)=2m（错误：系数除法错误，应为−

2

m

-2m

−2m；字母n

n

n指数相减后为n

0

=

1

n^0=1

n0=1，不应省略系数后的“1”吗？不，结果为−

2

m

-2m

−2m，不是−

2

m

⋅

1

-2m\cdot1

−2m⋅1，这里需澄清：当字母因式结果为1时，通常不写，但系数和符号必须正确）

  （4）(

3

x

2

y

)

2

÷

3

x

2

y

=

3

x

2

y

(3x^2y)^2\div3x^2y=3x^2y

(3x2y)2÷3x2y=3x2y（错误：运算顺序错误，应先乘方得9

x

4

y

2

9x^4y^2

9x4y2，再除）

  学生分析讨论，教师引导总结常见错误类型：①同底数幂相除时，指数未相减或混淆法则；②系数计算错误，尤其是符号和分数；③运算顺序错误；④对“独有字母”处理不当（遗漏或多余）。

  设计意图：预见并呈现典型错误，通过辨析纠错，使学生对法则的理解从“知道是什么”深化到“知道为什么不能那样做”，从而在自身练习中有效规避错误，提升运算的准确性和稳固性。

  （四）分层演练，巩固提升（预计时间：8分钟）

  师：现在请大家进入实战演练环节。学习任务单第四部分提供了A、B两组练习，请大家根据自身情况选择完成。

  A组（基础巩固）：

  1.计算：

  (1)36

x

6

y

4

÷

9

x

4

y

3

36x^6y^4\div9x