随机变量的数字特征

随机变量的数字特征

讨论随机变量数字特征的原因

(1)在实际问题中，有的随机变量的概率分布

难确定，有的不可能知道，而它的一些数字特征较易确定。

(2)实际应用中，人们更关心概率分布的数字特征。

(3)一些常用的重要分布，如二项分布、泊松

分布、指数分布、正态分布等，只要知道了它们的某些数字特征，就能完全确定

其具体的分布。

§4.1数学期望

一、数学期望的概念

1.离散性随机变量的数学期望

例4.1：大学一年级某班有32名同学，年龄情况如下:

年龄171819202122

人数2710841

求该班同学的平均年龄。

解：

17x2+18x7+19x10+20x8+21x4+22x1

平均年龄=2+7+10+8+4+1

=19.25

把上式改写为：

/2I。7⑺10”8〜4“1

17x—F18x—F19x—F20x—F21x—I-22x—

323232323232

设X为从该班任选一名同学的年龄，其概率分布为

X171819202122

P2/327/3210/328/324/321/32

定义4.1：设离散型随机变量X的分布列为:

X1X2x••♦•Xk••••

X3

••••p••••

PP1P2P3k

若；“Pk绝对收敛（即刻乙夕"一[XE<+G0）,则称它为x的

数学期望或均值（此时，也称X的数学期望存在）,记为E（X）,即

EX二eXkPk

k

若发散，则称x的数学期望不存在。

K

说明：

（D随机变量的数学期望是一个实数，它体现了随机变量取值的平均;

（2）要注意数学期望存在的条件：Z%Pk绝对

k

收敛；

（3）当X服从某一分布时，也称某分布的数学

期望为EX。

例4.2：设X服从参数为p的两点分布，求EX

EX=p

例4・3：设X~B(n,p),求EX

EX=np

例4.4：设X服从参数为入的泊松分布，求EX

EX=2

2.连续型随机变量的数学期望

定义4.2:设连续型随机变量X的概率密度为f(x).若积分

/•4-001I

Lxfgdx绝对收敛，(即Lx\f(x)dx<"0),则称它

为X的数学期望或均值(此时，也称X的数学期望存在)，记为E(X),即

「oo

石(X)=fxf(^x)dx

J—oo

x\f(x)dx=+oo

则称X的数学期望不存在。

例4.5:设X服从U[a,b],求E(X)°

a+b

EX=-----------

2

例4.6:设X服从参数为九的指数分布，求EX

EX=2

2

例4.7:X~N(〃,(T),求EX

EX=//

下面分析书上P101-一P104例。

例1P101

例2P101

例3P102—103

解：注意由于8:00〜9:00,9:00〜10:00都恰有一辆车到站，所以⑴8:00到车站的旅

客在8:50前一定会上车，而(ii)8:20到车站的旅客则可以直到9:50才会上车。

例4P103

3.随机变量函数得数学期望

定理4.1:设随机变量X的函数为Y=g(X),

(1)若离散型随机变量X的分布律为

P"尸(X=%),k=1,2,…,绝对收敛，则Y的数学期望

K

E(Y)=仇g(x)]=2g(4次

存在，且丁

(2)若连续型随机变量X的概率密度为

4-00

f(x),Y=g(X)也是连续型随机变量，J绝对收敛，则丫

—OO

的数学期望存在，且

fOC

E(y)=E[g(X)]=g(x)f⑺dx

J-8

定理4.2:设二维随机变量(X,Y)的函数Z=g(x,y)

(1)若二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律

为

P)=P(X==y),i,j=1,2,....

且有二绝对收敛，则z的数学期望存在，且

l，J

E(Z)=E[g(X,y)]=Zga.,“)p〃

i，j

(2)若二维连续型随机变量(X,Y)的联合概率密

度为f(x,y),Z=g(X,Y)也是连续型随机变量,并且

/•00/*00

工匕双羽田”声四公办绝对收敛，则Z的数学期望存在，且

•CC广8

E(Z)=£[g(X,y)]=g^y)f^y)dxdy

—00J—co

例5P106

例6P107

例7P107

以下为第一版例。

例4.8:设X~U[0,7t],丫=$111乂，求£(丫)。

例4.9:设(X,Y)的联合分布律为

、m(m一

P(X=n^vY=m)=^---p-----x------p--y--------e

m!(n-m)!

其中4〉0；0<p〈l；〃=O,1,2,…；加=0J,・・・，〃，

求E(XY)o

数学期望的性质

性质1：若c为常数，则

E(c)=Co

性质2:若c为常数，随机变量X的数学期望存在，贝U：cX的数学期望存在，且

E(cX)=cE(X)

性质3:若二维随机变量(X,Y)的分量X,Y的数学期望都存在,则X+Y的数学期望存

在，且

E(X+Y)=E(X)+E(Y)

推论:若n维随机变量(Xi,X2.........X”)的分量AX?...........X〃的数学期望都存在,

则X-X2+...+X”的数学期望存在，且

♦n

成ZX,)=ZE(X,)

/=1Z=1

性质4:若随机变量X,Y相互独立，它们的数学期望都存在，则X・Y的数学期望存

在，且

E(X・Y)=EX・EY

推论:若随机变量X1,X2,・・・.，儿相互独立，它们的数学期望都存在，则X、2…X。的

数学期望存在,且

巨（nxj=ri石（X,）

i=\i=\

性质5:若随机变量只取非负值，又E(X)存在，则E(X)NO。

若x<y对任何GES,£(x),£(y)存在，则

E(X)<E(y).

特别地，若aVXVb,a,b为常数,石(X)存在，则

a<E(X)<b.

例8P109

例9P110

第一版例

例4.14：设一批同类型的产品共有N件，其中次品有M件。今从中任取n(假定n

WN-M)件，记这n件中所含次品数为X,求E(X)。

三.综合性的例题(第一版)

例:设X的概率密度为

+bx20<x<1

/(X)=<

O其它

3

其中a,b为常数，且E(X)=—o求a,b的值。

注意：f(x)中有几个未知数要建几个方程来求之。

例：射击比赛规定：每位射手向目标独立重复射击四法子弹，全未中的。分，仅

中一发得15分，恰中两发得30分，恰中三发得55分，全中得100分。若某射手

的命中率为0.6,求他得分的数学期望。

例:某水果商店，冬季每周购进一批苹果。已知该店一周苹果销售量X(单位:kg)

服从U[1000,2000]。购进的苹果在一周内售出，1kg获纯利1.5元；一周内没售

出，1kg需付耗损、储藏等费用0.3元。问一周应购进多少千克苹果，商店才能获

得最大的平均利润。

§4-2方差

方差的概念

1、定义4.3:设随机变量X的数学期望为E(X),若E(X-E(X))2存在，则称它为X

的方差(此时，也称X的方差存在)，记为D(X)或Var(X),即

D(X)=E(X-E(X))2

称D(X)的算术平方根J。(X)为X的标准差或均方差，记为b(X),即

0(X)=亚行

由数学期望的性质5知，若随机变量X的方差D(X)存在，则D(X)K)。简言之,

方差是一个非负实数。

当X服从某分布时，我们也称某分布的方差为D(X)o

2、计算方差

(1)若X是离散型随机变量，其分布律为pi=P(X=xD,i=l,2,…，且D(X)存在，则

D(X)=Z(i(X))2R

i

(2)若X是连续型随机变量，其概率密度为f(x),且D(X)存在，则

D(X)=「(x-E(X))2/(x)dx

J—co

(第一版)

例1：设X~B(1,p),求D(X)

例2：设X~N(N，6),求DOO

例3：设X〜U[a,b],求D(X)

⑶D(X)=E(X2)-(EX)2

证明：P112.

例1P112

例2P112

(第一版)

例4：设X〜兀⑴，求D(X)

例5：已知X〜N(102),y〜〃(3),求石(X2+2F)

二.方差的性质

性质1：若C为常数，则

D(0=0

性质2:若C为常数，随机变量X的方差存在，则CX的方差存在，且

D(CX)=C2D(X)

证明由自己完成

性质3:若随机变量X,Y相互独立，它们的方差都存在，则X土Y的方差也存在，且

D(X±Y)=D(X)+D(Y)

证明：P113

推论:若随机变量XbX2，…,Xn相互独立，它们的方差都存在，则X|+X?+.・.+Xn的方

差存在，且

。(—+…+X,)=Q(X1)+,.,+D(X〃)

性质4:若随机变量X的方差存在，对任意的常数CwE(X),则

2<E(X-C)2

0(X)=E(X—EX)

即函数g(C)=E(X-C)2在C=E(X)处达到最小值D(X)o

性质5若D(X)存在，则D(X)=O的充要条件是：

P(X二E(X))=1

例3P113

第一版例：

例6：X服从B(n,p),求D(X).

例7：某种商品每件表面上的疵点数X服从泊松分布，平均每件上有0.8个疵点。

若规定表面不超过一个疵点的为一等品，价值十元，表面疵点数大于1不多于4

的为二等品，价值8元。某件表面疵点数是4个以上着为废品，求产品价值的均

值和方差。

已知X〜4(0.8)

设产品价值为H.v.y

y取值0810

X(X>4)(1<X<4)(X<1)

P(X>4=P(X<1)

P(Y=k)p(l<X<4)

1-0.8088=p(X<4)-=1-

-0.1898

P(X<1)p(x>2)

=[1-P(X>5)]=0.8088

-[i-p(X>2)]

=0.1898

£(X)=8义0.1898+10x0.8088=9.6元

EX2=0+82x0.1898+102x0.8088=93.03

/.D(X)=E(X2)—E\X)=0.8672

X-X—石(X———)

例：设随机变量X的方差D(X)存在，且D(X)>0令J/)(X)，其

中E(X)是x的数学期望，求石(X*)和D(X*)。

三.契比雪夫不等式(Chebyshev)

契比雪夫不等式：设随机变量X的方差D(X)存在，则对任意的£>0,均有

一(X)

P{|X-E(X)|>8)<后2

或等价地

D(X)

P{|X-E(X)|<e}>1-尸2

例：P{|X-E(X)|<3a}>0.8889

P{|X-E(X)|<4a}>0.9375

解：P{|X-E(X)|<3aUl-------y

(3。)2

1

=1­

9

1

P{|X-E(X)|<4a}>1——

16

Data;

A=8/9;puta=;

A=15/16;puta=;

Run;

A=0.8888888889

A=0.9375

§4.3几种生要随机变量的数学期望与方差

P115

这部分结果很重要，要牢记。

P117,关于正态随机变量的三个重要数据：

P{jU-cr<X<jU^cr}=0(1)-①(―1)

=20^1)—1

=0.6826894921

—2。<X<〃+2。}=0(2)-①(-2)

=2(^2)—1

=0.9544997361

P{^-3a<X<ju+3a}=0(3)-0(-3)

=2O^3)—l

=0.9973002039

SAS的两种计算公式：

data;

pl=PROBNORM(l)-PROBNORM(-1);putpl=;

p2=PROBNORM(2)-PROBNORM(-2);putp2=;

p3=PROBNORM(3)-PROBNORM(-3);putp3=;

run;

pl=0.6826894921

p2=0.9544997361

p3=0.9973002039

data;

p1=2^PROBNORM(1)-1;putpl=;

p2=2^PROBNORM(2)-1;putp2=;

p3=2^PROBNORM(3)-1;putp3=;

run;

pl=0.6826894921

p2=0.9544997361

p3=0.9973002039

也可以验证数据，即以〃为中心，需要几倍的标准差。距离所构成的区间，其区

间内的概率为上述所示。

Data;

ql=abs(probit((1-0.6826894921)/2));putql=;

q2=abs(probit((1-0.9544997361)/2));putq2=;

q3=abs(probit((1-0.9973002039)/2))；putq3=;

run;

ql=0.9999999999

q2=2

q3=2.9999999959

data;

ql=probit(1-(1-0.6826894921)/2);putql=;

q2=probit(1-(1-0.9544997361)/2)；putq2=;

q3=probit(1-(1-0.9973002039)/2);putq3=;

run;

ql=0.9999999999

q2=2

q3=2.9999999959

注意：〃为中心，概率为90%,95%,98%,99%的区间，需要几倍的标准差b距离。

Data;

ql=abs(probit((1-0.9)/2));putql=;

q2=abs(probit((1-0.95)/2));putq2=;

q3=abs(probit((1-0.98)/2));putq3=;

q3=abs(probit((1-0.99)/2));putq3=;

run;

ql=l.644853627

q2=l.9599639845

q3=2.326347874

q3=2.5758293035

比如，P{jn-1.96a<%<//+1.96a}

=0.95

P[/Li-1.64485。<X<//+1.64485cr}

=0.9

等的结论也是常用的。几乎都成常识了。

书示附表1中列出了多种常用的随机变量的数据期望和方差。

§4.4协方差及相关系数

协方差与相关系数的概念

1.定义

定义4.4：设二维随机变量(X,Y),它的分量的数学期望为E(X),E(Y),若

E[(X-E(X))(Y-E(Y))]存在，则称它为X,Y的协方差，记为Cov(X,Y),即

Cov(X,Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))]

2.计算

(1)用定义计算

若二维离散型随机变量(X,Y)的联合概率分布律

P厂P(X-七，Y一X)，ij=12，…，且Gov(X,Y)存在，则

Z5-£(x))(匕-3丫)河

Cov(X,Y)=l」)

l，J

若二维连续型随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y),且Cov(X,Y)存在，则

/•00「00

Cov(X,Y)=\f(x-E(X))(>-£(K))/(x,y)dxdy

J—00J-oo

(2)、公式

在计算Cov(X,Y)时，除用定义外，有时用下述公式较方便：

Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)

第一版例：不讲。

222

例：设(X,Y)在圆域D={(x,y)；x+v<r}(r>0)上服从均

匀分布，判断X,Y是否不相关。并求Cov(X,Y)。

例：设(X,Y)的联合分布律为

PTv、^pm(y-y-m-

P(X=n.Y=m)=--------------P--------e

m\(n-m)!

其中4〉0,0<p<1,〃=0,1,2…，m=0,1,2,­

求Cov(X,Y),并讨论X,Y的相关性。

说明：

(1)Cov(X,Y)能反映X与Y之间某种联系的程度。

(2)Cov(X,Y)是有量纲的量，其值与(X,Y)的取值单位有关。

3.相关系数

定义4.5:若二维随机变量(X,Y)的分量的方差D(X),D(Y)都存在，且

Cov(X,Y)

D(X)>0,D(Y)>0,则称J0(x)y)为X,Y的相关系数，记为PXY,即

Co.(x,y)

定义46：若PXY=0则称X,Y不相关；

若"xy>°称尤丫正相关；

若PxY<。则称x,Y负相关。

4.随机变量X,Y独立性与不相关的关系

⑴一般情况下，设夕xy存在，若x,Y相互独立，

则"盯二°,即X,Y不相关。

反之，X,Y不相关，但X,Y不一定独立。

如例：(书4.31)(X,Y)在｛。：X2+了4，｝上均匀分布。可知X,Y不

相关，但X,Y不独立。

⑵特别，对于二维正态分布（X,Y）服从

N（41b；;〃2,，bJ夕）有

X,Y相互独立=夕=0oX.Y不相关。

二协方差与相关系数的性质

1.性质

性质1：若X,Y的协方差Cov(X,Y)存在，则

E(XY)=E(X)E(Y)+Cov(X,Y)

性质2:若(X,Y)两个分量的方差都存在，则

D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2Cov(X,Y)

推论:若(Xi,X2.,・・.Xn)各分量的方差都存在，则

n.___

O(ZX,)=ZaX,)+2

Z-l1<£<j<n

性质3：设下述各式所出现的协方差都存在，则有

Cov(X,Y)=Cov(Y,X)

Cov(aX,Y)=aCov(X,Y)

c?v(X]+X2,y)=Cov(x1,y)+Cov{x1,y)

Cov(X,X)=D(X)

Cov(a,X)=0其中a为常数

例3（第一版）：设（X,丫）y）=---------------e”,求

’25

Cov(2X+Y,X-2Y)

性质4:若X,Y的相关系数Pxy存在，则

(1)1PXY