清华自学考试数学试题与答案展示

清华自学考试数学试题与答案展示考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题：（每小题2分，共10分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在括号内）1.函数f(x)=|x-1|在x=1处的导数是(A)-1(B)0(C)1(D)不存在2.极限lim(x→0)(sin2x)/x等于(A)1(B)2(C)0(D)1/23.若函数f(x)在区间(a,b)内可导且f'(x)>0，则f(x)在该区间内(A)单调递增(B)单调递减(C)先增后减(D)无法判断单调性4.设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则下列运算中一定有定义的是(A)AB(B)BA(C)A+B(D)A-B5.线性方程组Ax=b，其中A为3×3矩阵，若其增广矩阵(A,b)的秩为3，而矩阵A的秩为2，则该方程组(A)无解(B)有唯一解(C)有无穷多解(D)解的情况不确定二、填空题：（每小题3分，共15分。请将答案填在题中横线上）6.曲线y=x^3-3x^2+2在x=1处的切线方程是__________。7.设函数f(x)=e^(kx)，若其导数f'(x)=2f(x)，则常数k=__________。8.若向量α=(1,2,-1)，β=(2,-3,1)，则向量α与β的数量积(α,β)=__________。9.设A是2×2可逆矩阵，A=|a,b;c,d|，则其逆矩阵A^(-1)=__________。10.矩阵|1,2;3,4|的行列式值|1,2;3,4|=__________。三、计算题：（每小题5分，共20分）11.计算极限lim(x→2)[(x^2-4)/(x-2)]。12.计算不定积分∫(x^2+1)dx。13.解线性方程组：x+2y-z=12x-y+z=0-x+y+2z=-114.求向量组α1=(1,0,2),α2=(0,1,-1),α3=(2,-1,1)的秩，并判断其是否线性相关。四、证明题：（每小题10分，共20分）15.证明：若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则在(a,b)内至少存在一点ξ，使得f(ξ)=[(f(b)-f(a))/(b-a)]。16.设A是n×n矩阵，且满足A^2=A（称为幂等矩阵）。证明：(E-A)是可逆矩阵，其中E是n×n单位矩阵。试卷答案一、选择题：1.(B)2.(B)3.(A)4.(A)5.(C)二、填空题：6.y=-2x+37.28.-19.|d,-b;-c,a|/(ad-bc)10.-2三、计算题：11.解：原式=lim(x→2)[(x+2)(x-2)/(x-2)]=lim(x→2)(x+2)=4。思路：分子因式分解，约去趋于零的因子(x-2)。12.解：∫(x^2+1)dx=(x^3/3)+x+C。思路：利用基本积分公式∫x^ndx=x^(n+1)/(n+1)+C，逐项积分。13.解：对增广矩阵施行行变换：|1,2,-1,|1;2,-1,1,|0;-1,1,2,|-1|→|1,2,-1,|1;0,-5,3,|-2|(R2-2R1)→|1,2,-1,|1;0,1,-3/5,|2/5|(R2*-1/5)→|1,0,1/5,|1/5;(R1-2R2)0,1,-3/5,|2/5|→|1,0,1/5,|1/5;0,1,-3/5,|2/5|对应方程组：x+(1/5)z=1/5y-(3/5)z=2/5令z=t，则x=1/5-(1/5)t，y=2/5+(3/5)t。通解为|x,y,z|=|1/5,2/5,0|+t*|-1/5,3/5,5|(t为任意常数)。思路：高斯消元法，将增广矩阵化为行最简形式。14.解：以α1,α2,α3为列向量作矩阵A：|1,0,2|A=|0,1,-1||2,-1,1|对A施行行变换：→|1,0,2|→|0,1,-1|→|0,-1,-3|(R3-2R1)→|1,0,2|→|0,1,-1|→|0,0,-4|(R3+R2)矩阵化为阶梯形，非零行数为3，故秩r(A)=3。由于向量组包含3个向量，秩等于向量个数，故向量组线性无关。思路：求向量组的秩，通过行变换化为阶梯形矩阵，非零行数即为秩。判断线性相关性：若秩等于向量个数，则线性无关；否则线性相关。四、证明题：15.证明：设F(x)=f(x)-[(f(b)-f(a))/(b-a)]*x，则F(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导。F(a)=f(a)-[(f(b)-f(a))/(b-a)]*a=[f(a)(b-a)-a(f(b)-f(a))]/(b-a)=[bf(a)-af(b)]/(b-a)。F(b)=f(b)-[(f(b)-f(a))/(b-a)]*b=[f(b)(b-a)-b(f(b)-f(a))]/(b-a)=[bf(a)-af(b)]/(b-a)。故F(a)=F(b)。由罗尔定理，存在ξ∈(a,b)，使得F'(ξ)=0。F'(x)=f'(x)-[(f(b)-f(a))/(b-a)]。F'(ξ)=f'(ξ)-[(f(b)-f(a))/(b-a)]=0。即f'(ξ)=[(f(b)-f(a))/(b-a)]。思路：构造辅助函数F(x)=f(x)-[(f(b)-f(a))/(b-a)]*x，利用罗尔定理证明存在点ξ满足f'(ξ)=[(f(b)-f(a))/(b-a)]。16.证明：要证E-A可逆，需证(E-A)存在逆矩阵(E-A)^(-1)，使得(E-A)(E-A)^(-1)=E。设B=E-A，则B^2=(E-A)^2=E-2A+A^2=E-2A+A=E-A=B。即B满足B^2=B。考虑E-B=E