高中数学选修一 导学案 1.1.1　第2课时　空间向量的数量积

第2课时空间向量的数量积(教师独具内容)课程标准：1.掌握空间向量的数量积.2.了解空间向量投影的概念以及投影的意义．教学重点：1.空间向量夹角的概念.2.空间向量数量积的概念、性质及计算方法．教学难点：投影的概念及利用向量的数量积解决立体几何问题．核心素养：1.通过对空间向量数量积的概念、性质的学习提升数学抽象素养.2.通过运用空间向量的数量积求空间向量的夹角、证明垂直提升数学运算素养．知识点一空间向量的夹角空间中，给定两个非零向量a，b，在空间中任选一点O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则大小在eq\x(\s\up1(01))[0，π]内的∠AOB称为a与b的夹角，记作eq\x(\s\up1(02))〈a，b〉．特别地，如果〈a，b〉＝eq\x(\s\up1(03))eq\f(π,2)，则称向量a与b垂直，记作eq\x(\s\up1(04))a⊥b；约定eq\x(\s\up1(05))零向量与任意向量都垂直．[点拨](1)两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时夹角为0，反向时夹角为π，即〈a，b〉＝0或π⇔a∥b(a，b为非零向量)．(2)零向量与其他向量之间不定义夹角，并规定0与任意向量平行，约定0与任意向量都垂直．两非零向量的夹角是唯一确定的．(3)对空间任意两向量a，b有：①〈a，b〉＝〈b，a〉＝〈－a，－b〉＝〈－b，－a〉；②〈a，－b〉＝〈－a，b〉＝π－〈a，b〉；③〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))〉＝〈eq\o(BA,\s\up6(→))，eq\o(CA,\s\up6(→))〉＝π－〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CA,\s\up6(→))〉．知识点二空间向量的数量积(1)定义：a·b＝eq\x(\s\up1(01))|a||b|cos〈a，b〉．规定零向量与任意向量的数量积为eq\x(\s\up1(02))0．(2)投影：空间向量a在向量b上的投影a′，可以过a的始点和终点分别作与eq\x(\s\up1(03))b所在直线垂直的平面得到．如图，向量b在棱AB上，a＝eq\o(A′C′,\s\up6(→))，因为eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(A′C′,\s\up6(→))，BC⊥AB，所以a在向量b上的投影a′＝eq\x(\s\up1(04))eq\o(AB,\s\up6(→))．(3)几何意义：a与b的数量积等于eq\x(\s\up1(05))a在b上的投影a′的数量与b的长度的乘积．特别地，a与单位向量e的数量积等于eq\x(\s\up1(06))a在e上的投影a′的数量．[提醒](1)a·b是数量而不是向量，a·b的正负由cos〈a，b〉确定．(2)a·b是两向量之间的一种乘法，与数的乘法不同．书写时应写成a·b，而不能写成ab，也不能写成a×b.(3)若a，b为非零向量，则cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|).知识点三空间向量数量积的性质(1)a⊥b⇔eq\x(\s\up1(01))a·b＝0．(2)a·a＝eq\x(\s\up1(02))|a|2＝eq\x(\s\up1(03))a2．(3)|a·b|eq\x(\s\up1(04))≤|a||b|.(4)(λa)·b＝eq\x(\s\up1(05))λ(a·b)．(5)a·b＝eq\x(\s\up1(06))b·a(交换律)．(6)(a＋b)·c＝eq\x(\s\up1(07))a·c＋b·c(分配律)．[拓展](1)a·e＝|a|cos〈a，e〉(其中e为单位向量)．(2)|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(a2).[提醒]|a·b|≤|a||b|中，当且仅当a，b共线时等号成立．1．(空间向量的夹角)若△ABC为正三角形，则eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(BC,\s\up6(→))的夹角为()A.eq\f(π,3) B.eq\f(2π,3)C.eq\f(π,4) D.eq\f(π,6)答案：B2．(空间向量数量积的性质)(多选)已知空间向量a，b，c，下列结论正确的是()A.eq\r(a·a)＝|a|B．m(λa)·b＝(mλ)a·b(m，λ∈R)C．a·(b＋c)＝(b＋c)·aD．a2b＝b2a答案：ABC3．(空间向量的数量积运算)已知空间向量a，b，|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝30°，则a·b＝________．答案：3eq\r(3)4．(空间向量的投影)如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，则eq\o(OA1,\s\up6(→))在eq\o(AC,\s\up6(→))上的投影为________；eq\o(DG,\s\up6(→))在平面ABCD上的投影的数量为________．答案：eq\o(OA,\s\up6(→))2题型一空间向量的夹角例在正方体ABCD－A1B1C1D1中，向量eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(C1B,\s\up6(→))的夹角〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(C1B,\s\up6(→))〉＝________；向量eq\o(A1B,\s\up6(→))与eq\o(B1D1,\s\up6(→))的夹角〈eq\o(A1B,\s\up6(→))，eq\o(B1D1,\s\up6(→))〉＝________．[解析]如图，连接A1D，BD.∵AB⊥平面BCC1B1，又C1B⊂平面BCC1B1，∴AB⊥C1B，故〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(C1B,\s\up6(→))〉＝90°，∵eq\o(B1D1,\s\up6(→))∥eq\o(BD,\s\up6(→))，∴〈eq\o(A1B,\s\up6(→))，eq\o(B1D1,\s\up6(→))〉＝〈eq\o(A1B,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))〉＝180°－∠A1BD，∵△A1BD为等边三角形，∴∠A1BD＝60°，∴〈eq\o(A1B,\s\up6(→))，eq\o(B1D1,\s\up6(→))〉＝120°.[答案]90°120°【感悟提升】找两向量的夹角关键是把两向量平移到一个公共的起点，找到向量的夹角，再利用解三角形求角，注意向量夹角的范围是[0，π]．【跟踪训练】1．在正四面体A－BCD中，E，F分别是AC，AD的中点，则eq\o(BC,\s\up6(→))与eq\o(EF,\s\up6(→))的夹角为()A．30° B．60°C．120° D．150°答案：C解析：由题意，可得eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CD,\s\up6(→))，所以〈eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(EF,\s\up6(→))〉＝〈eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉＝180°－〈eq\o(CB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉＝180°－60°＝120°.题型二空间向量数量积的计算例2如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，E，F分别是AB，AD的中点，计算：(1)eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))；(2)eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))；(3)eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))；(4)eq\o(BF,\s\up6(→))·eq\o(CE,\s\up6(→)).[解](1)eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)|eq\o(BD,\s\up6(→))|·|eq\o(BA,\s\up6(→))|cos〈eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(BA,\s\up6(→))〉＝eq\f(1,2)×1×1×cos60°＝eq\f(1,4).(2)eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)|eq\o(BD,\s\up6(→))||eq\o(BD,\s\up6(→))|·cos〈eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))〉＝eq\f(1,2)×1×1×cos0°＝eq\f(1,2).(3)eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)|eq\o(BD,\s\up6(→))||eq\o(DC,\s\up6(→))|·cos〈eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))〉＝eq\f(1,2)×1×1×cos120°＝－eq\f(1,4).(4)eq\o(BF,\s\up6(→))·eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→)))·eq\f(1,2)(eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→)))＝eq\f(1,4)[eq\o(BD,\s\up6(→))·(－eq\o(BC,\s\up6(→)))＋eq\o(BA,\s\up6(→))·(－eq\o(BC,\s\up6(→)))＋eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))]＝eq\f(1,4)×[－eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋(eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→)))·eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))]＝eq\f(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)－\f(1,2)＋\f(1,2)－\f(1,2)＋\f(1,2)))＝－eq\f(1,8).【感悟提升】空间向量数量积的运算方法(1)直接利用空间向量数量积的定义并结合运算律进行计算．(2)在几何体中求空间向量的数量积的步骤【跟踪训练】2．(1)已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心为O1，则eq\o(AO1,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))的值为()A．－1 B．0C．1 D．2答案：C解析：eq\o(AO1,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1O1,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(A1B1,\s\up6(→))＋eq\o(A1D1,\s\up6(→)))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，则eq\o(AO1,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))·(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＋eq\f(1,2)(|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＋2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＋|eq\o(AD,\s\up6(→))|2)＝1.故选C.(2)已知四面体ABCD的所有棱长都是2，E是AD的中点，则eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(CE,\s\up6(→))＝()A．1 B．－1C.eq\r(3) D．－eq\r(3)答案：A解析：如图，eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→))，所以eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(AE,\s\up6(→))＝2×2×cos60°＋2×1×cos120°＝1.故选A.题型三空间向量数量积的应用例3(1)已知空间向量a，b，|a|＝2，|b|＝eq\r(2)，a·b＝－2，则〈a，b〉＝________．[解析]∵a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，∴cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(－2,2×\r(2))＝－eq\f(\r(2),2).又〈a，b〉∈[0，π]，∴〈a，b〉＝eq\f(3π,4).[答案]eq\f(3π,4)(2)已知空间向量a，b，|a|＝13，|b|＝19，|a＋b|＝24，则|a－b|＝________．[解析]∵|a＋b|＝24，∴(a＋b)2＝576，则a2＋2a·b＋b2＝576，∴2a·b＝576－132－192＝46.又|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝132＋192－46＝484，∴|a－b|＝22.[答案]22(3)如图，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则向量eq\o(PC,\s\up6(→))在eq\o(BC,\s\up6(→))上的投影为________．[解析]∵PA⊥平面ABC，则PA⊥BC，eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0＋6×6×eq\f(1,2)＋62＝54.向量eq\o(PC,\s\up6(→))在eq\o(BC,\s\up6(→))上的投影为eq\f(\o(PC,\s\up6(→))·\o(BC,\s\up6(→)),\a\vs4\al(|\o(BC,\s\up6(→))|))·eq\f(\o(BC,\s\up6(→)),\a\vs4\al(|\o(BC,\s\up6(→))|))＝eq\f(54,36)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)eq\o(BC,\s\up6(→)).[答案]eq\f(3,2)eq\o(BC,\s\up6(→))(4)如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AB＝2，则eq\o(A1C,\s\up6(→))与eq\o(AB1,\s\up6(→))夹角的余弦值为________．[解析]由eq\o(A1C,\s\up6(→))＝eq\o(A1C1,\s\up6(→))＋eq\o(A1A,\s\up6(→))，eq\o(AB1,\s\up6(→))＝eq\o(A1B1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→))，而A1C1⊥A1A，A1B1⊥A1A且∠B1A1C1＝60°，则eq\o(A1C,\s\up6(→))·eq\o(AB1,\s\up6(→))＝(eq\o(A1C1,\s\up6(→))＋eq\o(A1A,\s\up6(→)))·(eq\o(A1B1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→)))＝eq\o(A1C1,\s\up6(→))·eq\o(A1B1,\s\up6(→))－eq\o(A1C1,\s\up6(→))·eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(A1A,\s\up6(→))·eq\o(A1B1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→))2＝2－0＋0－4＝－2，显然|eq\o(A1C,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB1,\s\up6(→))|＝2eq\r(2)，则cos〈eq\o(A1C,\s\up6(→))，eq\o(AB1,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(A1C,\s\up6(→))·\o(AB1,\s\up6(→)),|\o(A1C,\s\up6(→))||\o(AB1,\s\up6(→))|)＝－eq\f(1,4).[答案]－eq\f(1,4)【感悟提升】利用空间向量的数量积可以求空间向量的夹角、模以及解决与垂直有关的问题等．【跟踪训练】3．(1)如图，圆台的高为4，上、下底面半径分别为3，5，M，N分别在上、下底面圆周上，O2，O1分别为上、下底面圆的圆心，且〈eq\o(O2M,\s\up6(→))，eq\o(O1N,\s\up6(→))〉＝120°，则|eq\o(MN,\s\up6(→))|＝()A.eq\r(65) B．5eq\r(2)C.eq\r(35) D．5答案：A解析：∵O2M⊥O1O2，O1N⊥O1O2，∴eq\o(MO2,\s\up6(→))·eq\o(O2O1,\s\up6(→))＝0，eq\o(O2O1,\s\up6(→))·eq\o(O1N,\s\up6(→))＝0，∵eq\o(MO2,\s\up6(→))·eq\o(O1N,\s\up6(→))＝3×5×cos60°＝eq\f(15,2)，eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MO2,\s\up6(→))＋eq\o(O2O1,\s\up6(→))＋eq\o(O1N,\s\up6(→))，∴eq\o(MN,\s\up6(→))2＝(eq\o(MO2,\s\up6(→))＋eq\o(O2O1,\s\up6(→))＋eq\o(O1N,\s\up6(→)))2＝eq\o(MO2,\s\up6(→))2＋eq\o(O2O1,\s\up6(→))2＋eq\o(O1N,\s\up6(→))2＋2eq\o(MO2,\s\up6(→))·eq\o(O2O1,\s\up6(→))＋2eq\o(O2O1,\s\up6(→))·eq\o(O1N,\s\up6(→))＋2eq\o(MO2,\s\up6(→))·eq\o(O1N,\s\up6(→))＝9＋16＋25＋15＝65，∴|eq\o(MN,\s\up6(→))|＝eq\r(65).(2)已知四面体OABC的各棱长均为1，D是棱OA的中点，则eq\o(BD,\s\up6(→))与eq\o(AC,\s\up6(→))夹角的余弦值为()A．－eq\f(\r(3),3) B.eq\f(1,4)C．－eq\f(\r(3),6) D.eq\f(\r(2),8)答案：C解析：eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))，∵|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(3),2)，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝1，且eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(OA,\s\up6(→))－\o(OB,\s\up6(→))))·(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))2＋eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)×1×1×cos60°－1×1×cos60°－eq\f(1,2)×12＋1×1×cos60°＝－eq\f(1,4)，∴cos〈eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(BD,\s\up6(→))·\o(AC,\s\up6(→)),\a\vs4\al(|\o(BD,\s\up6(→))||\o(AC,\s\up6(→))|))＝eq\f(－\f(1,4),\f(\r(3),2)×1)＝－eq\f(\r(3),6).故选C.(3)(多选)设a，b，c是任意的非零空间向量，且它们互不共线，则下列结论正确的是()A．(a·b)c－(c·a)b＝0B．|a|－|b|<|a－b|C．(c·b)a－(c·a)b与c垂直D．(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2答案：BCD解析：对于A，由空间向量数量积的定义可知a·b和c·a是实数，而c与b不共线，故A错误；对于B，由于空间向量a，b不共线，故a，b，a－b构成三角形，故|a|－|b|<|a－b|，故B正确；对于C，因为[(c·b)a－(c·a)b]·c＝(c·b)(a·c)－(c·a)(b·c)＝0，所以(c·b)a－(c·a)b与c垂直，故C正确；由空间向量数量积的运算律可知D正确．故选BCD.1．对于空间向量a，b，c和实数λ，下列命题为真命题的是()A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－bD．若a·b>0，则〈a，b〉是锐角答案：B解析：对于A，当a⊥b时，a·b＝0，但向量a和b可能均不为零向量，A为假命题；B为真命题；对于C，当a2＝b2时，只能推得|a|＝|b|，而不能得到a＝b或a＝－b，C为假命题；对于D，当a·b>0时，〈a，b〉也可能为0，D为假命题．故选B.2．(多选)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各组向量的夹角为45°的是()A.eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(A1C1,\s\up6(→)) B.eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(C1A1,\s\up6(→))C.eq\o(BC,\s\up6(→))与eq\o(C1B,\s\up6(→)) D.eq\o(BC,\s\up6(→))与eq\o(AD1,\s\up6(→))答案：AD解析：把两个向量平移到同一个起点，易知eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(A1C1,\s\up6(→))的夹角为45°，eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(C1A1,\s\up6(→))的夹角为135°，eq\o(BC,\s\up6(→))与eq\o(C1B,\s\up6(→))的夹角为135°，eq\o(BC,\s\up6(→))与eq\o(AD1,\s\up6(→))的夹角为45°.故选AD.3．已知正四面体ABCD的棱长为2，则向量eq\o(AB,\s\up6(→))在向量eq\o(CA,\s\up6(→))上的投影为()A．－eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→)) B.eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))C．2eq\o(AC,\s\up6(→)) D．2eq\o(CA,\s\up6(→))答案：A解析：由题意，知△ABC为等边三角形，所以∠BAC＝60°，所以向量eq\o(AB,\s\up6(→))与向量eq\o(CA,\s\up6(→))的夹角为120°，所以向量eq\o(AB,\s\up6(→))在向量eq\o(CA,\s\up6(→))上的投影为－eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→)).4．(多选)如图，M，N分别是棱长为2的正四面体OABC的棱OA和BC的中点，点P在线段MN上，且MP＝2PN，则()A.eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→))B．|eq\o(OP,\s\up6(→))|＝eq\f(4,3)C.eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OA,\s\up6(→))＝2D．向量eq\o(OP,\s\up6(→))在eq\o(OA,\s\up6(→))上的投影的数量为eq\f(3,2)答案：AC解析：由题意，得eq\o(MP,\s\up6(→))＝2eq\o(PN,\s\up6(→))，即eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OM,\s\up6(→))＝2(eq\o(ON,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→)))，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(ON,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(OB,\s\up6(→))＋\f(1,2)\o(OC,\s\up6(→))))＝eq\f(1,6)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→))，故A正确；因为eq\o(OP,\s\up6(→))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)\o(OA,\s\up6(→))＋\f(1,3)\o(OB,\s\up6(→))＋\f(1,3)\o(OC,\s\up6(→))))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,36)eq\o(OA,\s\up6(→))2＋eq\f(1,9)eq\o(OB,\s\up6(→))2＋eq\f(1,9)eq\o(OC,\s\up6(→))2＋eq\f(1,9)eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,9)eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\f(2,9)eq\o(OB,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(17,9)，所以|eq\o(OP,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(17),3)，故B错误；eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)\o(OA,\s\up6(→))＋\f(1,3)\o(OB,\s\up6(→))＋\f(1,3)\o(OC,\s\up6(→))))·eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)eq\o(OA,\s\up6(→))2＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))·eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→))·eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)×4＋eq\f(1,3)×2＋eq\f(1,3)×2＝2，故C正确；向量eq\o(OP,\s\up6(→))在eq\o(OA,\s\up6(→))上的投影的数量为eq\f(\o(OP,\s\up6(→))·\o(OA,\s\up6(→)),\a\vs4\al(|\o(OA,\s\up6(→))|))＝eq\f(2,2)＝1，故D错误．故选AC.5．已知a，b，c是空间中两两垂直的单位向量，则|a－2b＋3c|＝________．答案：eq\r(14)解析：因为a，b，c是两两垂直的单位向量，所以|a|＝|b|＝|c|＝1，a·b＝a·c＝b·c＝0，所以|a－2b＋3c|＝eq\r(a2＋4b2＋9c2－4a·b＋6a·c－12b·c)＝eq\r(1＋4＋9)＝eq\r(14).课后课时精练基础题(占比60%)中档题(占比30%)拔高题(占比10%)题号1234567难度★★★★★★★考点空间向量数量积的性质空间向量数量积的计算空间向量的垂直；空间向量的夹角空间向量数量积的计算空间向量的模空间向量的模投影的数量题号891011121314难度★★★★★★★★★★★★★★★考点空间向量数量积的计算；空间向量的模空间向量数量积的计算空间向量数量积的计算空间向量数量积的计算；空间向量的夹角空间向量数量积的计算；空间向量的模空间向量的夹角；空间向量数量积的计算空间向量的垂直；空间向量的夹角一、选择题1．下列命题正确的是()A．|a|a＝a2 B．(a·b)2＝a2·b2C．a(a·b)＝b·a2 D．|a·b|≤|a||b|答案：D解析：根据空间向量数量积的性质可判断出D正确．2．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，则eq\o(AC1,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝()A．－9 B．－3C．3 D．9答案：C解析：eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝0，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AA1,\s\up6(→))＝0，eq\o(AA1,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝0，则eq\o(AC1,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→)))·(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝－eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\o(AD,\s\up6(→))2＝－1＋4＝3.故选C.3．已知a，b是空间向量，若|a|＝1，|b|＝eq\r(2)，且a－b与a垂直，则a与b的夹角为()A．60° B．30°C．135° D．45°答案：D解析：设a与b的夹角为θ.∵|a|＝1，|b|＝eq\r(2)，a－b与a垂直，∴(a－b)·a＝a2－b·a＝12－eq\r(2)×1×cosθ＝0，∴cosθ＝eq\f(\r(2),2).∵0°≤θ≤180°，∴θ＝45°.故选D.4．如图，三棱锥A－BCD的各棱长都是a，E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，则下列向量的数量积等于a2的是()A．2eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))B．2eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))C．2eq\o(FG,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))D．2eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))答案：B解析：由题意，知三棱锥A－BCD为正四面体，∵E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，∴EF⊥FG，且EF＝FG＝eq\f(1,2)a.对于A，2eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝2a2cos120°＝－a2；对于B，2eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝2a2cos60°＝a2；对于C，2eq\o(FG,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝2×eq\f(1,2)a2cos180°＝－a2；对于D，2eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝2×eq\f(1,2)a2cos120°＝－eq\f(1,2)a2.故选B.5．已知在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AA1,\s\up6(→))两两的夹角均为60°，且|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝1，|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝2，|eq\o(AA1,\s\up6(→))|＝3，则|eq\o(AC1,\s\up6(→))|＝()A．5 B．6C．4 D．8答案：A解析：如图，∵eq\o(AC1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))，∴eq\o(AC1,\s\up6(→))2＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→)))2＝eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\o(BC,\s\up6(→))2＋eq\o(CC1,\s\up6(→))2＋2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CC1,\s\up6(→))＋2eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(CC1,\s\up6(→))＝1＋4＋9＋2×1×2×cos60°＋2×1×3×cos60°＋2×2×3×cos60°＝25，∴|eq\o(AC1,\s\up6(→))|＝5.故选A.二、填空题6．已知空间向量a，b，c两两的夹角均为60°，其模均为1，则|a＋2b－3c|＝________．答案：eq\r(7)解析：单位向量a，b，c两两的夹角均为60°，则a·b＝b·c＝a·c＝1×1×cos60°＝eq\f(1,2)，所以|a＋2b－3c|＝eq\r(（a＋2b－3c）2)＝eq\r(a2＋4b2＋9c2＋4a·b－6a·c－12b·c)＝eq\r(1＋4＋9＋2－3－6)＝eq\r(7).7．如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，已知AB＝1，AD＝2，AA′＝3，则向量eq\o(AC′,\s\up6(→))在eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AA′,\s\up6(→))上的投影的数量分别为________．答案：1，2，3解析：非零向量a在非零向量b上的投影的数量为|a|cos〈a，b〉＝|a|·eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(a·b,|b|)，eq\o(AC′,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→))，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AA′,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AA′,\s\up6(→))＝0，因此，向量eq\o(AC′,\s\up6(→))在eq\o(AB,\s\up6(→))上的投影的数量为eq\f(\o(AC′,\s\up6(→))·\o(AB,\s\up6(→)),\a\vs4\al(|\o(AB,\s\up6(→))|))＝eq\f(（\o(AB,\s\up6(→))＋\o(AD,\s\up6(→))＋\o(AA′,\s\up6(→))）·\o(AB,\s\up6(→)),\a\vs4\al(|\o(AB,\s\up6(→))|))＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝1；向量eq\o(AC′,\s\up6(→))在eq\o(AD,\s\up6(→))上的投影的数量为eq\f(\o(AC′,\s\up6(→))·\o(AD,\s\up6(→)),\a\vs4\al(|\o(AD,\s\up6(→))|))＝eq\f(（\o(AB,\s\up6(→))＋\o(AD,\s\up6(→))＋\o(AA′,\s\up6(→))）·\o(AD,\s\up6(→)),\a\vs4\al(|\o(AD,\s\up6(→))|))＝|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝2；向量eq\o(AC′,\s\up6(→))在eq\o(AA′,\s\up6(→))上的投影的数量为eq\f(\o(AC′,\s\up6(→))·\o(AA′,\s\up6(→)),\a\vs4\al(|\o(AA′,\s\up6(→)))|)＝eq\f(（\o(AB,\s\up6(→))＋\o(AD,\s\up6(→))＋\o(AA′,\s\up6(→))）·\o(AA′,\s\up6(→)),\a\vs4\al(|\o(AA′,\s\up6(→))|))＝|eq\o(AA′,\s\up6(→))|＝3.8．已知正四面体O－ABC的棱长为1，则(eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))·(eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))＝________，|eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))|＝________．答案：0eq\r(2)解析：(eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))·(eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))＝eq\o(BA,\s\up6(→))·(eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))＝eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝1×1×cos60°＋1×1×cos120°＝0.因为|eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))|2＝(eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))2＝eq\o(OC,\s\up6(→))2＋eq\o(OB,\s\up6(→))2＋eq\o(OA,\s\up6(→))2＋2eq\o(OC,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))－2eq\o(OC,\s\up6(→))·eq\o(OA,\s\up6(→))－2eq\o(OB,\s\up6(→))·eq\o(OA,\s\up6(→))＝12＋12＋12＋2×12×cos60°－2×12×cos60°－2×12×cos60°＝2，所以|eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(2).三、解答题9．已知a，b是空间向量，且〈a，b〉＝120°，|a|＝3，|b|＝4.求：(1)a·b；(2)a2与b2；(3)(3a－2b)·(a＋2b)．解：(1)a·b＝3×4×cos120°＝－6.(2)a2＝|a|2＝9，b2＝|b|2＝16.(3)(3a－2b)·(a＋2b)＝3|a|2－4|b|2＋4a·b＝3×9－4×16＋4×(－6)＝－61.10．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝2，AD＝4.求：(1)eq\o(AB1,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))；(2)eq\o(AB1,\s\up6(→))·eq\o(CD1,\s\up6(→))；(3)eq\o(BD1,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→)).解：如图所示，|eq\o(AB1,\s\up6(→))|＝2eq\r(2)，|eq\o(BD1,\s\up6(→))|＝eq\r(22＋22＋42)＝2eq\r(6).(1)连接DC1.∵eq\o(AB1,\s\up6(→))＝eq\o(DC1,\s\up6(→))，∴〈eq\o(AB1,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉＝〈eq\o(DC1,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉＝180°－∠C1DC＝135°，eq\o(AB1,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝|eq\o(AB1,\s\up6(→))||eq\o(CD,\s\up6(→))|cos135°＝2eq\r(2)×2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)))＝－4.(2)∵四边形CDD1C1为正方形，∴DC1⊥CD1，∴CD1⊥AB1，∴eq\o(AB1,\s\up6(→))·eq\o(CD1,\s\up6(→))＝0.(3)解法一：∵eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))，∴〈eq\o(BD1,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))〉＝〈eq\o(BD1,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))〉＝∠D1BC.在Rt△D1BC中，cos∠D1BC＝eq\f(BC,BD1)＝eq\f(4,2\r(6))＝eq\f(\r(6),3)，∴eq\o(BD1,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝|eq\o(BD1,\s\up6(→))||eq\o(AD,\s\up6(→))|cos∠D1BC＝2eq\r(6)×4×eq\f(\r(6),3)＝16.解法二：∵eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))，∴eq\o(BD1,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BD1,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→)).又eq\o(BD1,\s\up6(→))在eq\o(BC,\s\up6(→))上的投影为eq\o(BC,\s\up6(→))，∴eq\o(BD1,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|2＝16，即eq\o(BD1,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝16.11．(多选)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列命题中的真命题是()A．(eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))2＝3eq\o(AB,\s\up6(→))2B.eq\o(A1C,\s\up6(→))·(eq\o(A1B1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→)))＝0C.eq\o(AD1,\s\up6(→))与eq\o(A1B,\s\up6(→))的夹角为60°D．正方体的体积为|eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AA1,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))|答案：AB解析：如图所示，(eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))2＝(eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1D1,\s\up6(→))＋eq\o(D1C1,\s\up6(→)))2＝eq\o(AC1,\s\up6(→))2＝3eq\o(AB,\s\up6(→))2，故A为真命题；eq\o(A1C,\s\up6(→))·(eq\o(A1B1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→)))＝eq\o(A1C,\s\up6(→))·eq\o(AB1,\s\up6(→))＝0，故B为真命题；eq\o(AD1,\s\up6(→))与eq\o(A1B,\s\up6(→))的夹角是eq\o(D1A,\s\up6(→))与eq\o(D1C,\s\up6(→))夹角的补角，而eq\o(D1C,\s\up6(→))与eq\o(D1A,\s\up6(→))的夹角为60°，故eq\o(AD1,\s\up6(→))与eq\o(A1B,\s\up6(→))的夹角为120°，故C为假命题；正方体的体积为|eq\o(AB,\s\up6(→))||eq\o(AA1,\s\up6(→))||eq\o(AD,\s\up6(→))|，故D为假命题．故选AB.12．已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是边长为6的菱形，AA1＝8，∠ADC＝eq\f(2π,3)，点P满足eq\o(AP,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋neq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))，其中m，n∈[0，1]．若m2＋n2＝1－mn，则AP＋PC1的最小值为________．答案：4＋6eq\r(3)解析：由题设，易得点P在平面A1B1C1D1内，且eq\o(A1P,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋neq\o(AD,\s\up6(→))，则eq\o(A1P,\s\up6(→))2＝m2eq\o(AB,\s\up6(→))2＋n2eq\o(AD,\s\up6(→))2＋2mneq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝36(m2＋n2＋mn)＝36，得|eq\o(A1P,\s\up6(→))|＝6.由直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的性质，得AA1⊥平面A1B1C1D1，