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2026年研究生入学考试数学一真题及详解一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求）1.当x→0时，ln(A.一阶无穷小B.二阶无穷小C.三阶无穷小D.四阶无穷小答案D解析由泰勒展开，ln(1+x2)=2.函数f(A.x=1为可去间断点，B.x=1为无穷间断点，C.x=D.x=答案A解析f(x)=(x−1)(x3.设f(x)=xA.极大值点B.极小值点C.拐点D.非极值点答案B解析$f'(1)=0$，$f''(1)=6>0$，故$x=1$是极小值点。4.下列反常积分中收敛的是（）A.1B.1C.1D.1答案B解析由1+∞dxx5.设z=exA.0B.1C.eD.−答案B解析zx=yexy，6.二次积分01A.0B.0C.0D.0答案A解析积分区域为0≤x≤7.级数n=A.pB.pC.pD.p答案C解析这是p级数，收敛当且仅当p>8.微分方程y″A.yB.yC.yD.y答案B解析特征方程为r2+1=09.设矩阵A=12A.3B.1C.2D.1答案A解析特征多项式为λ2−210.设X∼N(A.0B.1C.2D.1答案B解析E(二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分）11.01xex2答案1解析令u=x212.由方程xy+ey=1确定的隐函数y=答案0解析将x=0代入得y=0。对xy+e13.曲面z=x2+y2在点答案2解析令F=z−x2−y14.设3阶矩阵A的行列式|A|=2，则|2答案4解析|215.设随机变量X的分布律为P(X=k)=ck!答案e解析由规范性k=0∞16.设总体X∼N(μ,σ2)，X1,…答案t解析由正态总体抽样分布知，n(三、解答题（本题共6小题，共70分）17.（本题满分10分）设f(x)在[(0)=0$，$f(1)=1$。证明：存在$\xi\in(0,1)$，使得$f'(\xi)=2\xi$。答案存在ξ∈(0解析令F(x)=f(xF由罗尔定理，存在ξ∈(0f故f′18.（本题满分12分）求函数f(答案f(x,y)在(解析令f得y=x2，x=y又f在(1,1)处，A=A故(1f在(0,0)处，A=A故(019.（本题满分12分）计算二重积分D​x dσ，其中D答案9解析由x2=x+2−于是D计算得−20.（本题满分12分）求微分方程y″答案y=(C解析对应齐次方程的特征方程为r得r=y由于λ=y令u=Axy由u得A=16y因此原方程的通解为y21.（本题满分12分）设矩阵A求正交矩阵Q，使QT答案：可取Q则Q解析：A的特征多项式为|故特征值为λ1=5对于λ=5，解(A对于λ=−1，解(v将v1q令Q=(qQ22.（本题满分12分）设二维随机变量(Xf（1）求X与Y的边缘概率密度；（2）求E(X)，E（3）求Cov(X,Y)答案：（1）fX(x

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