2026年四川省北师大版初中数学八年级下册第7单元专项题库

2026年四川省北师大版初中数学八年级下册第7单元专项题库一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在北师大版初中数学八年级下册第7单元中，关于二次函数y=ax²+bx+c的图像性质，下列说法正确的是（）A.当a>0时，抛物线开口向上，对称轴左侧y随x增大而增大B.当b=0时，抛物线必过原点，且顶点为坐标原点C.若抛物线与x轴有两个交点，则判别式Δ=b²-4ac>0D.抛物线y=-2x²+4x-1的顶点坐标为（1，2）参考答案：C解析：选项A错误，对称轴左侧y随x增大而减小；选项B错误，b=0时若c≠0则不过原点；选项D错误，顶点坐标应为（1，1）；选项C正确，Δ>0是抛物线与x轴有两个交点的充要条件。本题考查二次函数图像性质及判别式应用，需结合教材P88-P90例题理解。2.已知二次函数y=mx²-6x+m-1的顶点在直线y=x上，则m的值为（）A.-1B.2C.-1或2D.1参考答案：C解析：顶点坐标为（3，3），代入y=mx²-6x+m-1得3=9m-18+m-1，解得m=2；再代入y=x得3=-9m+18+m-1，解得m=-1。需检验m值是否使函数成立，m=2时y=2x²-6x+1，顶点（3，1）不符合；m=-1时y=-x²-6x-2，顶点（-3，-7）不符合。正确解法为联立方程组：$$\begin{cases}x=-\frac{b}{2a}=3\\y=\frac{4ac-b^2}{4a}=3\end{cases}$$代入m值验证后得m=-1或2。3.抛物线y=-x²+4x-3在x轴上的两个交点关于y轴对称，下列结论错误的是（）A.对称轴为x=2B.函数的最小值为-1C.当x>2时，y随x增大而减小D.函数图像可由y=-x²平移得到参考答案：B解析：对称轴为x=-b/2a=2，A正确；顶点（2，1）为最大值，B错误；对称轴右侧函数单调递减，C正确；图像可向右平移2个单位得到，D正确。本题考查二次函数基本性质，需结合P92例2理解。4.若二次函数y=ax²+bx+c的图像经过点（1，0），（2，-3），且对称轴为x=-1，则b的值为（）A.-2B.-4C.2D.4参考答案：D解析：由对称轴x=-1得顶点（-1，k），代入（1，0）得a+b+c=0，代入（2，-3）得4a+2b+c=-3，联立方程组：$$\begin{cases}a+b+c=0\\4a+2b+c=-3\end{cases}$$解得a=1，b=4，c=-5。需检验对称性，代入（-1，k）得k=2，对称轴为x=-1，条件满足。5.抛物线y=2x²-4x+1的顶点在直线y=kx+3上，则k的取值范围是（）A.k>2B.k<2C.k=2D.k∈R参考答案：A解析：顶点（1，-1），代入y=kx+3得-1=k+3，解得k=-4，但需满足k>2，矛盾。重新分析：顶点（1，-1）不可能在y=kx+3上，故k>2时存在交点。需联立方程组：$$\begin{cases}y=2x^2-4x+1\\y=kx+3\end{cases}$$化为2x²-(4+k)x-2=0，判别式Δ=(4+k)²+16>0恒成立，但需满足x=1时y=-1，即kx+3=-1，解得k>2。6.已知二次函数y=ax²+bx+c的图像如图所示（顶点A（2，3），交点B（0，1）），则不等式ax²+bx+c>0的解集为（）（注：此处应有示意图，顶点A（2，3），B（0，1）在x轴左侧）A.x<0或x>2B.0<x<2C.x<0D.x>2参考答案：A解析：由B（0，1）得c=1，顶点A（2，3）得对称轴x=2，开口向上，故不等式解集为x<0或x>2。需检验：代入x=1得y=a+b+1<0，故a+b=-4，b=-4-a，代入顶点方程3=4a+2b+1，解得a=1，b=-5。7.抛物线y=-3x²+2x+m与y轴交点为（0，2），则该抛物线与x轴的另一个交点坐标为（）A.（-2，0）B.（2，0）C.（-1，0）D.（1，0）参考答案：C解析：由交点（0，2）得m=2，抛物线为y=-3x²+2x+2，令y=0得3x²-2x-2=0，解得x₁=-1/3，x₂=2，另一个交点为（-1，0）。需检验判别式Δ=4+24=28>0，方程有两个实根。8.若二次函数y=ax²+bx+c的图像经过点（-1，0），（1，0），且顶点在直线y=x+1上，则该函数的最小值为（）A.-1B.0C.1D.-2参考答案：D解析：由过（-1，0），（1，0）得对称轴x=0，顶点（0，c），代入y=x+1得c=1，函数为y=ax²+1，过（-1，0）得a=-1，故y=-x²+1，最小值为-2。需检验：顶点（0，1）在y=x+1上，条件满足。9.抛物线y=mx²-2x+m-1的顶点在第四象限，则m的取值范围是（）A.0<m<1B.m>1C.0<m<2D.m<0参考答案：A解析：顶点（1/2m，m²-3/4m），需满足x>0，y<0，即1/2m>0且m²-3/4m<0，解得0<m<1。需检验：若m=1/2，顶点（1/4，-1/8）在第四象限；若m=1，顶点（1/2，-1/4）在第四象限。10.已知二次函数y=ax²+bx+c的图像如图所示（顶点A（3，-2），交点B（1，0）），则不等式ax²+bx+c<0的解集为（）（注：此处应有示意图，顶点A（3，-2），B（1，0）在x轴左侧）A.1<x<3B.x<1或x>3C.x<1D.x>3参考答案：A解析：由B（1，0）得a+b+c=0，顶点A（3，-2）得9a+3b+c=-2，联立方程组：$$\begin{cases}a+b+c=0\\9a+3b+c=-2\end{cases}$$解得a=1，b=-4，c=3，不等式为x²-4x+3<0，解集为1<x<3。需检验：Δ=16-12=4>0，方程有两个实根。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.抛物线y=-2x²+4x-1的对称轴方程是_________。参考答案：x=1解析：对称轴x=-b/2a=-4/(-4)=1，需检验：顶点（1，1）代入原方程成立。2.若二次函数y=ax²+bx+c的图像经过点（-2，0），（1，0），且顶点在y轴上，则b/c的值为_________。参考答案：-1解析：对称轴x=-b/2a=0，b=0，c=-2a，b/c=-1。需检验：顶点（0，c）在y轴上，条件满足。3.抛物线y=3x²-6x+5的顶点坐标是_________。参考答案：（1，2）解析：顶点（-b/2a，4ac-b²/4a）=(1，2)，需检验：代入原方程成立。4.若二次函数y=x²-2x+m的顶点在直线y=2x-3上，则m的值为_________。参考答案：-1解析：顶点（1，-1），代入y=2x-3得-1=2-3，条件满足。5.抛物线y=-x²+4x-3在x轴上的两个交点坐标分别是_________和_________。参考答案：（1，0），（3，0）解析：令y=0得x²-4x+3=0，解得x=1或x=3。需检验：顶点（2，1）在对称轴上。6.若二次函数y=ax²+bx+c的图像经过点（0，1），（2，-3），且对称轴为x=-1，则该函数的最小值是_________。参考答案：-5解析：由对称轴x=-1得顶点（-1，k），代入（0，1）得a+b+c=1，代入（2，-3）得4a+2b+c=-3，联立方程组解得a=1，b=4，c=-5，顶点（-1，-5）。需检验：Δ=16+20=36>0，函数有最小值。7.抛物线y=2x²-4x+1的顶点在直线y=kx+3上，则k的取值范围是_________。参考答案：k>2解析：顶点（1，-1），代入y=kx+3得-1=k+3，解得k=-4，但需满足k>2，矛盾。重新分析：联立方程组y=2x²-4x+1，y=kx+3，化为2x²-(4+k)x-2=0，Δ=(4+k)²+16>0恒成立，但需满足x=1时y=-1，即kx+3=-1，解得k>2。8.抛物线y=-3x²+2x+m与y轴交点为（0，2），则该抛物线与x轴的另一个交点坐标是_________。参考答案：（-1，0）解析：由交点（0，2）得m=2，抛物线为y=-3x²+2x+2，令y=0得3x²-2x-2=0，解得x₁=-1/3，x₂=2，另一个交点为（-1，0）。需检验判别式Δ=4+24=28>0，方程有两个实根。9.若二次函数y=ax²+bx+c的图像经过点（-1，0），（1，0），且顶点在直线y=x+1上，则该函数的最小值为_________。参考答案：-2解析：由过（-1，0），（1，0）得对称轴x=0，顶点（0，c），代入y=x+1得c=1，函数为y=-x²+1，最小值为-2。需检验：顶点（0，1）在y=x+1上，条件满足。10.抛物线y=mx²-2x+m-1的顶点在第四象限，则m的取值范围是_________。参考答案：0<m<1解析：顶点（1/2m，m²-3/4m），需满足x>0，y<0，即1/2m>0且m²-3/4m<0，解得0<m<1。需检验：若m=1/2，顶点（1/4，-1/8）在第四象限；若m=1，顶点（1/2，-1/4）在第四象限。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若二次函数y=ax²+bx+c的图像经过点（1，0），（2，-3），且对称轴为x=-1，则该函数的解析式为y=x²+x-2。错误解析：由对称轴x=-1得顶点（-1，k），代入（1，0）得a+b+c=0，代入（2，-3）得4a+2b+c=-3，联立方程组解得a=1，b=4，c=-5，函数为y=x²+4x-5。2.抛物线y=-2x²+4x-1的顶点坐标为（2，-1）。错误解析：顶点坐标为（1，-1），需检验：代入原方程成立。3.若二次函数y=ax²+bx+c的图像经过点（-1，0），（1，0），则该函数的解析式必为y=x²-1。错误解析：解析式可为y=a(x+1)(x-1)，a≠0，如y=2x²-2。4.抛物线y=3x²-6x+5的顶点在y轴上。错误解析：对称轴x=-b/2a=1，顶点（1，2）不在y轴上。5.若二次函数y=x²-2x+m的顶点在直线y=2x-3上，则m=1。错误解析：顶点（1，-1），代入y=2x-3得-1=2-3，条件满足，但m=-1。6.抛物线y=-x²+4x-3在x轴上的两个交点关于y轴对称。错误解析：交点（1，0），（3，0）关于x=2对称，但关于y轴不对称。7.若二次函数y=ax²+bx+c的图像经过点（0，1），（2，-3），且对称轴为x=-1，则该函数的最小值为-5。正确解析：由对称轴x=-1得顶点（-1，-5），需检验：Δ=16+20=36>0，函数有最小值。8.抛物线y=2x²-4x+1的顶点在直线y=kx+3上，则k的取值范围是k<2。错误解析：顶点（1，-1），代入y=kx+3得-1=k+3，解得k=-4，但需满足k>2，矛盾。重新分析：联立方程组y=2x²-4x+1，y=kx+3，化为2x²-(4+k)x-2=0，Δ=(4+k)²+16>0恒成立，但需满足x=1时y=-1，即kx+3=-1，解得k>2。9.抛物线y=-3x²+2x+m与y轴交点为（0，2），则该抛物线与x轴的另一个交点坐标为（2，0）。错误解析：由交点（0，2）得m=2，抛物线为y=-3x²+2x+2，令y=0得3x²-2x-2=0，解得x₁=-1/3，x₂=2，另一个交点为（2，0）。需检验判别式Δ=4+24=28>0，方程有两个实根。10.抛物线y=mx²-2x+m-1的顶点在第四象限，则m的取值范围是m<0。错误解析：顶点（1/2m，m²-3/4m），需满足x>0，y<0，即1/2m>0且m²-3/4m<0，解得0<m<1。需检验：若m=1/2，顶点（1/4，-1/8）在第四象限；若m=1，顶点（1/2，-1/4）在第四象限。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知二次函数y=ax²+bx+c的图像经过点（1，0），（2，-3），且对称轴为x=-1，求该函数的解析式。解：由对称轴x=-1得顶点（-1，k），代入（1，0）得a+b+c=0，代入（2，-3）得4a+2b+c=-3，联立方程组：$$\begin{cases}a+b+c=0\\4a+2b+c=-3\end{cases}$$解得a=1，b=4，c=-5，函数为y=x²+4x-5。需检验：Δ=16+20=36>0，方程有两个实根。2.抛物线y=2x²-4x+1的顶点坐标是什么？该函数的最小值是多少？解：顶点坐标为（1，-1），需检验：代入原方程成立。该函数的最小值为-1。需检验：Δ=16-12=4>0，方程有两个实根。3.若二次函数y=ax²+bx+c的图像经过点（0，1），（2，-3），且顶点在直线y=x+1上，求该函数的解析式。解：由过（0，1）得c=1，顶点（1，2），代入y=ax²+bx+1得2=a+b+1，解得a+b=1，函数为y=-x²+x+1。需检验：顶点（1/2，3/4）在y=x+1上，条件满足。4.抛物线y=-3x²+2x+m与y轴交点为（0，2），求该抛物线与x轴的另一个交点坐标。解：由交点（0，2）得m=2，抛物线为y=-3x²+2x+2，令y=0得3x²-2x-2=0，解得x₁=-1/3，x₂=2，另一个交点为（2，0）。需检验判别式Δ=4+24=28>0，方程有两个实根。5.抛物线y=mx²-2x+m-1的顶点在第四象限，求m的取值范围。解：顶点（1/2m，m²-3/4m），需满足x>0，y<0，即1/2m>0且m²-3/4m<0，解得0<m<1。需检验：若m=1/2，顶点（1/4，-1/8）在第四象限；若m=1，顶点（1/2，-1/4）在第四象限。6.已知二次函数y=ax²+bx+c的图像经过点（-1，0），（1，0），且顶点在直线y=x+1上，求该函数的最小值。解：由过（-1，0），（1，0）得对称轴x=0，顶点（0，c），代入y=x+1得c=1，函数为y=-x²+1，最小值为-2。需检验：顶点（0，1）在y=x+1上，条件满足。7.抛物线y=2x²-4x+1的顶点在直线y=kx+3上，求k的取值范围。解：顶点（1，-1），代入y=kx+3得-1=k+3，解得k=-4，但需满足k>2，矛盾。重新分析：联立方程组y=2x²-4x+1，y=kx+3，化为2x²-(4+k)x-2=0，Δ=(4+k)²+16>0恒成立，但需满足x=1时y=-1，即kx+3=-1，解得k>2。8.抛物线y=-3x²+2x+m与y轴交点为（0，2），求该抛物线与x轴的另一个交点坐标。解：由交点（0，2）得m=2，抛物线为y=-3x²+2x+2，令y=0得3x²-2x-2=0，解得x₁=-1/3，x₂=2，另一个交点为（2，0）。需检验判别式Δ=4+24=28>0，方程有两个实根。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某商场销售某种商品，日销售量y（件）与价格x（元）满足关系式y=-2x²+40x-120，求该商品的价格定为多少元时，日销售量最大？最大销售量是多少件？解：函数为y=-2x²+40x-120，顶点x=-b/2a=-40/(-4)=10，代入y得最大销售量=-2×10²+40×10-120=80件。需检验：Δ=1600-480=1120>0，方程有两个实根。2.已知二次函数y=ax²+bx+c的图像经过点（-1，0），（1，0），且顶点在直线y=x+1上，求该函数的解析式。解：由过（-1，0），（1，0）得对称轴x=0，顶点（0，c），代入y=x+1得c=1，函数为y=-x²+1。需检验：顶点（0，1）在y=x+1上，条件满足。3.抛物线y=2x²-4x+1的顶点在直线y=kx+3上，求k的取值范围。解：顶点（1，-1），代入y=kx+3得-1=k+3，解得k=-4，但需满足k>2，矛盾。重新分析：联立方程组y=2x²-4x+1，y=kx+3，化为2x²-(4+k)x-2=0，Δ=(4+k)²+16>0恒成立，但需满足x=1时y=-1，即kx+3=-1，解得k>2。4.抛物线y=-3x²+2x+m与y轴交点为（0，2），求该抛物线与x轴的另一个交点坐标。解：由交点（0，2）得m=2，抛物线为y=-3x²+2x+2，令y=0得3x²-2x-2=0，解得x₁=-1/3，x₂=2，另一个交点为（2，0）。需检验判别式Δ=4+24=28>0，方程有两个实根。5.某工厂生产某种产品，总成本C（元）与产量x（件）的关系式为C=0.5x²-10x+500，求该工厂生产多少件产品时，总成本最低？最低成本是多少元？解：函数为C=0.5x²-10x+500，顶点x=-b/2a=-(-10)/(2×0.5)=10，代入C得最低成本=0.5×10²-10×10+500=400元。需检验：Δ=100-1000=900>0，方程有两个实根。6.已知二次函数y=ax²+bx+c的图像经过点（-1，0），（1，0），且顶点在直线y=x+1上，求该函数的最小值。解：由过（-1，0），（1，0）得对称轴x=0，顶点（0，c），代入y=x+1得c=1，函数为y=-x²+1，最小值为-2。需检验：顶点（0，1）在y=x+1上，条件满足。7.抛物线y=2x²-4x+1的顶点在直线y=kx+3上，求k的取值范围。解：顶点（1，-1），代入y=kx+3得-1=k+3，解得k=-4，但需满足k>2，矛盾。重新分析：联立方程组y=2x²-4x+1，y=kx+3，化为2x²-(4+k)x-2=0，Δ=(4+k)²+16>0恒成立，但需满足x=1时y=-1，即kx+3=-1，解得k>2。【标准答案及解析】一、单项选择题1.C2.C3.B4.D5.A6.A7.C8.D9.A10.A解析：1.对称轴左侧y随x增大而减小；2.b=0时若c≠0则不过原点；3.Δ=b²-4ac>0是抛物线与x轴有两个交点的充要条件；4.顶点坐标应为（1，1）；5.顶点（1，-1），代入y=kx+3得-1=k+3，解得k=-4，但需满足k>2，矛盾。重新分析：联立方程组y=2x²-4x+1，y=kx+3，化为2x²-(4+k)x-2=0，Δ=(4+k)²+16>0恒成立，但需满足x=1时y=-1，即kx+3=-1，解得k>2。二、填空题1.x=112.-113.（1，2）14.-115.（1，0），（3，0）2.-517.k>218.（-1，0）19.-220.0<m<1解析：11.对称轴x=-b/2a=-4/(-4)=1；12.b=0，c=-2a，b/c=-1；13.顶点（-b/2a，4ac-b²/4a）=(1，2)；14.顶点（1，-1），代入y=2x-3得-1=2-3；15.令y=0得x²-4x+3=0，解得x=1或x=3；16.由对称轴x=-1得顶点（-1，k），代入（0，1）得a+b+c=1，代入（2，-3）得4a+2b+c=-3，联立方程组解得a=1，b=4，c=-5，顶点（-1，-5），需检验：Δ=16+20=36>0，函数有最小值；17.顶点（1，-1），代入y=kx+3得-1=k+3，解得k=-4，但需满足k>2，矛盾。重新分析：联立方程组y=2x²-4x+1，y=kx+3，化为2x²-(4+k)x-2=0，Δ=(4+k)²+16>0恒成立，但需满足x=1时y=-1，即kx+3=-1，解得k>2；18.由交点（0，2）得m=2，抛物线为y=-3x²+2x+2，令y=0得3x²-2x-2=0，解得x₁=-1/3，x₂=2，另一个交点为（2，0）；19.由过（-1，0），（1，0）得对称轴x=0，顶点（0，c），代入y=x+1得c=1，函数为y=-x²+1，最小值为-2；20.顶点（1/2m，m²-3/4m），需满足x>0，y<0，即1/2m>0且m²-3/4m<0，解得0<m<1。需检验：若m=1/2，顶点（1/4，-1/8）在第四象限；若m=1，顶点（1/2，-1/4）在第四象限。三、判断题1.×22.×23.×24.×25.×26.×27.√28.×29.×30.×解析：21.由对称轴x=-1得顶点（-1，k），代入（1，0）得a+b+c=0，代入（2，-3）得4a+2b+c=-3，联立方程组解得a=1，b=4，c=-5，函数为y=x²+4x-5；22.顶点坐标为（1，-1）；23.解析式可为y=a(x+1)(x-1)，a≠0，如y=2x²-2；24.对称轴x=-b/2a=1，顶点（1，2）不在y轴上；25.顶点（1，-1），代入y=2x-3得-1=2-3，条件满足，但m=-1；26.交点（1，0），（3，0）关于x=2对称，但关于y轴不对称；27.由对称轴x=-1得顶点（-1，-5），需检验：Δ=16+20=36>0，函数有最小值；28.顶点（1，-1），代入y=kx+3得-1=k+3，解得k=-4，但需满足k>2，矛盾。重新分析：联立方程组y=2x²-4x+1，y=kx+3，化为2x²-(4+k)x-2=0，Δ=(4+k)²+16>0恒成立，但需满足x=1时y=-1，即kx+3=-1，解得k>2；29.由交点（0，2）得m=2，抛物线为y=-3x²+2x+2，令y=0得3x²-2x-2=0，解得x₁=-1/3，x₂=2，另一个交点为（2，0）；30.顶点（1/2m，m²-3/4m），需满足x>0，y<0，即1/2m>0且m²-3/4m<0，解得0<m<1。需检验：若m=1/2，顶点（1/4，-1/8）在第四象限；若m=1，顶点（1/2，-1/4）在第四象限。四、简答题1.解：由对称轴x=-1得顶点（-1，k），代入（1，0）得a+b+c=0，代入（2，-3）得4a+2b+c=-3，联立方程组：$$\begin{cases}a+b+c=0\\4a+2b+c=-3\end{cases}$$解得a=1，b=4，c=-5，函数为y=x²+4x-5。需检验：Δ=16+20=36>0，方程有两个实根。2.解：顶点坐标为（1，-1），需检验：代入原方程成立。该函数的最小值为-1。需检验：Δ=16-12=4>0，方程有两个实根。3.解：由过（0，1）得c=1，顶点（1，2），代入y=ax²+bx+1得2=a+b+1，解得a+b=1，函数为y=-x²+x+1。需检验：顶点（1/2，3/4）在y=x+1上，条件满足。4.解：由交点（0，2）得m=2，抛物线为y=-3x²+2x+2，令y=0得3x²-2x-2=0，解得x₁=-1/3，x₂=2，另一个交点为（2，0）。需检验判别式Δ=4+24=28>0，方程有两个实根。5.解：顶点（1/2m，m²-3/4m），需满足x>0，y<0，即1/2m>0且m²-3/4m<0，解得0<m<1。需检验：若m=1/2，顶点（1/4，-1/8）在第四象限；若m=1，顶点（1