高考数学高三年级上册考试卷《函数与导数》含解析

高考数学高三上学期考试卷《函数与导数》

1.航天之父、俄罗斯科学家齐奥科夫斯基（K.E.Tsiolkovsky）于1903年给出火箭最大速度的计算公式i，=

Voln（l+^）.其中，及是燃料相对于火箭的喷射速度，V是燃料的质量，是火箭（除去燃料）的质量，।，是

火箭将燃料喷射完之后达到的速度.已知Vo=2km/s,则当火箭的最大速度P可达到10km/s时，火箭的总

质量（含燃料）至少是火箭（除去燃料）的质量的（）倍

A.e5B.e5—1C.c6D.c6—1

【答案】A

【考点】新情景问题下的指对数运算

【解析】由题意可知，21n（1+#）=10,则1+与=哼生=9,即火箭的总质量（含燃料）至少是火箭（除去

，劭〃如〃M

燃料）的质量的e"故答案选A.

2.在△ABC中，“AVB”是“A-BVcosB-cosA”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【考点】条件的判断、函数的单调性应用

【解析】由题意可知，由A-BVcosB-coS可构造函数儿r）=x+cosx,则八x）=1—sinxeO,即函数人力在

定义域上单调递增，而在△/18C中，由人V8可得到A+cosA<8+cosB,即A-BVCOSB—COSA,反之亦可

推出，则“AV3”是“A-BVcosB-cos/T的充要条件，故答案选C.

3.已知函数/（幻是定义在R上的偶函数，且在（一8,0］上是减函数，/2）=0,则不等式风（一1次¥）<0的解

集是

A.（一2,2）B.（一8,-2）U（1,2）

C.（一8,-l）U（0,3）D.（-2,-l）U（2,3）

【答案】D

【考点】利用函数的性质求解不等式

【解析】由题意可知，<幻在[0,+8]上是增函数，且1-2)=0,所以当XV—2或x>2时，<x)>0,当一2

VxV2时，/>)V0,则①/Cr-l)>o且HRVO时，即％—1>2或X-1V—2,-2<x<2,解得一2<rVT：

②Z(A一|)VO且/(x)>0时，即一2〈％—1V2,XV—2或>2,解得24V3；综上不等式的解集为(一2,一

1)52,3),故答案选D.

4.已知函数大丫)="(〃>1),若巧工0，则

A.J(X\)J(X2)=J(Xl+X2)B.J(Xi)+J(X2)=J(XlX2)

Xi+必g(xJ+g(M)

C.X|g(Xl)+x*(X2)>X|g(X2)+x2g(Xl)D.g(-2-)W'

【答案】AC

【考点】函数的雅调性应用

121+x2

【解析】由题意可知,对于选项A,Jlx\)J(X2)=aa=a=J(x\+x2)»故选项A正确:对于选项B,加i)

+/U2)=a"+c产，危凶)=/"2羊贯.心)一段2),故选项B错误；对于选项C,因为函数贯x)=〃(a>l)为单调递

增函数，所以g(x)=y(x)—/(一X)亦为单调递增函数，所以(X|-X2)(g(X|)-g(X2))>0，展开得Xlg(Xl)-X|g(x：)一

X2g(.X[)4-X2g(X2)>0,即X|g(X|)+x*(X2)>X|g(X2)+x*(X|),故选项C正确：对于选项D,可取值的=-2,及

=0,代入验证可知错误，故选项D错误；综上，答案选AC.

.2n15k/

I2sin-r,一了

5.己知函数,”)=<5若存在实数Xl，；2，X3，X4(X|<X2VX3Vx4)满足

[|log2(x-l)|,Qj,

犬两)=尺均)=/(均)=儿。)=小，贝1J

_22

A.OW，〃W1B.X|+X2=2C.X3X4=oD.X3+.V4>8

【答案】BCD

【考点】分段函数的性质应用

【解析】结合函数段)的图像，可知0V/〃V2,故选项A错误：当一*时，风r)=2si号的对称轴为

X=-^,所以Xl+X2=—5，故选项B正确：当>封，危）=|log2（X—1）1，所以於3）=|l0g2（X3—l）l=/k）=

|10g2（X4—1）|，所以log2（X3—l）+10g2（X4-1）=log2（X3-1）（X»—1）=0,所以（.盯一1）（X4-1）=1»所以人必一用一

X4=0.故选项C正确；因为由X4—不一,口=0,所以13+启=.封口或（士^*汽所以4+g24,":"

24,所以抬2+.口228,等号不成立，所以选项D正确：综上，答案选BCD.

6.若a,b,c满足2"=3,b=log25,c=log32,则（）

A.c<a<bB.b<c<aC.a<b<cD.c<b<a

【答案】A

【考点】比较大小

【解析】由题意可知,因为2。=3,所以b=log23>iog22=l,而b=log25>log23,c=log32<log33=1,所

以c<aV0,故答案选A.

7.2021年5月，中国西部地区地震频繁，据中国地宸台网正式测定，5月21日21时48分，云南大理州

漾源县发生里氏6.4级地震：5月22H2时4分，青海省玛多县发生里氏7.4级地震.科学家通过研究，发

现地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级”之间的关系为lg£=4.8+1.5M.设漾港县地震所释

放的能量为E,玛多县地虐所释放的能量为2,则百阳等于（）

A.10B.15C.30D.32

【答案】D

【考点】新情景问题下的指对数的运竟

E,E、

【解析】由题意可知，lgf2=4.8+1.5X7.4,lgE]=4.8+1.5X6.4,所以lg&-怆臼=1曜=1.5,所以狗=103

^32,故答案选D.

8.已知函数儿0是定义在R上的偶函数，当工20时，川外=%2—4心则不等式Kr+2)V5的解集为()

A.(-3,7)B.(-4,5)C.(-7,3)D.(-2,6)

【答案】C

【考点】利用函数的性质解不等式

【解析】由题意可知，因为函数凡r)为偶函数，所以犬k+2|)=4丫+2),则不等式_/U+2)V5可化为犬&+2|)

<5,即仅+2F—4k+2|V5,可化为(仅+2|+1)也+2]—5)<0,解得年+2|<5,解得一7<rV3,故答案选C.

9.函数人x)的图象如图所示，则下列故值排序正确的是()

A.0</(2)</(3)</(3)-^2)B.0</(3)</(3)-y(2)</(2i

C.0</(3)</(2)<y(3)-A2)D.0Vl/(3)一<2)〈八2)〈八3]

【答案】B

【考点】导数的几何意义、函数的切线斜率

【解析】由题意可知，由图象可知函数在(0,+8)上单调递增，故八力>0,结合图形由导数的几何意义,

即切线的斜率可知，/(3)中3)-/(2)</(2),故答案选B.

10.(2022•江苏淮安市六校第一次联考)

己知函数｛若存在实机，〃使得“I)的定义域和值域都为[/〃，川，则实数。的取值范围为()

A.(1,c]B.(1,a2)B.(1,ec)D.(e：,e)

【答案】C

【考点】函数的定义域与值域、构造新函数、数形结合等

【解析】由题意可知，""=/〃，/=〃，则函数炉=小>0)有两个不等的根，即xlna=lnx,化为1皿=今％

>0用两个不等的根，即川I线g(x)=半与直线)=3有两个交点，因为gU)=R"，所以当x£(0,e)时，

gU)>0,即函数g(x)单调递增；当x£(e,+◎时，gr(x)<0,即函数g(x)单调递减，所以当x=e时，鼠助皿

=g(e)=：，且易知当x趋向于。时，虱x)趋向于一8，当尤趋向于+8时，g(x)趋向于0,所以曲线双工)=?

C人

1I

与直线y=ln〃有两个交点，可得OVlnaV1解得IVaVe；,故答案选C.

II.(多选题)已知。>0,b>0,且。工1,若lo©>l,则下列不等式可能正确的是()

A.(h-\)(b-a)>0B.(«-l)(a-Z?)>0

C.3—1)仍一1)<0D.(a-\)(b-a)>0

【答案】AD

【考点】函数的单调性应用

【解析】由撅意,因为logJAl,Hlog^=1,所以①当时，则/>>〃.BUb>a>\,所以(〃一1)(〃一〃)

>0,(a-\)(h-a)>0,故选项A、D正确：②当OVaVl时，则0〈人VaVl,所以3—1)3—万)〈0,俗一

1)(/?-1)>0,故选项B、C错误；综上，答案选AD.

12.(多选题)已知贝x)是定义在R上的偶函数，且4r+3)=7U—I),若当*£[0,2]时，儿。=2'—1,则

下列结论正确的是()

A.当[—2,0]时，危)=2一)-1B.7(2019)=1

C.)=段)的图像关于点(2,0)对称D.函数g(x)=/a)TogK有3个零点

【答案】ABD

【考点】函数的性质综合应用

【解析】由题意，已知凡r)是定义在R上的偶函数，且.祇+3)=41—1)・即该函数周期为4,又因为x£[D，

2]时,"v)=2'—I,当46一2,0]时，-xe[0,2],都)=4一幻=2一”一1,所以选项A正确：12019)=贝4

X505-l)=y(-l)=yil)=l,所以选项B正确；)，=人》的图象关于点Q,0)对称，则犬3)+70)=0,但是大3)

=<-1)=<1)=1，13)+«1)K0与次3)+/(1)=。矛盾，所以选项C错误；可作出函数y=J(x)，y=log/的图

象即可得到，函数火(1)=/5)—1。取1有3个零点，所以选项D正确：综上，答案选ABD・

V

13.(多选题)函数Ax)=V—的图像可能是()

x十a

【答案】ABC

【考点】函数图像的识别与判断

【解析】由题意，①若〃>0,不妨取a=l,则凡0=97，则函数定义域为R，FL为奇函数，当x=0时,

x十I

W0)=0,当xWO时，函数可化为«>¥)=—!-[■，则<x)在(一8,—1),(1,+oo)上单调递减，在(一1,0),(0,

十一

xX

1)上单调递增，故选项B可能;

②若aVO,不妨取。=-1,则/(此==、，定义域为｛.很片±1｝,且为奇函数，当x=O时，40)=0,当x

WO时，■r)=一则逐外在(-8,-1),(-1,0),(0,I),(I,+刈上单调递减，故选项A可能：故不

可能是选项D；综上，答案选ABC.

14.(多选题)已知函数4x£R(e为自然对数)，则下列判断正确的是()

A.当。=1时，函数声力在(-8,0)上单调递增

B.当。=0时，7U)—lnx23在(0,+8)上恒成立

C.对任意的“V0,函数次x)在(一8,0)上一定存在零点

D.存在〃>0,函数_/U)有唯一极小值

【答案】CD

【考点】含参函数的综合应用：单调性、恒成立、零点、极值等

【解析】由题意，对于选项A,当。=1时,/(,V)=e'—x,J\x)=cv—1,当％V0时,/(x)V0,故道x)在区间(一

co,0)上单调递减，故选项A错误：对于选项B,当。=0时，火》)=—此时|x)—liu=eX—lnx,因为火1)

-lnl=e'-0<3,故选项B错误：对于选项C,当a<0时，风r)=et一心，八.0=^—〃>0,故贝戈)在R上为

增函数，又40)=1,4$=«—1<0,«x)在区间(-8,0)上一定存在零点，故选项C正确：对于选项D,取

〃=2,则./U)=e'-2x,/(x)=e'-2,当x〈ln2时，八x)V0,当x>ln2时，八幻>0,故｛r)有唯一的极小值

点x=ln2,故选项D正确：综上，答案选CD.

15.(2022•江苏淮安市六校第一次联考)

已知函数所版愣"°，则六2022)=—.

【答案】-2

【考点】分段函数求函数值

【解析】由题意可知,,A-2022)=/(-2019)=-=/-2022)=y(0)=logK0+l)-2=-2.

16.已知函数段)满足：於+)，)=混次y)，且当Ay时，府)刁⑺，请你写出符合上述条件的一个函数人外

【答案】Kr)=2Y答案不唯一)

【考点】开放性试题：函数的性质应用

【解析】由题意,因为H)=«喇,所以考虑指数函数凡丫)="，当时，兀0刁。),所以。＞1,则

可写出一个符合的条件为：/A)=2\

17.已知函数.儿1)=41一炉+3,g(x)=4'—2,若对于任意xi，也£(0，I］，都有於i)2g(X2)成立，则a的取

值范围为.

【答案】［0,+oo)

【考点】函数的恒成立问题

【解析】由题意，段)=依一必+3,g(X)=4'—2,且对于任意为，X2江(0，1］，都有_/Ul)，g(X2)成立，则."l)min

2g(㈤皿，因为g(x)=4'-2在(0,1］上单调递增，所以ga)gx=g(l)=2,所以©—/+322对于任意任意

x£(0,I］恒成立，即对于任意x£(0,1］恒成立，又/心)=3一：在区间(0,1］上单调递增，所以/心加x

=力(1)=0，所以。20，则a的取值范围为［0,4-0C).

18.已知函数儿:①若a=l,则不等式的解集为；②若存在实数从使函数式X)

=凡*)一。有两个零点，则实数a的取，直范围为.

【答案】(-8,0］；(—co,2)U(4,4co)

【考点】双空题：分段函数解不等式、零点问题

【解析】由题意，①当〃=1时，凡若xWl,即2W1,解得xWO：若x＞l,即FWI,解得

—1W%W【，故/(x)Wl的解集为(-8,0］；②ga)=/(x)—8的零点问题可转化为y=4r)和图象的交点

可题，即2、=(时，x=2或x=4,当a=2时，:此时g(x)=/&)—b只有一个零点；当aV2

时，g(x)有2个零点：当a=4时，.儿0=、2,］＞4'此时8。)=贝”)—/，只有一个零点：当。＞4时，有2个

零点；当2VaV4时，g(x)最多只有1个零点，故可得〃的取值范围是(一8,2)U(4,+s).

7

19.函数危）=（击T）s班的图象大致为（)

【答案】B

【考点】函数的图形识别与判断

21—e

【解析】由题意可知,Av）=CT+7l)sifiv=----7-sin.v,则人一.0=J(x),且/(2)<T0,则排除选项A、C、D,

1+e

故答案选B.

20.已知寅x）=/2—}”4°,若则实数。的取值范围为（

)

0-1,x>0

c.(-8,％D.[1,1]

A.(—co,0]B.(—oo,1]

【答案】C

【考点】分段函数的不等式应用

【解析】由题意可知，函数«'•）的图像如图所示，分别求出函数人1）在原点处的切线方程，如图所示，若使

得汽工）2。因恒成立，当“W0时，显然成立，因为:VI,故当a>0时，不等式恒成立，则只需aW：即可，

CV

故答案选C.

y

21（多选题）若〃也（其中〃?为整数），则/〃叫做离实数x最近的整数，记作{x}=，〃.设函数."）

=k-U||,下列结论正确的是（）

A.|1}=iB.y（一也）=啦一।c.D.函数），=©是偶函数

【答案】BCD

【考点】函数的性侦综合应用

【解析】由题意可知，对于选项A,因为ocgvowo+g,所以8}=0,故选项A错误：对于选项日人一应）

=2-{何=1-也+11=由一1，故选项B正确；对于选项C,/）的值域为［0,所以於舄，故选项

C正确；对于选项D,因为人一x）=|（—x）—{（—＜）}|=|-x—{.r}|=|x-{x}|=/（x）,所以函数y=/U）是偶函数,

故选项D正确；综上，答案选BCD.

22.（多选题）已知函数/U）=8,g（x）=lru•，下列结论正确的是（）

A.函数y=y（x）—g（x）在（0,%上单调递减

B.函数y=7"）—g（x）的最小值为2

C.若P,。分别是曲线尸危）和尸g（x）上的动点，贝”PQI的最小值为也

D.若—次）＞（,”一1比对x£（0,+s）恒成立，则0＜〃7±0

【答案】ACD

【考点】函数与导数综合应用：函数的单调性、最值、恒成立问题等

【解析】由题意可知，令力(x)=/(x)—g(x)=F—Inx,则力G)=e'—/?”(.1)=8+9>0在(0,+8)上恒成立，

]-]]

则人5)在(0,+功上单调递增，而M1)=ee-eV0,故人。)<0在(0,一)上恒成立，即力(外在(0,一)上单调递

eee

减，故选项A正确；因为〃(l)=e-1>0,故存在沏£(；,1),使得/«xo)=e'°—；=O,所以e'°=J,解得

liuo=_Xo>所以当x£(0，xo)时，A*(x)<0,即函数〃(x)单调递减:当xE(xo，+口)时，/f(.v)>0,即函数卜(x)

单调递增，所以/?(x)min=Mxo)=e'°—liuo=xo+；，因为Xo£([，1)，所以Xo+；>2,故选项B错误；对于

选项C曲线段)与直线y=x+l相切于点A(0,1),函数g(x)与直线y=x-l相切于点8(1,0),则|尸。的

最小值为|/18|=6,故选项C正确：对于选项D,若人工)一双"d)2(/“-1.对.1£(0,+oc)恒成立，则e'-ln〃a

N(〃LI)X对x£(0,+8)恒成立，即x+e^Nwu+ln/xnei'W'+liwLV,可设四(x)=x+e)易可知F(x)在(0,

十⑹上单调递增，则F(x)eF(ln〃M可化为即加〃WxTnx,可设〃(%)=工一山，易可知〃(幻在(D,

1)上单调递减，在(1,+◎上单调递增，所以当x=l时，〃(x)min=〃(l)=l，则卬〃忘1,解得〃?We,又因

为加>0,所以0V〃?Ve,故选项D正确：综上，答案选ACD.

23.已知y(x)=sirLv4-cosA-,若y=/(x+〃)是偶函数，则cosO=.

【答案】土当

【考点】函数的奇偶性应用

【解析】由题意可知，，"尸察in(x+：),则於+。)=察in(x+8+；),因其为偶函数，所以夕+；J+E,

kGZ,所以。=j+E,&EZ,所以cosO=cos(，+E)=土乎.

24.已知函数/*)=V+〃优，若/©)2/5—1)对尤£R恒成立，则实数用的取值范围为.

【答案】[-1,+8)

【考点】不等式的恒成立问题

【解析】由题意可知，令/心)=e，一(K—l),易可知1x)22恒成立,且八0=3炉+机，则当小妾0时，/(X)

20,即凡r)在R上单调递增，则1A廿)花儿丫-1)对工£1<恒成立，满足题意：当〃?<0时，因为函数凡I)为奇

函数，所以可得2\j—，nW2,解得〃—1,则一1W〃】<O,综上，实数/〃的取值范围为[-1,+co).

25.函数/(x)=(x-7cosx在其定义域上的图像大致是()

【答案】C

【考点】函数图象的识别与判断

26.已知3'=2'=/,-+-=2,则/=()

xy

A.2^6B.V6C.36D.6

【答案】B

【考点】指对数化简与计算

27.定义在R上的函数人外满足42—x)=/U),且当时＜幻若对任意的/

+1].不等式＜2—刈《心+1+/)恒成立，则实数，的最大值为()

A.—1B.—TC.—TD.T

JJJ

【答案】C

【考点】函数的恒成立问题

28.多选题)已知。＞0,〃©)={2—e"',凡t)=am(x)—sinnx,若«¥)存在唯一零点，下列说法正确的有()

A.m(x)在R上单调递增

B.加。)图像关于点(2,0)对称

C.任取不相等的实数ARM^R，均有幽空辿〈加(3要)

D.a衿

【答案】ABD

【考点】函数的综合应用

4)()l

29.设a=log43,b=log54,c=2,则a,〃,c的大小关系为()

A.b<a<cB.a<b<cC.a<c<bD.b<c<a

【答案】B

【解析】

【分析】根据指数和对数运算的转换可确定kg3<0.8<1。&4；设f(x)=2'-x-l(x<0),利用导数

可确定当x<0时，2v>r+1,由此得到2/3>0.99>log,4,进而得到结果.

【详解】•.•4")=1048576，5'=390625，59=1953125.4s=65536.3,0=59049，

92

•,-410<59，即4<5而，「•logs4<logs5而=0.9：

844

41>5»即4>5布=5。log$4>log55G=0.8：

4*>3,即3<4卷=.，/.log,3<log44t=0.8；「•kg4>log,3，即"从

设=2、-x—I(xv0),则/'(工)=2vln2-l,

当x<0时，2re(0,l),Xin2e(0,1),/.2Vln2e(0,l),.•./，(x)<0-

・・.〃x)在(3,0)上单调递减，.■J(x)>/(0)=0,即当x<0时，2、>x+l，

...2-oo>>-0.01+1=0.99>0.9,•.・logs4<2旬a,即〃<c.

综上所述：a<b<c.

故选：B.

【点睛】木题考查指数与对数比较大小的问题，在此类问题中，此题属于较难题：解题关键是能够熟练应

用指数和对数运算的转换、导数求解函数单调性的方法确定临界值，进而通过临界值确定大小关系.

30.复兴号动车组列车，是中国标准动车组的中文命名，由中国铁路总公司牵头组织研制、具有完全自主

知识产权、达到世界先进水平的动车组列车.2019年12月30日，以4008b-0智能复兴号动车组在京张

高铁实现时速350km自动驾驶，不仅速度比普通列车快，而且车内噪声更小.我们用声强/（单位：W/nf表

示声音在传播途径中每平方米上的声能流密度，声强级L（单位：dB与声强/的函数关系式为

£=1°怆（"/）,已知/=10'W/m?时，乙=10"8.若要将某列车的声强级降低30dB,则该列车的声强反变

为原声强的（）

A.10一倍B.KT4倍C.10—3倍D.]。-2倍

【答案】C

【解析】

【分析】由题设可得。=10一3,代入函数式，由指对数的关系有/=]0弁3,进而求声强级降低30dB的声

强应用指数累的运第:性质求声强的比值.

3

【详解】由题设，10电（10%）=10,解得4=10-3,piijL=ioig（i（r/）=|O（|g/-3）,

L八L-30、L

•••/=]0s+3,要使声强级降低30dB，则/，=]0而+3=]06，

故选：C

31.（多选题）己知函数/@）=x+2tanx,其导函数为了（幻，设g（x）=/（x）cosx,则（）

A.73)的图象关于原点对称B./(%)在R上单调递增

D.g。)在(0或

C.2万是g(X)的一个周期

【答案】AC

【解析】

【分析】对A：求出/(x)定义域，再利用奇偶性的定义判断即可;

对B：利用的导数可判断;

对C：计算g(x+2乃),看是否等于g(x)即可;

对D：设，=cosx,根据对勾函数的单调性可得最值.

【详解】/(x)=x+21anx的定义域是｛d4工]+&乃,其定义域关于坐标原点对称，且

f(t)=-x+2tan(-x)=-x—2tanx=-(x+2tanx)=-f(x),

所以/(x)是奇函数，所以/(*)的图象关于原点对称，故A项正确；

,2，2

由/(x)=x+2tanx,得/*)=1+———,则g(x)=/(x)cosx=cosx+----

cos~xcosx

/''(幻=1+——>0恒成立，所以f(x)在j-g+Z肛g+版■](&WZ)上单调递增，并不是在R上单调

cos~x\22)

递增，故B项错误；由g(x)=cosx-——,得函数g(x)的定义域是”工彳+攵巴攵wZ，

cosx2

22(3

g(x+2乃)=cos(x+2;r)+--———=cosx+----=g(x),故c项正确；设r=cosx,当xe0,-

cos(x+24)cosx12)

2

时，fe(04)，此时/()=g(x)=f+7，，e(0，D,根据对勾函数的单调性，力(，)在(0/)上单调递减，

：.g(x)>h[\]=3,故D项错误.

故选：AC.

32.写出一个最大值为3,最小正周期为2的偶函数/("=.

【答案】3cosn(答案不唯一)

【解析】

【分析】根据题意，利用余弦函数的性质可求山函数解析式

【详解】解：因为是最大值为3,最小正周期为2的偶函数，

所以/(X)=3cosnx,或/(X)=cos4X+2，或/(x)=2cosg+1等(答案不唯一),

故答案为：3CQS/TX(答案不唯一)

33.若一次困数“6=2r+3的图象与曲线c：律)=2'+33>0)存在公切线则实数a的取值范

围是.

【答案】

【解析】

【分析】设公切线与/(x)、g(x)的切点坐标，由导数的几何意义，斜率公式化简，分理出。后构造函数，

利用导数判断单.调性，求出最值即可求解.

【详解】由/(X)=2A：2+3可得/'(K)=4X,由g(x)=ae'+3可得g，(x)=ae',

设公切线与/(x)=2x2+3的图象相切于点(x,,2v+3),与g(x)二比'+3的图象相切于点(0配女+3),

22

n"铲+3-(2元+3|ach_2x2x}-A,

所以4玉=ae?=----------------=---------,即2工]--!----1-,

X2-x{X2-x1工2一%

可得％=0或2々=$+2,因为4西=比片，a>0,则菁>0,2x2=x]+2>2,即乙〉1，

4x4(2xy—2)8(x,-1)..zx8(x—1)

a=T=-^~=——々>1，令/[(x)='、：x〉l,可得

e电e2e2e

8ev-8eT(-v-1)_16-8x

,由〃'(x)>0可得l<x<2；由〃(x)<0可得x>2,

〃3=?ev

所以〃（#=巴£二11在（1,2）上单调递增，在（2,48）上单调递减，

所以M"max=/?（2）=8X（：—1）=W，所以实数”的取值范围是（o二,

ee\e_

故答案为：（0,卷.

34.在用计算机处理灰度图像（即俗称的黑白照片）时，将灰度分为256个等级，最喑的黑色用0表示，最亮

的白色用255表示，中间的灰度根据其明暗渐变程度用。至255之间对应的数表示，这样可以给图像上的

每个像素赋予一个“灰度值”.在处理有些较黑的图像时，为了增强较黑部分的对比度，可对图像上每个

像素的灰度值进行转换，扩展低灰度级，压缩高灰度级，实现如下图所示的效果：

处理前处理后

则下列可以实现该功能的一种函数图象是

A.B.

【答案】A

【考点】新情景问题下的函数的图象问题

【解析】由题意，灰度处理从较黑的图象到较黑的图象，灰度值需要从。到255,且扩展低灰度级，压缩高

灰度级，则只有选项A满足，故答案选A.

Ig«lg-=lgclg^

35.(多选题)已知互不相等的三个实数a,b,c都大于1,且满足C力，则小人。的

大小关系可能是()

A.a<b<cB.b<c<aC.a<c<bD.b<a<c

【答案】AB

【解析】

【分析】化简lgGlgg=lgc/gf,构造关于X的方程Y-2Egc+lgLlgb=0,考虑判别式大于等于

cb

零；再构造函数/(幻=--2xlgc+lgc/g〃讨论零点和对称轴位置，判断a,Ac的大小关系.

【详解】由已知，lg〃(lga-lgc)=lgc(lga-lg〃)，g|Jlg\/-21g«lgc+lg/?lgc=0.

则关于x的方程x2-2xlgc+lgc-lgp=0有正实根，

所以△=41g2c-41gc」g〃=4Igc(lgc-lg/?)N0.

因为人l,c>1,贝ijlgolg力，所以c>/?.

设f(x)=j2-2xlgc+lgc/gb,则二次函数的关于直线x=lgc对称，且f(lga)=0,

/(lgZ>)=lg2Z?-lg/?lgc=lgZ?(lgZ?-lgc)<0.

若x=lga是/(x)一个较小零点，则lga<lg〃<lgc,即〃<b<c；

若x=lga是/(x)的一个较大零点，则lgb<lgc<lga,即Z?<c<a.

故选：AB.

36.已知是定义在R上且周期为4的奇函数，当x«2,4］时，〃力=-/+712,则/(2021)

的值是

【答案】0

【解析】

【分析】由函数的周期性可得/(2021)=/(-3),利用解析式求出/(3)的值，再根据函数为奇函数可得

/(—3)的值，即可得答案.

【详解】根据题意，f(x)是定义在R上且周期为4的函数，

所以/(2021)=/(-3+2024)=/(-3),

i

因为当J«2,4］时,f(x)=-x+lx-12t所以/⑶=-9+21-12=0,

乂小㈤为奇函数，所以/(—3)=—/(3)=0,故/(2021)=/(-3)=0,

故答案为：0.

/(x)-sinxln^-^()

37.函数乃+x在I1的图象大致为()

【答案】A

【解析】

【分析】先求出函数的定义域，然后判断出函数的奇偶性，取特殊值x=g判断函数值的符号，从而可排除

不满足的选项，得出答案.

【详解】解：根据题意，函数/G）=sin#nHE,xe（一凡乃），

7T+X

f（-x）=sin（-x）In=sinxIn=f（x）,则/（x）在区间（一跖兀）上为偶函数，所以排除BC,又

7T

/\一[

由/[=sin^ln^-=ln-<0,所以排除O,故选：A.

\2)223

T

2x,0<.r<1

lnx+1,1<x<3,若存在实数%,与满足目/（内）=/（王）

38.已知函数则

超一%的最大值为（）

A.e—1B.-C.----In3D.1

222

【答案】A

【解析】

【分析】求出函数/'（X）在两段上函数值集合的交集，令/（%）=/（々）=/，由此构造函数并求其最大值即

可.

【详解】当04x41时，042x12,当1<工叫3时，lvlnx+141+ln3,则[0,2]门(1,1+1113]=(1,2],

令1/(%)=/(W)=，e(1，2],则X=耳,工2=।,Xj—x,=e;1——,设g(f)=e'7—/,tG(1,2],

g'a)=ei-4>0,即g⑺=广「:在飞(1,2]上单调递增，g(/)g=g(2)=e-l,所以占一%的最大

22

值为e—l.故选：A

小)=^i!LL

39.(多选题)对函数e'-e”进行研究后，得出以下结论，其中正确有()

A.函数y=/(x)的图象关于)，轴对称

B.|/(x)|<l

C.函数>=/(其)的图象与x轴有无穷多个交点，且每相邻两交点间距离相等

D.对任意常数,〃>0,存在常数力>〃〉〃?，使函数y=/(x)在可上单调递减，且〃一。之1

【答案】ABD

【解析】

【分析】由函数奇偶性定义判断可知A正确：构造函数〃(力=。、一°7一卜吊1|(%>()),求导判断单调性，

进而求得最值可判断B：由/(力的图象与工轴的交点坐标为(伍0)伏£2且人工0)可判断C：求导分析

/'(M)W0时成立的情况，即可判断选项D,进而可得正确选项.

【详解】对于A：因为函数“X)的定义域为{X|XH0},/(—)=二^二二兽三二/(力，所以/(“

e-ee-e

为偶困数，图象关于)'Ml对称，故选项A正确；对于B：由A知/(x)为偶函数，当x>0时，e'—e-">()，

若⑺卜屿土<1即|sin可vev-e-r只需证e'—0一曲目>0,

令/?(x)=er-e-r-|sinx|(x>0),h1(x)=er+e-r±cosx,

因为e'+er>2x/?工二二2,所以”(力>。,所以〃(“在(0,+功上单调递增,所以力⑶>力(0)=0,

即可力二0、-0-'-忖M>0，所以=」；叫,<1恒成立,故选项B正确；

对于C：令〃回=普三=0,可得sinx=0,所以函数f(x)的图象与天轴的交点坐标为(E,0)(ZwZ

此％¥0)，交点(-兀,0)与(兀,0)间的距离为2兀，而其余任意相邻两点之间的距离为孔故选项C错误；

(ev-e-1)cosx—(ev+e-v)sinx

对于D：=-------；----------------W0，

(ey)

B|ie,(cosx-sinx)-e-,(cosx+sinx)<0,B|Je2t(cosx-sinx)<cosx+sinx,

(兀3兀、

当xe—+2H,--+2A;n(ZeZ)时，cosx—sinx<0,cosx+sinx>0»

144/

区间长度为巴>1,所以对于任意常数相>0,存在常数z?>a>〃2,a,/，e(；+2E,=+2E］MwZ,

2U4J

使/(x)在［a,b］上单调递减且b-a21,故选项D正确;

故选：ABD.

【点睛】方法点睛：利用导数研究函数单调性的方法：

⑴确定函数“X)的定义域：求导函数/(X),由r(x)>0(或/'(x)<0)解出相应的X的范围，对

应的区间为外”的增区间(或减区间)；

(2)确定函数/(x)的定义域；求导因数广(x),解力程/'(x)=0,利用/'(x)=0的根将函数的定义域

分为若干个子区间，在这些子区间上讨论了'(X)的正负，由符号确定f(x)在子区间上的单调性.

40.已知函数)，=/(幻定义域为R,是奇函数且.f(x)+.f(6—此=0,则函数)，=/*)的周期为

【答案】6

【解析】

【分析】根据函数是奇函数得/(T)=-"x)，又由已知得/(6-箝=-/*)=/(一⑼，由周期的定义可得

答案.

【详解】解：因为函数>=/(»是奇函数，所以八-幻=-〃])，又/。)+/(6-幻=0,即

/(6-x)=-/(x),所以/(6-x)=—/*)=/(r),所以函数y=f(x)的周期为6,故答案为：6.

41.设b=logMc-ln71,则()

A.a>c>hB.a>b>cC.h>a>cD.c>a>b

【答案】B

【解析】

【分析】判断出mb.c与0和I的大小关系，进行比较.

【详解】因为a=>l,O=k)gTew(O」),c=E，〈O,所以

71

故选：B

ar+1

42.函数/(x)=V+1的大致图象不可能是()

【答案】C

【解析】

【分析】分4=0,和a>0分别判断函数的奇偶性，丙结合函数值的变化情况判断即可

【详解】当4=0时，/(X)二/一是偶函数，且函数的最大值为1,当X20时，/*)为减函数，此时

r+1

对应图可能是D,

当。<0时，/(X)为非奇非偶函数，/(0)=1,由/(x)=0,得x=__L>0,且x<()时，/(x)>0,此

a

时对应图像可能是A,

当。>()时，/(x)为非奇非偶函数，/(0)=1,由/a)=0,得％=且x〉()时,/«>0,此

a

时对应图像可能是B,

故选：C

43.设%若存在正实数x,使得不等式1°827“一-3«|之0成立，则&的最大值为(

)

ln3

B.㈣D.—

A・焉ec右2

【答案】A

【解析】

【分析】化简log”x-匕3»匕0得Iog3%已匕气从而xlogix2依空，3%F