初中数学60个几何模型专题复习：模型52手拉手相似模型

模型52“手拉手”相似模型

模型展现

基轴模型

图示

AD在△ABC内且拉手线无AD在△ABC外

AD在△ABC外

交点且拉手线无交点

且拉手线有交点

特点在^ABC中,DE〃BO|^AADE绕点A旋转

I.△ADE^>AABC,AADB^AAEC；

结论

2.两条拉手线BD,CE交于点F,则/BFC=/BAC

结论分析

结论!:△ADE^AABCAADB^AAEC

证明:•・•DE/7BC,

AAADE^AABC,

.AD_AE曰AD_AB

•・布一元回族一就

由旋转的性质得,ZBAD=ZCAE.

/-△ADB^AAEC.

结论2:两条拉手线BD,CE交于点F,则NBFC=NBAC

证明:•••△ADBS/XAEC,

AZABD=ZACE.

ZBFE=ZFBC+ZBCF=ZDBC+ZACB+ZACE,

Z-BAC=180°-Z-ABC-/.ACB

=180°-ZABD-ZDBC-ZACB

=18O0-ZACE-ZDBC-ZACB

=180°-ZBFE

=ZBFC,

AZBAC=ZBFC.

怎么用

1.找模型

共顶点的两个等角，等角两边成比例，有旋转，考虑“手拉手”相似模型

2.用模型

根据旋转角转换及线段成比例证明三角形相似

满分技法

在相似三角形的判定方法中，“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似一是“手拉手”相似模型中证明相似

最核心的判定方法.

模型拓展

拓展方向：公共角为直角的“手拉手”模型应用

例I如图，在ABC41,ZABC=90O.AB=BC=2,^AABC绕点C顺时针旋转后得到△EDC,连接AE,BD相

交于点F,则NBFE的度数为

BC

例1题图

例2如图在△ABC中,AB=5,AC=3为aABC绕着点A旋转后与^ABC重合，连接BB\CC.则泗的值为

SACCf

例2题图

针对训练

1.如图.在正方形ABCD中，点E是AD边上一点，连接CE,以CE为对角线作正方形CFEG,且点G在正方形

ABCD内，连接BG并延长交AC于点。，则/GOC的度数为()

第1题图

A.70°B,80°

C.90°D.100°

2.如图，在△ABC和^ADE中,NBAC=NDAE=9()o,AB=AC,AD=AE.连接BE,CD,点。是BE的中点.连接AO,若

AO=2,则CD的长为.

第2题图

3.磁高问题背景

⑴如图①，已知△ABCs^ADE,求证:△ABD^AACE;

尝试应用

(2)如图②，在△ABC和^ADE4I,ZBAC=ZDAE=90O.WAADE绕点A逆时针旋转使得点D落在BC边上,AC

与DE相交于点F,若^ABC=^ADE=60*=络求器的值；

拓展创新

(3)如图③,口是^ABC内一点.NBAD=NCBD=30o,NBDC=9()o,AB=4,AC=2遮.求AD的长.

图①图②图③

第3题图

模型52“手拉手”相似模型

模型典例

例I135。【解析】如解图，设AC与BD交于点G.由旋转的性质可知,CD=DE=AB=BC=2,CE=AC=2混（旋转前

后的图形全等，对应边和对应角相等），隼4=V2.VZDCE=ZACB=45°,AZDCE+ZACD=ZACB+ZACD,

uCCD

BPZECA=ZBCD,AACAE^ACBD,AZEAC=ZDBC.VZDGA=ZBGC,ANAFB=NACB=45°,・'・ZBFE=135°.

AB'S

例225/9【解析】VAABCABC绕着点A旋转能够重合.AB=AB'=5.AC=AC1=3,A黎=____一—••

3

LBAC=乙B，AC，；.LBAC+LBAC=Z-B'AC+LBAC',：.ZLBAB1=ZCAC\.\△ABB's△ACC',VAB=

像"3SACC'

针对训练

l.C【解析】如解图，连接0D,•・,四边形ABCD和四边形CFEG均为正方形,二AB二BC,EG=CG,:.AC=V2

BC,CE=V2CG,A—=V2,—=V2—•:乙BCG+^ACG=ZACE+ZACG=45°,/.ZBCG=ZACE,AABC

BCCGBCCG

G^AACE.VAC为正方形ABCD的对角线,,ZGBC=ZDAC=45U,/.^G在对角线BD±..\点0也是AC与BD

的交点•••NGOCMK）。.

第1题解图

2.4【解析】如解图，以AC为对称轴作△ABC的对称图形△ABC连接B'E,AAB=AB\ZBAC=ZB'AC=90°,

・•・三点共线.丁ZDAC+ZCAE-ZCAE+ZEAB'-90n,/.ZDAC-ZEAB\VAB-AC,/.AB-AB-AC,SAADC

AC=AB'

和仆AEB'中、LDAC=Z.EAB1,A△ADC^AAEB'(SAS),ACD=B'E,VO为BE的中点,AB=AB',・\AO是^BB'E的中

AD=AE

彳谈AB'E=2AO=4,，CD=BE=4.

第2题解图

3.⑴证明:：Z\ABCsZ\ADE,

^BAC=LDAE,^=^,

^BAD=^CAE,^=^

AAABD^AACE;

(2)解:如解图①，连接CE,

ZABC=ZADE,ZBAC=ZDAE,

AAABC^AADE,

由11)同理可得4ABD^AACE,

登=^：,Z-ACE=乙ABD=^ADE=60°,

,/ZADF=ZECF,ZAFD=ZEFC,

•••△ADFs^ECF,

40_DF_2\/3

EC~CF_3'

v/.ADE=60。,

AZAED=30°,

即tan30。=冷冬

..竺_竺AE

'EC~AEEC'

.AE_AD.AD_2V3一m_2

"EC~'EC~~~3~~~3~'

第3题解图②

第3题解图①

(3)解:如解图②，过点A作AB的垂线，过点D作AD的垂线，两垂线交于点M,连接BM.

VZBAD=30°,

・•・ZDAM=900-ZBAD=60°,

；・ZAMD=90°-ZDAM=30°,

VZCBD=30°,

AZCBD=ZAMD,

VZBDC=ZADM=90°,

/.△BDC^AMDA,

BDDConBDMD

二访=启即而

VZBDC=ZADM,

/.ZBDC