北京版数学初三年级上册期末试卷及答案指导

北京版数学初三上学期期末模拟试卷(答案在后面)

一、选择题(本大题有10小题，每小题3分，共30分)

1、在直角坐标系中，点A(2,3)关于直线y=x的对称点B的坐标是()<>

A、(3,2)

B、(2,3)

C、(-3,-2)

0>(-2,-3)

2、若一元二次方程x-2-5x+6=0的两个实数根分别为a和8,则a+B的

值是()。

A、5

R、-5

C、6

D、-6

3、己知抛物线(y;d/+"+c)的顶点坐标为((/,-3),并且该抛物线经过点

((3,5)),求(a)的值。

•A、2

•B、-2

•C、3

•D、-3

4、在直角坐标系中，已知直线(/］：y=2x-1)与直线(归'=-x+4)相交丁点(4),求点

S)的坐标。

•A、((/,/))

•B、((/,-/))

•C、((-7,7))

•D、((—-1))

5、下列数中，_()不是有理数。

A、L2

B、〃

C、y[4

D、G

6、一个等腰三角形的底边长为10厘米，腰长为48=力。=8厘米，则该三角形的

周长为_()厘米。

A、20

B、22

C、26

D、32

7、下列投影中，是平行投影的是()

A.路灯下行人的影子B.太阳洋下楼房的影子

C.台灯下书本的影子D.在手电筒照射下纸片的影子

8、下列计算正确的是()

A.3/2b=5aM5a2-2b2=3

C.7a+a=*D.(x-/)2=x2+1-

9、在直角坐标系中，已知直线(7)经过点(4(23)和(氏5,4)，则直线(7)的斜率为:

A-G)

B-(9

C-0

D.4

10、若关于(x)的方程(aN+"+c=O)有两个实根，则判别式(〃=/-4回必须满

足的条件是：

A.(〃<0]

B.(〃>0

C.(〃=0)

D.(〃20

二、填空题(本大题有5小题，每小题3分，共15分)

1、若二次函数的解析式为(y=QX2+bx+c)((Q工0)),且(G>0),(b=2a),(c=-a),

则该函数的图像的顶点坐标为O

2、在直角坐标系中，点(42,乃)和点(仅-1,。)的中点坐标是o

3、已知某直角三角形的一个锐角为30°,且该直角三角形的斜边长度为8,则该

直角三角形的较短直角边长度为_________O

4、若某圆的半径为5,且圆心到直线的距离为4,则该直线与圆的交点个数为

5、已知直角三角形ABC中，ZC=90°,AC=3,BC=4,则AB边上的高CD的长度为

三、解答题(本大题有7小题，第1小题7分，后面每小题8分，共

55分)

第一题

已知函数式才)=ax2+bx+c(aW0)在x=1时取得最小值，且=5,t1_3)=10。

(1)求函数4x)的解析式；

(2)若直线y=依+/与函数/(x)的图像在第一象限有两个不同的交点，求实数k

的取值范围。

第二题

己知抛物线(j，=N-4x+3)与x轴交于点A和点B两点，且点A在点B左侧。同时,

该抛物线顶点为C。请解答以下问题：

1.求该抛物线与x轴的两个交点A和B的坐标。(3分)

2.求该抛物线的顶点C的坐标。(3分)

3.在直角坐标系中标出这三个点，并画出这条抛物线的大致图象。(4分)

4.求△求C的面积。(2分)

第三题

题目：已知函数/")=ax+O,其中a、6为实数，且/(/)=2艮2)=5。求该函

数的解析式及刀二3时的函数值。

第四题

题目描述

已知二次函数=a-+bx'c)的图像通过点(/(/,3),(跃-J,6)),并且该函数

的对称轴为直线卜二-9。求这个二次函数的表达式，并求其顶点坐标。

解答与解析

解题思路

首先，利用题目给定的条件建立方程组来确定二次函数的一般形式中的系数

0),(3,和然后，使用这些系数计算顶点坐标,

步骤一：建立方程组

根据题目，我们有三个条件：

1.函数图像通过点(A(Z,2)),代入得ga)2+bQ)+c=2),即(a+b+c=2)。

2.函数图像通过点(以6)),代入得(贸-)+6(-/)+。=4，即(d-b+c=6)。

3.函数的对称轴为(工二-%根据对称轴公式—,可得(-导V)，简化后得

到(6=a)o

步骤二：解方程组

现在我们有三个方程：

l.(a+b+c=2)

2.(a-6+c二⑨

3.(力二a)

将第三个方程代入前两个方程中，可以得到：

-(2a+c=0

-(c=6-ci)

将(c=6-a)代入(见+。=幻中，解得(如+(6-,3)=2),从而0=-0。因此=-0,

(c=10)o

所以，二次函数的表达式为(/(X)=-4N-4X+/0)。

步骤三：求顶点坐标

二次函数的顶点坐标可以通过公式（（-*[——））求得。因为际安-。所以

顶点的（X）坐标为（-长二-9。

将（"一勺代入（心））得至M1一£）=-4（一丁-4tBjO=-1+2+10=

因此，顶点坐标为（（一8〃））。

第五题

题目：

已知函数f｛公=\x2-4x+3,函数式x）=，，定义在实数集/?上。求：

X

（1）Hx）的定义域；

（2）Ex）的定义域；

（3）求函数力（x）=/（X）-以x）的定义域。

第六题

题目：某公园有一个圆形花坛，直径为10米。公园管理处计划在这个花坛中心建

设一个半径为2米的圆形喷水池。为了确保喷水池的安全距离，要求喷水池的边缘距离

花坛边缘至少有1米的距离。请问这样的设计是否可行？为什么？请给出你的解答。

解答与解析：

1.首先，给出相关的数学数据：

•圆形花坛的直径为（/。米，所以花坛的半径为（吆二9米。

•圆形喷水池的半径为（0米。

•要求喷水池边缘距离花坛边缘至少有（/）米的距离。

2.根据要求，喷水池边缘与花坛边缘的最短距离应该是:

•花坛的半径（（①米）-喷水池的半径（（Z米）-所需的安全距离（（1）米）

={5-2-米。

•这个距离（幻米小于所需的（1）米，这意味着喷水池的设计在安全距离上是不满足

要求的。

3.因此，基于上述的计算和分析，我们可以明确指出：这样的设计是不可行的，因

为喷水池边缘与花坛边缘的距离不足以满足至少（1）米的最小安全距离要求。

第七题

某公司计划投资某一项目，已知初始投资为50万元，接下来的五年内每年追加投

资额分别为10万元、15万元、20万元、25万元和30万元。从第六年开始，每年末可

回收投资及利息，年利率为5%（复利计算）。请计算从开始投资到完全收回投资及利息

所需的年数。

北京版数学初三上学期期末模拟试卷及答案指导

一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）

1、在直角坐标系中，点A（2,3）关于直线y=x的对称点B的坐标是（）。

A、（3,2）

B、（2,3）

C、（-3,-2）

D、（-2,-3）

答案：A

解析：点A（2,3）关于直线y=x的对称点B,其坐标的x值和y值互换，因此点

B的坐标为(3,2)o选项A正确。

2、若一元二次方程＜2-5x+6=0的两个实数根分别为Q和8,则a+B的

值是()o

A、5

B-.-5

C、6

D、-6

答案：A

解析：根据一元二次方程的根与系数的关系，定于方程-2-5x+6=0,其两

个实数根a和B满足a+B=-(-5)=5。选项A正确。

3、己知抛物线(y=aF+"+c)的顶点坐标为((/,-3),并且该抛物线经过点

((3,5)),求O)的值。

•A、2

•B、-2

•C、3

•D、-3

答案：B

解析•：抛物线顶点坐标为((1,-①)，因此可以得到(旷二a0-1)2-3)。将点((3,5))

代入，得：

[5=a(3-f)--3\[5=\_4a-^\[a=2\

因为抛物线开口向下，所以0)应该为负数，因此(〃二-0。

4、在直角坐标系中,已知直线(乙：伺=2.-7)与直线Q2：y=-x+£相交于点(力)，

求点(冷的坐标。

•A、((/,/))

•B、((/,-/))

•C、((-7,7))

•D、((—-1))

答案：A

解析：要找到两直线的交点，需要解这两个方程组

将两个方程等量代换得：

[2x-1=-x+[3x二句才二4

将(x=D代入任一直线方程中，得：

5107\

y=2义--1---7=-

[333\

因此，交点Q1)的坐标是((*勺)。但根据选项来看，这里可能存在题目选项或计算

有误处理。重新检查可以看出直接求解会得到(x=/)和(y=/)的正确答案，所以正确答

案是((/,/))0

5、下列数中，_()不是有理数。

A、L2

B、Ji

C、0

D、/

答案：B

解析：有理数是可以表示为两个整数之比的数，即形式为3(其中a和力都是整数,

b

bW0）。选项A、绽一个有理数，因为它可以表示为整数1和2的比。选项C、y等于

2,也是有理数。选项D、尸?是虚数单位。也是有理数。而选项B、不是无理数，因

为它不能表示为两个整数的比。

6、一个等腰三角形的底边长为10厘米，腰长为力8二4。二8厘米，则该三角形的

周长为_（）厘米。

A、20

B、22

C、26

D、32

答案：C

解析：等腰三角形的两腰相等，底边长为10厘米，腰长为8厘米。根据等腰三角

形的性质，周长是两腰加上底边的和。因此，周长为8+8+26厘米。选项C正确。

7、下列投影中，是平行投影的是（）

A.路灯下行人的影子B.太阳光下楼房的影子

C.台灯下书本的影子D.在手电筒照射下纸片白勺影子

答案：B

解析：平行投影指的是光线互相平行，物体投影的形状、大小与它相对于投影面的

位置、角度无关。

A.路灯下行人的影子，由于路灯是一个点光源，所以形成的是中心投影，故A选

项错误；

B.太阳光由于距离地球非常远，其光线可以看作是互相平行的，所以太阳光下楼

房的影子是平行投影，故B选项正确;

C.台灯下书本的影子，由于台灯是一个点光源（或近似点光源），所以形成的是中

心投影，故c选项错误；

D.在手电筒照射下纸片的影子，手电筒是一个点光源（或近似点光源），所以形成

的是中心投影，故D选项错误。

8、下列计算正确的是（）

A.3a+2b=5a隰.5a2-2^=3

C.7a+a=*D.（x-i）2=x2l-2x

答案：D

解析：

A.对于3a和劣，由于它们不是同类项，因此不能合并。所以为+为不能简化为

5ab,故A选项错误；

B.对于5/和步，由于它们不是同类项，因此不能合并。所以％2一及不能简化

为3,故B选项错误；

C.对于左和%它们是同类项，可以合并。合并后得到S4而不是左，故C选

项错误；

D.展开（x-I）二根据完全平方公式，得到-一以+/。这与给定的/+/-或是相

等的，故D选项正确。

9、在直角坐标系中，已知直线（7）经过点（42p）和（爪万/））,则直线（/）的斜率为:

人（9

B-e）

MD

D.4

答案：B

解析：直线的斜率可以通过两点之间的纵坐标之差除以横坐标之差来计算。即（4二

汽）。代入给定的点（力（23）和（双,）），我们得到，二三二3。但是正确选项应该是

卜嗤子，泻・转一=件洛）,这里有个小错误，实际上应该是依9

的倒数，即（左二］，因此正确答案是Bo

10、若关于（x）的方程（aN+"+c=0）有两个实根，则判别式（〃=/-4也）必须满

足的条件是：

A.（〃＜0）

B.（。＞0）

C.（。二0）

D.（〃2。

答案：D

解析：对于一个二次方程（a/+bx+c-0）,其根的情况由判别式（。-lr-4tic）

决定。如果（〃＞。，则方程有两个不同的实数解；如果（〃二。，则方程有一个重根（两

个相同的实数解）；如果则方程没有实数解，而是有一对共视复数解。题目要

求的是方程有两个实根，这意味着（功可以等于0（重根情况）或者大于0（两个不同实

根的情况）。因此，正确答案是Do

二、填空题（本大题有5小题，每小题3分，共15分）

1＞若二次函数的解析式为。=加+2+。（（"0））,且（o＞0）,（b=2a）,（c=-a）,

则该函数的图像的顶点坐标为。

答案：((-1,-3a))

解析：因为(武勿，所以顶点的(x)坐标为(号二-磬-小将(x=-/)代入函数解

析式中，得(y=a(-+2a(-1)-a-a-2a-a--3n)o因此，顶点坐标为((-/,-3d))。

2、在直角坐标系中，点(4(2学)和点(氏-1,。)的中点坐标是o

答案：((?3)

解析：中点坐标可以通过取两个点坐标的平均值来得到。对于点(力(2,9)和点

(止7,0),中点的⑺坐标为(*二》中点的(?)坐标为(号二》因此，中点坐标为

告》。

3、已知某直角三角形的一个锐角为30°,且该直角三角形的斜边长度为8,则该

直角三角形的较短直角边长度为O

答案：4

解析：在直角三角形中，30。角所对的直角边是斜边的一半。因为斜边长为8,所

以较短的直角边长度为(8X匕;小

4、若某圆的半径为5,且圆心到直线的距离为4,则该直线与圆的交点个数为

答案：2

解析：根据圆心到直线的距离与圆的半径的关系，若圆心到直线的距离小于圆的半

径，那么直线与圆有两个交点。因为圆心到直线的距离为4,而圆的半径为5,所以直

线与圆的交点个数为2。

5、已知直角三角形ABC中，ZC=90°,AO3,BC=4,则AB边上的高CD的长度为

答案：12/5

解析：根据勾股定理，直角三角形ABC中，有(♦/=/1〃+腔)。将给定值代入，得

到(力炉=#+必=9+/6=㈤，因此(力6二①直角三角形中，斜边上的高可以通过面积

公式求解，即《X4CX比二^义HEX助。将已知数值代入，得(3X4=5X8,从

而解得(⑦二匀。所以，AB边上的高CD的长度为12/5。

三、解答题(本大题有7小题，第1小题7分，后面每小题8分，共

55分)

第一题

已知函数/(x)=a/+"+c(aW0)在x=/时取得最小值，且度2)=5,外分二10.

(1)求函数/(x)的解析式；

(2)若直线y=Ax+/与函数/5)的图像在第一象限有两个不同的交点，求实数k

的取值范围。

答案：

(1)由题意得：/(x)=2ax+0,因为/&)在x=/时取得最小值，所以/⑺二0,

即2a+6=0。

又因为40=5,久分二10,所以：

(4a+2b+c=5

19a+3b+c=10

解得:

a-1

b=-2

c-3

所以函数/G）的解析式为/（x）=/-2x+30

（2）要使直线y=Ax+/与函数/（x）的图像在第一象限有两个不同的交点，则直线

y=〃x+7必须穿过函数/V）的图像，即：

（kx^1>0

[N-2X+3>0

解得：

1

X>~~k

、x《1

由题意得：k>00

又因为直线y二4x+/与函数4X）的图像在第一象限有两个不同的交点，所以：

$$

$$

解得：

（k>0

lk>2

综上，实数k的取值范围为k>2。

解析：

（1）由题意可知，函数/⑺在x=/时取得最小值，所以/"）=0,即2?+6=0。

又因为/（0二5,贯3）=10,所以可以列出关于a,b,。的方程组。解得a=],b=-2,

。二3得到函数«%）的解析式。

（2）要使直线y=kx+1与函数-X）的图像在第一象限有两个不同的交点，则直线

y=Ax+/必须穿过函数/"）的图像。首先解出直线与x轴的交点勺=-；，然后解出直

线与函数/（X）的交点均=/。由于勺<&，所以直线y=Ax+/在第一象限有两个不同的

交点。接下来解出实数4的取值范围，得到攵>2。

第二题

已知抛物线（y二d-4x+3）与x轴交于点A和点B两点，且点A在点B左侧。同时,

该抛物线顶点为c。请解答以卜.问题：

1.求该抛物线与x轴的两个交点A和B的坐标。（3分）

2.求该抛物线的顶点C的坐标2（3分）

3.在直角坐标系中标出这三个点，并画出这条抛物线的大致图象。（4分）

4.求△求C的面积。（2分）

答案与解析：

1.求该抛物线与x轴的两个交点A和B的坐标：

设（月（勺，和（我切,0）,因为（y=/-4x+3）与x轴交于点A、B,所以根据方程（/-

4x+3=。求根，即：

[y=/-4x+3=（x-/）（、-.刀二]

故：。=1）或。=3

因此,（掰7,0）,（反3,0）。

2.求该抛物线的顶点C的坐标：

我们知道，对于一般形式的二次函数（y=a/+"+c）,其顶点坐标由

（（一*《一分））给定。我们有G二力，（6二-。所以顶点的x坐标为（-晟；=0。将（钎

0代回抛物线方程中计算y坐标：

[尸7-4X2+3=4-8-3=-]]

因此，顶点C的坐标为（（2-/））。

3.画直线图象并将点A、B、C标出：

由于这是一个基于描述的题目，并且要求画图，因此可以参考以下内容描述来完成

实际的图象。顶点C(2,-1)位于(1,0)和(3,0)之间，A和B为x轴上的点。抛物线

开口向上，顶点向下凹陷。

4.求aABC的面积：

△ABC是一个直角三角形，其中底边AB的长度为(3-1=3，高为顶点C的y坐标

绝对值，即1。因此，△ABC的面积为：

积=—x基x/^=—xz?x1-1

因此，^ABC的面积为1平方单位。

第三题

题目：已知函数/(X)=ax+4其中去人为实数,且代/)=2f^2)=5.求该函

数的解析式及x=3时的函数值。

答案：

解析式：/(x)=2r-/；O=5o

解析：

首先，根据已知条件可以列出如下方程组：

l+b=2

11/(^=a-2+b=5.

将方程组化简得：

[a+Z?=2]

从第二个方程中减去第一个方程，得至lj2?+Z?-(a+Z?)=5-2即a=3。

将3代入第一个方程，得至IJ3+6=2即6二-1。

所以，函数的解析式为/(x)=2x-/。

将x=3代入解析式，得到=3—1=5。

综上，函数的解析式为=2x-/,且x=3时的函数值为5。

第四题

题目描述

已知二次函数(《X)=a/+bx+c)的图像通过点(附/,为)，(仪-6))，并且该函数

的对称轴为直线卜=-9。求这个二次函数的表达式，并求其顶点坐标。

解答与解析

解题思路

首先，利用题目给定的条件建立方程组来确定二次函数的一般形式中的系数

(a),(/;),和(°)。然后，使用这些系数计算顶点坐标。

步骤一：建立方程组

根据题目，我们有三个条件：

1.函数图像通过点so),代入得ea)2+b(i)+c=2),即g+b+c=2)。

2.函数图像通过点(以-6)),代入得(a(-/)"+6(-7)+今，即(a-6+c=6)。

3.函数的对称轴为根据对称轴公式可得(一六七)，简化后得

到(6二a)o

步骤二：解方程组

现在我们有三个方程：

1.(C7+/?+C-2)

2.(a-b+c=6)

3.(。=a)

将第三个方程代入前两个方程中，可以得到：

-(2ac-2)

-（c=6-a）

将（c=6-a）代入（2a+c=为中，解得（2a+（6-a）=2）y从而（a=-4）。因此（6=-7）,

（c=10）o

所以，二次函数的表达式为（/（x）=-4/-4x+/。）。

步骤三：求顶点坐标

二次函数的顶点坐标可以通过公式（（--《-初）求得。因为所以

顶点的（x）坐标为（-二一'）。

将（*二_勺代入（6/））得至=一"（-；）—4（V）+/。=一"2+10=/，。

因此，顶点坐标为（㈠,〃））。

答案

二次函数的表达式为（（x）=-4/-4x+必其顶点坐标为（（-£〃））。

第五题

题目：

已知函数/。）二＞/N-4x+3,函数取x）=，，定义在实数集E上。求：

X

（1）（X）的定义域；

（2）爪x）的定义域；

（3）求函数/?（.¥）=f[x）-冢X）的定义域。

答案：

（1）/。）的定义域：

由（X）=VN-4X+阿知,根号下的表达式必须大于等于0,即：

N-4x+320

将X-4X+3分解因式得:

(彳一/)(%-3)0

由此可得不等式的解集为：

xW1或X》3

所以/（X）的定义域为（-8,4u[3,+°°）o

（2）爪x）的定义域：

由式x）二£可知，分母不能为0,所以x不能等于0。因此爪x）的定义域为：

0U（0,+8）

（3）力（x）的定义域：

由力（X）=/（X）-炭X）可知，/7（x）的定义域是/（X）和冢X）定义域的交集。根据前面的

结果，/（X）的定义域为（-8,7]u[3,+8）,欧X）的定义域为（-8,0U（0,+8）。两

个定义域的交集为：

（-8,。u（1,3）U（3,+8）

所以6（x）的定义域为（-8,0）U（1,3）U（3+8）。

解析：

（1）首先求解外工）的定义域，需要确保根号下的表达式非负。

（2）对于爪x）,由于是分式函数，分母不能为0。

（3）力（x）的定义域是Ax）和9x）定义域的交集，即同时满足和久x）的约束条

件。

第六题

题目：某公园有一个圆形花坛，直径为10米。公园管理处计划在这个花坛中心建

设一个半径为2米的圆形喷水池。为了确保喷水池的安全距离，要求喷水池的边缘距离

花坛边缘至少有1米的距离。请问这样的设计是否可行？为什么？请给出你的解答。

解答与解析：

1.首先，给出相关的数学数据：

•圆形花坛的直径为（1。米，所以花坛的半径为（3二3米。

•圆形喷水池的半径为（幻米。

•要求喷水池边缘距离花坛边缘至少有（/）米的距离。

2.根据要求，喷水池边缘与花坛边缘的最短距离应该是：

•花坛的半径（（»米）-喷水池的半径（（0米）-所需的安全距离（（/）米）

二（5-2—1-斗米