第4章 相似三角形 综合素质评价卷（含答案）

第4章相似三角形

一、选择题（每题3分，共30分）

1.下列各组线段中，成比例的一组是（）

A.。=4,b=6,。=5，d=10

B・ci—2,9/?=4,c=3,d=6

C.a=2,b=小,c=2y[5,d=10

D.a=（）.8,b=3,c=1,d=l（）

2.如图，AB//CD//EF,若AC=4,CE=2,80=3,则8/的长为

3.[2023•丽水莲都区一模]如图，测量小玻璃管口径的量具A8C,AB

的长为3cm,AC被分为5等份.若小玻璃管口径。石正好对着量

具上2等份处（OE〃/15）,则小玻璃管口径DE的长为（）

93

A.gcmB.2cmC./cmD.1cm

4.如图，下列条件中不能判定的是（）

ABAC

A.ZADC=ZACBB^C=CD

C.NACD=NBD.AC2=ADAB

5.大自然巧夺天工，一片树叶也蕴含着“黄金分割力如图，P为AB

的黄金分割点（4P>PB）,如果A8的长度为8cm,那么8尸的长度

是（）

A.(12—4y/5)cm(9—4y[5)cm

C.(4巾—4)cm(4巾+4)cm

（第5题）（第6题）（第7期）

6.[2023•嘉兴秀洲区期末]如图，四边形A8CO与四边形是

位似图形，点0为位似中心.若詈=点四边形ABCQ的周长是

匕A3

25,则四边形EFG”的周长是（）

A4R10AD—

A.4D•1U3•3

7.如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水

平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线

上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端.已知小菲的眼睛离地

面高度为1.6m,同时量得小菲与镜子的水平距离为2m,镜子与

旗杆的水平距离为10m,则旗杆高度为（）

A.6.4mB.8mC.9.6mD.12.5m

8.[2023•金华兰溪市期末|如图，矩形ABCQs矩形cc,且面积比

为4：1,则AE：DE的值为（）

A.1：1B.2：1C.3：1D.4：1

9.[2024•宁波月考]如图，。是办5CO的对角线交点，E为的中

点，DE交AC于点凡连结OE,若。4BCD的面积为8,则△OOE

的面积是（）

39

A2-C-

♦B.24

10.[2023•丽水]如图，在四边形ABCQ中，AD//BC,ZC=45°,以

AB为腰作等腰直角三角形顶点E恰好落在CD边上，若

AD=\,则CE的长是（）

A.啦B当C.2D.1

（第10题）

二、填空题（每题4分，共24分）

11.若a4则皿=.

n8n------------

12.[2024,嘉兴期中]已知。=4'=16,贝ija,h的比例中项为.

13.如图，在平面直角坐标系中，△A5C与△4BG位似，原点。是

位似中心，且篇=3.若人（9,3）,则点A的坐标是________.

（第13题）

14.如图，在正方形网格中有3个斜三角形：△4?C,ACDB,XDEB,

其中能与AABC相似的是_______（△ABC除外）.

（第14题）

15.[2023•宁波江北区期末]如图，点G是AABC的重心，G"_LBC于

点、H,若GH=1,BC=2,则5c的面积为.

16.[2023・武汉]如图，平分等边三角形A8C的面积，折叠ABDE

得到△f'OE,AC分别与OF,£尸相交于G,”两点.若。G=m,

EH=n,用含〃2,〃的式子表示G"的长是.

三、解答题（17〜19题每题6分，20,21题每题8分，22,23题每题

10分，24题12分，共66分）

cihc

17.已知〃，b,c为△ABC的三边长，且〃+b+c=48,1=4=亍求

△A5c三边的长.

18.如图，在中，E,b分别是AB,AC上的点，REF//BC,

如果AB=9,AE=4,AF=3,那么尸。的长是多少？

19.如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为0(0,0),

A(l,2),3(3,1).

(1)将△QAB向右平移1个单位后得到△014囱，请画出△Oi4S；

⑵以。为位似中心，画出的位似图形，使它与△OIAI8的位

似比为2：1.

20.[2023•湘潭]在RtAABC中，ZBAC=90°,AD是斜边BC上的高.

⑴求证：xABDs'CBA；

(2)若AB=6,BC=1(),求3。的长.

21.九年级二班的兴趣小组想去测量学校旗杆的高度，如图所示，小

逸同学的眼睛4与标杆顶端F、旗杆顶端£在同一直线上，已知

小逸的眼睛到地面的距离的长）为1.7m,标杆FC的长为

3.2m,测得3c的长为2m,CO的长为4m,求旗杆EO的高.

22.如图，E是菱形A5C。对角线CA的延长线上任意一点，以线段

AE为边作一个菱形AE/G,且菱形AEFGs菱形A5CD相似比

是小:2,连结所，GD.

(1)求证：EB=GD；

(2)若ND43=60。，A8=2,求GO的长.

23.鲜艳的中华人民共和国国旗始终是当代中华儿女永不褪色的信

仰，国旗上的每颗星都是标准五角星.为了增强学生的国家荣誉

感、民族自豪感等，数学老师组织学生对五角星进行了较深入的

研究.延长正五边形的各边直到不相邻的边相交，得到一个标准

五角星.如图，正五边形A3CDE的边A4,。足的延长线相交于

点、F,NE4尸的平分线交EF于点

(1)求证：AUEFEM；

(2)若4尸=1,求AE的长;

S正五边形ABC0Klzt士

⑶求-的值.

S^AEF

24.[2023・金华婺城区期中]三角形的布洛卡点由德国数学家和数学教

育家克雷尔于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所

注意.1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡重新发

现，并用他的名字命名.如图①，若△ABC内一点P满足Z

PAB=ZPBC=ZPCA=af则点尸是8c的布洛卡点，a是布

洛卡角.

(1)如图②，点尸为等边三角形ABC的布洛卡点，则布洛卡角的度数

是，PA,PB,PC的数量关系是

(2)如图③，点P为等腰直角三角形A5c(其中/区4。=90。)的布洛卡

点,且N1=N2=N3.

①请找出图中的一对相似三角形，并给出证明;

②若△AbC的面积为?，求“6。的面积.

答案

一、1.B2.C3.A4.B5.A6.B7.B8.C

9.C【点拨】如图，过A,£两点分别作ANL3。，EM1BD,垂

足分别为点MM,则EM〃AN,

：./\BEMs/\BAN.：・EM：AN=BE：AB.

・・•石为A5的中点，ABE=^AB.：.EM=^AN.

9：^ABCD的面积为8,・・・2xgAM3Q=8.

；・AN-BD=8.易得OD=3BD,

JSAOED=gxOD.EM=gxlBDxgAN="ANBD=1.

ZZZZo

10.A【点拨】•・,△B4E是以AB为腰的等腰直角三角形，

：・BE=pAB,ZABE=ZAEB=45°fZBAE=90°.

9：AD//BC,ZC=45°,

JZADE=180°-ZC=135°.

/.ZADE+NAB"18()。.

・••点A,B,E,。四点共圆，且在以BE为直径的圆上.

如图,连结3。，则NBOE=90。，

ZDBC=90°-ZC=45°.

...ZABD+ZDBE=45°=ZEBC+ZDBE.

：.ZABD=ZEBC.

•.*ZADB=ZAEB=45°,

：.ZADB=ZC.

CEEBr-

・・；•亦=言=巾.

.AABDsAEBC.AU/\tyv

**•CE=y[iAD=yf^xI=y(2.

二、11.v12.±813.(3,1)14.ADEB

o

15.3【点拨】如图，连结AG并延长交BC于点。，过点4作AE

JL5c于点E,

由重心性质可得AO：GD=3：1.

VG/71BC,AELBC,：.GH//AE.

:•△DGHs^DAE.

：.AE：GH=AD:GD=3：1.

又：.AE=3.

**•Sz^44c=]8CAE=]x2x3=3.

16.y]m2+n2【点拨】:△ABC是等边三角形，

JZA=ZB=ZC=60°.

由折叠得ABDE之△FQ£,

:•SABDE=SAFDE,NJF=NB=60°=NA=NC

•：DE平分等边三角形ABC的面积，

••S四边形ACE£)-S^BDES>FDE.

S〉FHG=S〉\DG+S〉CHE.

■:/AGD=/FGH,ZA=ZF=ZCf

/CHE=/FHG,

•••△A3Gs△尸"G^CHE^/\FHG.

.S^ADG_(DGX__nf_S^CHE(EH^_n2

9S^\GH)一评S^HGVGH)-GH2

.5AADG|5ACWEm2+〃2SAA/?G+SACHESAFHG

2

・S〉FHGSAFHGGHSdFHGS4FHG

GW2=m2+/?2,

解得6月=谆升或6"=一折转（不符合题意，舍去）.

三、17.解：设4=,=[=匕则a=3k,b=4k,c=5k.

IJ

又•.,Q+Z?+C=48,

.•.3k+4攵+52=48.

:・Z=4.；・〃=12,/?=16,c=20.

即AABC三边的长分别为12,16,20.

AEAF

解：U：・广彳，

18.EF//BC,;/\D=/IC

43?715

即3=才六解得AC=T.・•・FC=AC-AF=^~.

19.解：(1)如图，即为所求.

(2)如图,△0加&和△QA3B3即为所求.

20.(1)【证明】VZBAC=90°,AD是斜边BC上的高,

.・・NAOB=90。，ZB+ZC=90°.

：.ZB+ZBAD=90°.

：.ZBAD=ZC.

又,：/B=NB,AAABD^ACBA.

(2)解：VAABD^ACBA,

.AB_BD

.•赤一丽.

又・.・A3=6,BC=10,

・an.3618

,•BZ?-CB_1O-T-

21.解：过点A作AHLEO交EO于点从交bC于点G.

由题意可得PCLBQ,EDLBD,

：.FC//ED.：.AH±FC.

易得NABC=/BCG=ZCGA=90°,

ZHGC=/GCD=ZCDH=90°.

・・・四边形A8CG,四边形GCQ”是矩形.

:.HD=GC=AB=\.7m,

AG=BC=2m,GH=CD=4m.

：.FG=FC-GC=3.2—1.7=1.5(m),

AH=AG+G〃=2+4=6(m).

■:FC〃ED,:•丛AFGS/\AEH.

•dG_FG2_k5.q

•.AH—EH，M即n4一£“•・・"”-4.5m.

・・・EO=EH+HO=4.5+1.7=6.2(m).

答：旗杆ED的图为6.2m.

22.(1)【证明】・・,四边形尸G和四边形43。。是菱形，

：.AE=AG,AB=AD.

・・•菱形菱形ABC。，：.ZEAG=ZBAD,

：.ZEAG+NGAB=ZBAD+NGAB,

即NE45=/G4D

・•・/XAEB^△AGD・•・EB=GD.

(2)解：连结3。交AC于点P.

易得BP工AC,ZFAB=^ZDAB,：.ZAPB=90°.

VZDAB=60°,

/.ZMB=30°.ABP=^AB=1.

・••在Rt^APB中，AP=、AB2—BP2=5.

•/菱形AEFGs菱形ABCD,相似比是小2,

；.AE=与AB=,.；・EP=AE+AP=2小.

・••在Rt^EPB中,

EB=y/EP2+BP2=yJ12+1=y[13.

：.GD=EB=y[13,

23.(1)【证明】•・•五边形A8COE是正五边形，

360°

/./FAE=ZFEA=^~=72°.

：.ZF=180°-ZFAE-ZF£A=180o-72°-72o=36°.

VZEAF的平分线交Eb于点M,

：.ZFAM=ZMAE=|ZM£=1X72°=36°.

LJ

：.ZMAE=ZF,

又•：/FEA=/AEM,:•XNEMsXEEk.

工普=郭，即

rLLAt

(2)解：由(1)得N尸=NE4M=36。,

：.AM=FMfZAME=12°=ZFEA.

：.AE=AM.：.AE=FM.

*：ZFAE=ZFEA,：.FE=AF=\.

：.EM=FE-FM=1-AE.

2

♦；AE2=EFEM,：.AE=]X(]-AE)9

解得’(负值已舍去).

J

(3)解：设S“EF=S,AF=a,连结AD,AC,

\l~5-1

根据(2)可得AE=\—〃，EF=AF=a.

,五边形ABCDE是正五边形，

y[5~1

***AB=BC=CD=DE=EA=a,

/BAE=ZAED=ZEDC=ZDCB=ZCBA=108°.

JZBAC=ZBCA=36°=ZEDA=ZEAD.

：.N4CQ=72c=NADC易得△ABC四△AEQ,丝△CAD,

♦♦S&ABC=S&AED，SAACD=SXAFE=S,

・ED小一1

S^AEFEF2

.一].

:♦S&ABC=S&ADE=2S.：*S正五边形A8CDE=SAAOE:+SAAOC+SAABC=

巧1§+S+^lS=y/5S.

2

.S正五边形A8CDE、/

=y[5.

S&AEFS

24.解：(1)30°；PA=