高考理科数学新课标I试题及解析

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试题类型：A

2016年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

本卷须知:

L本试卷分第一卷(选择题)和第二卷(非选择题)两局部.第一卷1至3页,

第二卷3至5页.

2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.

3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.

4.考试完毕后，将本试题和答题卡一并交回.

第一卷

一.选择题：本大题共12小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有

一项为哪一项符合题目要求的.

(1)设集合A={X|/-4X+3V0},B={X|2X-3>0},则A08=

3333

(A)(-3,--)(B)(-3,-)(C)(1,-)(D)(-,3)

2222

(2)设(l+i)x=l+yi,其中x,y是实数，则|x+.yi|二

(A)1(B)&(C).(D)2

(3)等差数列{q}前9项的和为27,《0=8,则砧二

(A)100(B)99(C)98(D)97

(4)某公司的班车在7:00,8:00,8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,

「L到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是

(A)-(B)-(C)-(D)-

3234

22

xv

(5)方程「--------T-二1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4,则〃的取值

m~+n3〃厂-n

范围是

(A)(-1,3)(B)(-1,^/5)(C)(0,3)(D)(0,小)

(6)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆

中两条相互垂直的半径.假设该几何体的体枳是空工，则它的

3

外表积是()

(A)ac<b((B)abc<bac

(C)a\o^hc<b\ogac(D)log^c<log/?c

(9)执行右面的程序图，如果输入的

x=0.y=L〃=1.则输出x.y的值满

(A)y=2x(B)y=3x

(C)y=4x(D)y=5x

(10)以抛物线C的顶点为圆心的圆交。于A、8两点，交

C的准线于。、E两点.|4同=4后，|/汨=2后,则。的焦

点到准线的距离为

(结束」)

(A)2(B)4

(C)6(D)8

(11)平面〃过正方体48。)如丛。］。的顶点八，〃〃平面。8曲，4C平面48c/)=/〃，4C平

面A3A由尸〃，则/〃、〃所成角的正弦值为

12.函数/(#=S皿5+9)3>(),|同<9，X=一?为/(x)的零点，X=?为)，=/(x)图

像的对称轴，且/(X)在(二TT，三5/rI单调，则。的最大值为

(1836>

(A)11(B)9(C)7(D)5

第II卷

本卷包括必考题和选考题两局部.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试

题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.

二、填空题：本大题共3小题，每题5分

(13)设向量a=Q〃，1)>b=(\,2)»且|a+济=|a/+|力F，则m=o

(14)(2%+«产的展开式中，/的系数是o(用数字填写答案)

(15)设等比数列｛%｝满足0+«3=10，(12+(14=5»则…的最大值为0

(16)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料。生产一件产品A需要

甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时：生产一件产品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,

用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元。该企业

现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B

的利润之和的最大值为元。

三.解答题：解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤.

(17)(此题总分值为12分)

△A8C的内角人，B.C的对边分别别为a,b,c,2cosC｛acosB+hcosA)=c.

(I)求C:

(II)假设。=5,二ABC的面积为述，求AA5C的周长.

2

(18)(此题总分值为12分)

如图，在以A,B,C,D,E,”为顶点的五面体中，面ABE/为正方形，AF=2FD,

ZAFD=90,且二面角。/尺E与二面角C-BE-F都

是60.

(I)证明平面

(II)求二面角E-8CA的余弦值.

(19)(本小题总分值12分)

某公司方案购置2台机器，该种机器使用三年后

即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购置这种零件作为备件，每个200

元.在机器使用期间，如果备件缺乏再购置，则每个500元.现需决策在购置机器时应同时购

置几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得

下面柱状图：

以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X

表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，〃表示购置2台机器的同时购置的易损零件数.

(1)求X的分布列：

(II)假设要求尸(XW〃)20.5,确定〃的最小值：

(III)以购置易损零件所需费用的期望值为决策依据，在〃=19与〃=20之中选其一，应

选用哪个

20(本小题总分值12分)

设圆/+)，2+2,.]5=0的圆心为A,直线/过点8(1,0)且与x轴不重合，/交圆4

于C,。两点，过ZT作AC的平行线交A。于点E.

(I)证明|砌+值四为定值,并写出点E的轨迹方程;

(H)设点E的轨迹为曲线C,直线/交Ci于M.N两点，过。且与，垂直的直线与圆A交

于P,Q两点，求四边形MPN。而积的取值范围.

(21)(本小题总分值12分)

函数/0)=(x-2)ex+a(x-\)2有两个零点.

⑴求”的取值范围；

(H)设X1,12是/(X)的两个零点，证明：内+工2<2

请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做,则按所做的第一题计分,

做答时请写清题号

(22)(本小题总分值10分)选修4-1：几何证明选讲

如图，△048是等腰三角形，乙408=120°.以。。为

圆心，为半径作圆.

⑴证明：直线八8与。相切：

(II)点C,。在。。上，且人B,C,。四点共圆，证明：AB

//CD.

(23)(本小题总分值10分)选修I：坐标系与参数方程

X=(ICOS/

在直线坐标系mv中，曲线Ci的参数方程为《(，为参数，«>0)

y=1+asinf

o在以坐标原点为极点，X轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：P=4cos6»

(I)说明G是哪种曲线，并将G的方程化为极坐标方程：

(II)直线C,的极坐标方程为。=%,其中％满足lana°=2,假设曲线G与C2的公共

点都在C3上，求Q

(24)(本小题总分值10分)，选修4-5：不等式选讲

函数/(x)=|x+l]—|2x-3|

(I)在答题卡第(24)题图中画出)，=/(x)的图像：

(H)求不等式|/(幻|>1的解集。

2016年新课标I高考数学(理科)答案与解析

(答案仅供参考)

1./1=卜,-4x+3<o}={x[l<x<3},B={A|2X-3>()}=xx>^.

3

故人8={x-<x<3>.

2

应选D.

2.由(l+i)x=l+yi可知：x+x/'=l+y/',故|,解得：?.

x-y[v=1

所以，k+yi\=旧+=yjl.

应选B.

3.由等差数列性质可知：59=%*=论|4=94=27,故为=3,

而4O=8,因此公差d==l

10-5

/.41n=4c+90d=98.

应选C.

4.如以以下列图，画出时间轴:

小明到达的时间会随机的落在图中线段AB中，而当他的到达时间落在线段AC或08

时，才能保证他等车的时间不超过10分钟

根据几何概型，所求概率2=必辿=1.

402

应选B.

5.—r-----\----=I表示双曲线,则(nr+一〃)>0

3W-n、八7

-nr<n<3m2

由双曲线性质知：c2="+〃)+(3/-=4〃P,其中c是半焦距

二焦距2c=22网=4,解得网=1

/.-1<n<3

应选A.

6.原立体图如以以下列图：

是一个球被切掉左上角的:后的三视图

O

外表积是］的球面面积和三个扇形面积之和

8

应选A.

7./(2)=8-e2>8-2.82>0,排除A

/(2)=8-e2<8-2.72<l,排除B

x>0时，f(x)=2x2-ex

x/

f(x)=4x-e,当xe(0,力时，/(x)<ix4-e0=0

4

因此在(0,；)单调递减，排除C

应选D.

8.对A：由于0<c<l,•••函数y=炉,在R上单调递增，因此>"，A错误

对B：由于Tvc-1V。，・•・函数y=在。,+8)上单调递减，

/.«>/?>I<=>ar1<b'1<=>/?«'<ab',B错误

对C要比照alog.c和bkgc,只需比照业和生，只需比照上上和曲只

In/?Inab\nba\na

需bln-和aIna

构造函数〃x)=Hnx(x>l),则7(x)=lnx+l>l>0,/(x)在(l,+oo)上单调

递增，因此f(a)>/(/?)>0<=>«lna>/?ln/?>0<=>—-—<——

aInab\nb

IncInc

又由()<c，<1得lnc<0,------<-------o/?log“c<alog〃c,C正确

aInab\nb

对D：要比照log,和c,只需比照巫和巫

InaInb

而函数y=lnx在(1,+co)上单调递增，故1=Ina>in/?>0<=>—!―<—!―

InaInb

又由0<c<l得lnc<0,>曲^。k)g“c>log/,c,D错误

InaInb

应选C.

9.如下表:

判断

循环节运XX=X+是否

[2)y(y=ny)〃(〃=〃+1)

行次数x2+y2>36输出

运行前01//1

第一次01否否2

第二次2否否3

2

3

第三次6是是

2

3

输出x=1,y=6,满足y=4x

应选C.

10.以开口向右的抛物线为例来解答，其他开口同理

设抛物线为产=2/»(〃>0),设圆的方程为f+)3=/，题目条件翻译如图:

点在抛物线r=2Px上，・•・8=2/%……①

点74(/,2&)在圆x2+>'2=r2上，/.玉；+8=r.......③

联立①②③解得：〃=4,焦点到准线的距离为〃=4.

应选B.

11.如以以下列图:

a〃平面,・•.假设设平面eg"C平面ABCD=mit则叫〃机

又•・•平面A8C。〃平面ABC。，结合平面看RCn平面ABCR=BR

/.BlDi//mx,故BlDl〃m

同理可得：。。〃〃

故〃?、〃的所成角的大小与用"、CR所成角的大小相等，即NCQ出的大小.

而qC=4A=C。（均为面对交线），因此NC〃4=工，BPsinZCD,^=—

32

应选A.

12.由题意知：

则。=24+1,其中ZeZ

n57r单调，.•.2一2=二4704|2

.f(x)在

18,363618122

接卜.来用排除法

假设@=此时fa)=sin(llx/],/(x)在(工递增,在(至，学)递

4k4J11844J14436J

减，不满足/（刈在（白,工］单调

11XJO）

假设0=99=；,此时/(x)=sinj9x+；J,满足/")在（工2］单调递减

411836）

应选B.

13.由得：a+〃=(,〃+1.3)

|«+/?|2=(川+1)2+3?=m2+\2+\'+22,解得〃?=-2.

14.设展开式的第2+1项为加,丘｛0,123,4,5｝

t-4

当5-^=3时，k=4,即7；=C；25TiW=]op

故答案为10.

15.由于｛q｝是等比数列，设氏=40一，其中q是首项，夕是公比.

4=8

.也+仆印。4+”°，解得:

••4I-

出+4=54"4。=5

/jx(-3)>(-2)..>(n-4)声“引/j郡

+

故凡=.,.—也=图七)七J

7Y49

49n~2)-T

当〃=3或4时-三取到最小值-6,此时取到最大值26.

4

所以q・%・…•cin的最大值为64.

16.设生产A产品x件，B产品），件，根据所消耗的材料要求、工时要求等其他限制条件,

构造线性规则约束为

目标函数z=2100x+900y

作出可行域为图中的四边形，包括边界，顶点为(60,100)(0.200)(0,0)(90,0)

在(60.100)处取得最大值，z=21(X)x6()+9(X)x1(X)=216(MX)

17.(l)2cosC(ncosJ54-/?cos/l)=c

由正弦定理得：2cosC(sinA-cosfi+sincosA)=sinC

VA+B+C=n,A、B、Ce(0,7t)

sin(A+B)=sinC>0

2cosC=l»cosC=-

2

*/C€(0,兀)

/.c=-

3

⑵由余弦审理得：C2=“2+//-2Z/"COSC

ab=6

・•・(“+〃>-18=7

Z.AAfiC周长为a+〃+c=5+>/7

18.⑴:ABET为正方形

・•・AFLEF

,：ZATO=90°

:.AFA.DF

■:DFr\EF=F

:.AF、_L面EFDC从歹_1_而ABEF

:.平面ABEF±平面EFDC

⑵由(1)知ZDFE=ZCEF=60°

VAB//EF

48二平面后尸£心

Ebu平面EFDC

:.A8〃平面ABCD

ABu平面ABC。

,:而ABCD而EFDC=CD

：.AB//CD

C.CD//EF

・•.四边形制叱为等腰梯形

以E为原点，如图建设坐标系，骸FD=a

a0百、

E«=(0,2a,0),BC=-9—2。9------(I,A8=(—2a,0,0)

22

设面BEC法向量为m=(x,y,z).

2a,b=0

m-EB=0Hn

,即，ay/3

m-BC-0-xl-2t/y1+—«-z,=0

设面ABC法向量为〃=(占，y2,z2)

〃-BC=0即恭-2ay2+多马=。

〃AB=02aq=°

设二面角E—4C—A的大小为0.

・•・二面角七一4。—A的余弦值为一名叵

19

19.⑴每台机耕更换的易损零件数为8,9,10,11

记事件A为第一台机器3年内换掉i+7个零件(i=1,2,3,4)

记事件8,为第二台机器3年内换掉i+7个零件(/=123,4)

由题知P(A)=P(A)=P(4)=P(8j=P(83)=P(区)=0.2,P(4)=尸(&)=0.4

设2台机器共需更换的易损零件数的随机变量为X,则X的可能的取值为16,17,

18,19,20,21,22

X16171819202122

p0.040.160.240.240.20.080.04

⑵要令咋W〃)>0.5,0.04+0.16+0.24<0.5,0.04+0.16+0.24+0.2420.5

则〃的最小值为19

⑶购置零件所需费用含两局部，一局部为购置机器时购置零件的费用，另一局部为备件

缺乏时额外购置的费用

当〃=19时，费用的期望为19x200+500x0.2+1000x008+1500x0.04=4040

当〃=2()时,费用的期望为20x2(X)+5(X)x().08+KXX)x0.04=4080

所以应选用〃=19

20.⑴圆A整理为("1)2+。=16,A坐标(-1,0),如图，

BE//AC,则/C=/E8。，由AC=4Q,则NO=/C,

二.AEBD=ND,则EB=ED

所以E的轨迹为一个椭圆，方程为三+上=1,(〉，H0)；

43

22

(2)c,：^+^=i；设/：1=殁，+1,

因为尸QJJ,设PQ:y=r〃（x-l）,联立/与椭圆0

x=my+1

x2y2得(3M+4)>2+6町-9=0；

-4+T-

,36〃/+36(3加+4)12(nr+1)

则|MN|=Jl+,/|%f|=Vl+W2

3ml+43〃『+4

圆心4到PQ距离d=.“尸二'=「2叫,

x/l+nr\j\+m2

所以IPQI=2"|A0i=2^16-j^r=,

21.⑴由得：/'(x)=(x-l)6rl+2«(x-l)=(x-l)p+2«)

①假设4=0，那么〃x)=0o(x-2)靖=0<=>x=2,f(x)只有唯一的零点x=2,

不合题意：

②假设"0，那么"+2a>e*>0,

所以当x>l时，/'(工)>0，/")单调递增

当％V1时,/,（A）＜0,/（X）单调递减

即：

X(F)1(l'y)

/V)—0+

/(x)1极小值t

故在（1,一）上至多一个零点，在（ro,l）上至多一个零点

由于/(2)=a>0,/(l)=_e<0,则/(2)/(1)<0,

根据零点存在性定理，/")在(1,2)上有且仅有一个零点.

而当x<l时，x-2<-l<0,

故/(x)=(x-2)e*+a(x-l『>e(x-2)+«(x-l)2=<z(x-1)2+e(x-l)-e

则〃x)=0的两根a=_"+；+*竺+1,’2=一"+£+4"£+l，h<h，因为

4>0，故当工</］或时，6Z(A-1)：+6,(x-l)-e>0

因此，当x<l且XV［时，/(x)>0

X/(l)=-e<0,杈据零点存在性定理，“X)在(-00,1)有且只有一个零点.

此时，/(1)在R上有且只有两个零点，满足题意.

③假设一|<a<0,则In(—2。)<Ine=1,

当尤<ln(—2a)时，x-I<ln(-2«)-l<0,e'+<^ln(-2<,)+2«=0,

即尸(x)=-2a)>0,单调递增：

当ln(-2«)<.¥<1时，x-\<0,e"+2a>*("“)+2a=0,即

1(x)=(x-l)(e，+勿)<0,/(x)单调递减：

当x>l时，x-l>0,er+2a>/E)+2a=0,即f'(x)>0,单调递增.

即：

.¥(y>,ln(-2a))ln(-2«)0n(-2〃)」)1(1,同

/(X)+0-0+

t极大值1极小值♦

而极大值

故当xWl时，/(X)在x=ln(-2a)处取到最大值/[ln(-2«)],那么

/(x)W/[ln(-2a)]<0恒成立，即〃x)=0无解

而当x>l时，/(X)单调递增，至多一个零点

此时/(x)在R上至多一个零点，不合题意.

④假设〃=-],那么In(-2a)=1

当x<l=ln(-2a)时，x-lvO,"+2a<*(-叫+2a=0,B|J/'(.r)>0,

〃力单调递增

当x>l=ln(-2")时，x-l>0,/+2a>*-20)+2a=o,即/(力>0,

/(%)单调递增

又/(x)在x=l处有意义，故/(“在R上单调递增，此时至多一个零点，不合题

意.

⑤假设a<—»则In(―2a)>I

当xvl时，A-1<0,，+2a</+2a<*("“)+2a=0,即/(x)>0,

/(x)单调递增

当l<x<ln(—2a)时，x-l>(),/+2a<*L旬+2a=0,即/'(x)<0,

/(%)单调递减

当x>】n(-2a)时，x-1>In(-2a)-1>0,F+2a>*'"")+2«=0,即/(x)>0,

单调递增

即：

X(f1)1(l,ln(-2a))ln(-2<7)(ln(-2a),+oo)

/1«+0-0+

小)t极大值1极小值t

故当xWln(-2“)时，/(x)在x=l处取到最大值/(l)=-e,那么/(x)W-e<0恒

成立,即〃x)=O无解

当x〉ln(-2a)时，/(力单调递增，至多一个零点

此时/(工)在R上至多一个零点，不合题意.

综上所述，当且仅当。>0时符合题意，即。的取值范围为(0,2).

(2)由得：〃xJ=/(w)=0,不难发现司工1,毛工1,

故可整理得：_,=($2)户=«―2耳

U-1)-

设g(x)=(：2J,则g(xj=g«)

(1)

那么/(x)=(i2)当x<l时，g[x)<0,g(x)单调递减：当x>l时，

(x-1)

g'(x)>0,g(x)单调递增.

设机>0,构造代数式：

设h(m)=—―-e2m+1,,«>0

〃?+1

则〃'(〃?)=2"./,”>(),故M〃j)单调递增，有"M>"0)=0.

(5+1)

因此，对于任意的m>0,g(l+m)>g(l-m).

由g(*)=g(9)可知A、％不可能在g(”的同一个单调区间上，不妨设不