代数复习课讲义

§2.10回顾与思考

编写：张宏涛审阅：张宏涛

♦学习目标：

1.通过更习，加深对一元二次方程的概念、解法的认识，体会“降次、转化”等数学思想.

2.能够利用一元二次方程来解答实际应用问题、数学综合问题等，知道它是解答数学问题的

重要工具和方法.

3.在学习活动中，要勤于思考、乐于展示、敢于质疑、善于创新.

♦学法指导：

①带着问题梳理本章的学习内容,弄清知识之间的内在联系，共同建立知识框图，形成整体性

认识；②领悟解一元二次方程实际上是利用“降次、转化”的思想，转化为解一元一次方程;

③学好本章的关键是熟练掌握一元二次方程的基本解法（直接开平方法、因式分解法、配方

法和公式法）和利用一元二次方程解决实际问题的方法；④独立自主与合作交流相结合.

♦学习过程：

一、自学交流：

1.内容：下面的基础知识和基本技能型习题.

2.学法：①先独自思考、解决，后小组内部交流并达成共识；②可翻阅课本；③关注“降

次、转化”等数学思想，体会一元二次方程是解答数学问题的重要工具和方法.

3.时间：自学15分钟，交流3分钟左右.

知识梳理：

1.一元二次方程的概念：形如：,a为二次项系数；b为一次项系数；c为

常数项.

2.一元二次方程的解法：

（1）直接开平方法:

（2）配方法:配方法解一元二次方程的基本步骤：①把方程化成一元二次方程的一般形式;

②将化成1;③把常数项移到方程的右边；④两边加上的一半的平方;

⑤把方程转化成的形式；⑥两边开方求其根.

（3）因式分解法:（主要包括“提公因式”和“十字相乘”）

（4）公式法:求根公式:...........................

3.•元二次方程的根的判别式：

（1）当「Tae〉。时，方程有的实数根；

（2）当bJ4ac=0时，方程有的实数根；

（3）当NTacVO时，方程.

4.韦达定理:

若一元二次方程以2+法+，=0的两实数根为Xi、心贝J有：X1+X,=--,X.^=-.

aa

5.用方程解决实际问题：

巩固训练：

1.已知（kl）彳.+3彳-2=0是关于x的一元二次方程，求勿的值.

2.用配方法解一元二次方程2/+1=3x.

3.用适当的方法解下列•元二次方程:

①3V—x=0.②/-2*—2=0.(3)(3户2)2-8(3户2)+15=0.

④(广2)(x+3)(x-4)(x-5)=44.

4.解下列方程，将所得到的解填入下面表格中:

方程XiX2小+%X\-x>

6x=0

/—5A+4=0

A；+3X—10—0

（1）通过填表，你发现这些方程的两个解的和与积与方程的系数有什么关系了吗?

（2）一般地，对于关于x的方程产+夕^0=。（P,0为常数，且02一前20）来说，是

否也具备（1）中你所发现的规律？如果具备，请你写出规律，并说明理由；如果不具备，

请举出反例.

5.某商场在促销活动中，将原价36元的商品，连续两次降价m%后现价为25元.根据题意

可列方程为.

6.已知线段AB的长为以AB为边在AB的下方作正方形ACDB.取AB边上一点E.以AE

为边在AB的上方作正方形AENM.过E作EF1CD.垂足为F点.若正方形AENM与四边形EFDB

的面积相等.则AE的长为多少？

二、展示释疑：

要求：①对于上述基础知识和基本技能型习题，小组长可陈述出错或不会的地方；②会的或

持不同观点的同学可争先答疑或补充.

三、反馈训练：

要求:①动手解决下面问题，计算过程力求做到：规范准确、条理清楚；②体会“降次、转化、

方程”等数学思想.

问题：1.方程2x（*—3）=E（>—3）的根是.

2.若关于x的一元二次方程A?-2x-l=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是一

3.若一元二次方程中的a+ZH-c=0,则该方程必有一根为.

4.下列方程没有实数根的是（）

A.4（Z+2）=3xB.5（Z—1）—>¥=0C.x—A=100D.9岁一24户16=0

5.关于x的方程（m-3）/加川7+6犬-1=0是一元二次方程的条件是.

6.请用两种不同的方法解方程（户3）（户1）=2户6.

7.如图所示，在长为10uni,宽为8ci”的矩形的四周截四个全等的小正方形，使得留下的

图形的面积是原矩形面积的80%,求所截去的小正方形的边长.

6.如图（I）,在宽为20加，长为32勿的矩形耕地上修建同样宽的三条道路（横向与纵向垂直）,

把耕地分成若干小矩形块，作为小麦试验出国，假设试验田面积为570就求道路宽为多少？

设宽为x/〃，从图（2）的思考方式出发列出的方程是_______________.

（二）能力提高:

1.当x=时，分式x十5J的值为0.

X-1

2.如图为一张方格纸，纸上有一灰色三角形，其顶点均位于某两网格线的交点上，若灰色三

21

角形面积为一平方公分，则此方格纸的面积为平方公分.

4

3.某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学

各送一张留作纪念，全班共送了2070张相片，如果全班有x名学生，

根据题意，列出方程为.

4.平面上不重合的两点确定一条直线，不同三点最多可确定3条直线，

若平面上不同的n个点最多可确定21条直线.则n的值为.

5.已知a,b,。均为实数，且五-6〃+9+M+4|+（c-1>=0,

求方程aV+以+<7=0的解.

6.已知关于x的一元二次方程5—2）x—k1=0,试说明无论勿取何值，这个方程总有两

个不相等的实数根.

7.为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度.2010

年市政府共投资2亿元人民币建设了廉租房8万平方米，预计到2012年底三年共累计投资

9.5亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同.

（1）求每年市政府投资的增长率；

（2）若这两年内的建设成本不变，求到2012年底共建设了多少万平方米廉租房.

（三）拔高训练：

1.解方程（X-1994）（x-1995）=1996X1997.

2.已知：DABCD的两边AB,力〃的长是关于x的方程f-加工+%->!■=（）的两个实数根.

24

（1）当用为何值时，四边形力仇力是菱形？求出这时菱形的边长；

（2）若小的长为2,那么5发力的周长是多少？

3.某商店以6元/千克的价格购进某种干果1140千克，并对其进行筛选分成甲级干果与乙级

干果后同时开始销售.这批干果销售结束后，店主从销售统计中发出：甲级干果与乙级干果

在销售过程中每天都有销量，且在同一天卖完；甲级干果从开始销售至销售的第x天色总销

量乂（千克）与x的关系为％=-f+40埼乙级干果从开始销售至销售的第t天的总销量必

（千克）与t的关系为度=加2+抗，且乙级干果的前三天的销售量的情况见下表：

t123

72214469

（1）求a.b的值；

（2）若甲级干果与乙级干果分别以8元/千克的6元/千克的零售价出售，则卖完这批干果

获得的毛利润是多少元？

（3）问从第儿天起乙级干果每天的销量比甲级干果每天的销量至少多6千克？

（说明：毛利润二销售总金额■进货总金额.这批干果进货至卖完的过程中的损耗忽略不计）

♦学后反思:

§5.5回顾与思考

编写：张宏涛审阅：张宏涛

♦学习目标：

1.通过更习，加深对反比例函数的概念、图象与性质的认识.

2.能够运用反比例函数的概念、图像与性质进行推埋、计算，注重解题方法的多样性.

3.在学习活动中,要勤于思考、乐于展示、敢于质疑、善于创新.

♦学法指导：

①带着问题梳理本章的学习内容,弄清知识之间的内在联系，共同建立知识框图，形成整体性

认识；②注重“数形结合”，力求让图形说话，发展从图象中获取信息的能力；③独立自主

与合作交流相结合.

♦学习过程：

一、自学交流：

1.内容：下面的基础知识和基本技能型习题.

2.学法：①先独自思考、解决，后小组内部交流并达成共识；②可翻阅课本；③关注“数

形结合”，力求让图形说话，体会“函数”、“方程”等数学思想.

3.时间：自学10分钟，交流3分钟左右.

（-）反比例函数的概念：

一般地，如果两个变量x、y之间的关系可表示成的形式，那么称y是x的反

比例函数。反比例函数有三种表达方式：,,、.

注意：反比例函数的自变量x不能为.

巩固训练一：

1.下列函数中，反比例函数是（）

A.x（y-l）=lB.y=-^―C.y=-^

D.y=—

x+l厂3x

2.下列函数中，是反比例函数的是（）

A.y=2x+lB.y=0.75xC.x:y=18D.xy=-1

3.下列函数中，不是反比例函数的是（)

D.xy=2

xX3

4.函数y=」—,当x=2时没有意义，则。的值为

x-a

（二）绘制反比例函数凸显的基本步骤

（三）反比例函数的图象和性质:

1.反比例函数的图象是两支双曲线：

当k〉0时，两支曲线分别位于内，在每一象限内，y的值随x值的而减小;

当k<0时，两支曲线分别位于内，在每一象限内，y的值随X值的而增大.

2.反比例函数的图象不与坐标轴相交原因：因为，所以和x轴没有交点；因为

—,所以和y轴没有交点.

3.反比例函数的图象原点（填经过或者不经过）.

4.反比例函数的图象自身是轴对称图形，它有两条对称地对称轴直线解析式为；

图象也是关于的中心对称图形.

5.在一个反比例函数图象上任取两点P,Q,分别过P,Q作x轴、y轴的平行线，与坐标轴

围成的矩形面积为九4,则有8=$2=.

巩固训练二:

1.如果反比例函数&的图像经过点（一3,-4）,那么函数的图像应在（）

x

A.第一、三象限B.第一、二象限C.第二、四象限D.第三、四象限

2.反比例函数），=与仅>0）在第一象限内的图象如图，点M是图像上一

x

点，MP垂直x轴于点P,如果△'【（）「的面积为1,那么火的值是

3.已知反比例函数），二竺小的图象具有下列特征:在所在象限内，），的

x

值随X的增大而增大，那么的取值范围是.

4.若反比例函数y=（2〃?-l）x""2的图像在第二、四象限，则〃？的值是（）

A.—1或1的任意实数C.-1D.不能确定

22

5.对于函数尸一，当X〉。时，y_____0,这部分图象在第______象限;对于y=—-,当

xx

x<0时，y—这部分图象在第象限.

6.下列函数中，图象象位于第一、三象限的有,在图象所在象限内，），的值

随x的增大而增大的有.

0.12^—7

®y=—®y=——③了=——④）'=77^-

2xxx1（）0x

（四）确定反比例函数关系式的方法：待定系数法

找一对x与y的对应值或者图像上任一点的坐标即可.

巩固训练三：

1.如果反比例函数产V的图象经过点（-2,V2）那么这个反比例函数的关系式为

X

2.函数>二七的图象经过点（一4,6）,则下列各点中在），=4图象上的是（）

XX

A.（3,8）B.（3,-8）C.（-8,-3）I）.（-4,-6）

3.已知反比例函数的图像经过点（。，/?）,则它的图像一定也经过（）

A.（―a,—b）B.[a,—b）C.（—a,b）D.（0»0）

4.反比例函数y=K的图像经过（一3,5）点、（〃，-3）及（10,Z?）点，则攵=___

x2

a=，b=.

（五）反比例函数和•次函数的图像的关系:

函数正比例函数反比例函数

解析式

图象形状

K>0

K<0

巩固训练四：

1.已知正比例函数y=ax的图象与反比例函数y=9二3的图象有一个交点的横坐标是1,

x

求它们两个交点的坐标.

2.在同一直角坐标平面内，如果直线y=2/与双曲线），=与没有交点，那么仁和42的关

x

系一定是（）

A.^,<0,k/0B.%>0,&<0C.k「七同号I）.《、的异号

2

3.一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=——的图象交于A,B两点，且点A的

x

横坐标与点B的横坐标分别是方程f+x—2=0的两个根，求一次函数的解析式。

二、展示释疑：

要求：①对于.上述基础知识和基本技能型习题，小组长可陈述出错或不会的地方；②会的或

持不同观点的同学可争先答疑或补充.

三、反馈训练：

要求：①动手解决下面四个问题；②解题过程力求做到：因果相应、思路清晰、推算准确.

问题：1.在同一坐标系中，函数）'=4和y=Zx+3的图像大致是（）

2.正方形ABOC的边长为2,反比例函数），=月过点A,则k的值是（）

x

A.2B.-2C.4D.-4

3.如上图，A为反比例函数y=-图象上一点，AB垂直x轴于B点，若SAAOB=3,则％的值为（）

x

3

A.6B.3C.-D.不能确定

2

4.如图，RtAABO的顶点A是双曲线y=K与直线)，=-x—伙+1)在第二象限的交点，AB

x

•轴于B且S△皿=3(1)求这两个函数的解析式；(2)求直线与双曲线的两个交点A,

2

C的坐标和aAOC的面积.

四、归纳总结：

结合本节课的知识结构，围绕“四基”进行归纳总结.

♦学后练习：

(-)基础训练：

1.如图，过y轴上任意一点P,作x轴的平行线，分别与反比例函数尸-二4和尸士2的图象

xx

交于A点和B点，若C为x轴上任意一点，连接AC,BC,则AABC的面积为.

2.如图，直线y=x+2与双曲线丫=巴，在第二象限有两个交点，那么m的取值范围为

x

k

3.已知一次函数y尸kx+b与反比例函数丫2=一在同一直角坐标系中的图象如图所示，则当y1

x

Vy2时，x的取值范围是.

4

4.如图在等腰RtAOBA和等腰RtABCD中，Z0BA=ZBCD=90°,点A和点C都在双曲线y=-

x

(k>0)上，求点D的坐标是—

(二)能力提高:

1.如图，直线y=-x+b(b>0)与双曲线y=K(x>0)交于A、B两点，连接OA、OB,AM±y

x

轴于M,BN_Lx轴于N；有以下结论：

®OA=OB

②△AOMZ/XBON

③若NA0B=45。，则SZVOB二k

④当AB二6■时，ON-BN=1；

其中结论正确的个数为.

2.如图，直线尸6-x交x轴、y轴于A、B两点,

x

线下方的一点，过点P作x轴的垂线，垂足为点U,交AB于点E,过