弹性力学试题及统一标准答案

弹性力学与有限元分析复习题及其答案

一、填空题

1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度变化等因素而发生应力、形变和位移。

2、在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正,缩短时为负,与正应力正负号规定相适应。

3、在弹性力学中规定，切应变以直力变小时为正,变大时为侦,与切应力正负号规定相适应。

4、物体受外力后来，其内部将发生内力,它集度称为应力。与物体形变和材料强度直接关于，是应

力在其作用截面法线方向和切线方向分量,也就是正应力和切应力。应力及其分量量纲是

L'MT2O

5、弹性力学基本假定为持续性、完全弹性、均匀性、各向同性。

6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。

7、己知一点处应力分量=100MPa,b、,=50MPa,rvv=10V50MPa,则主应力cr尸国MPa,

cr2=OMPa，%=3516'。

8、己知一点处应力分量，crr=200MPa,bv=0MPa,rvv=-400MPa,则主应力。产“2MPa,

<T2=-312MPa,%=-37°57'。

9、已知一点处应力分量，（7v=-2000MPa,巴=1000MPa,rvv=-400MPa,则主应力巧=1052

MPa,%=-2052MPa,.=-82°32'。

10、在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、儿何学和物理学三方面条件,分别建立三套方程。

11、表达应力分量与体力分量之间关系方程为平衡微分方程,

12、边界条件表达边界上位移与约束,或应力与面力之间关系式。分为位移边界条件、应力边界条

件和混合边界条件。

13、按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。

14、有限单元法一方面将持续体变换成为离散化构造,然后再用构造力学位移法进行求解。其详细

环节分为单元分析和整体分析两某脑。

15、每个单元位移普通总是包括着两某些：一某些是由本单元形变引起,另一某些是由于其她单元

发生了形变而连带引起。

16、每个单元应变普通总是包括着两某些：某些是与该单元中各点位置坐标关丁，是各点不相似，

即所谓变量应变;另一某些是与位置坐标无关，是各点相似，即所谓常量应变。

17、为了能从有限单元法得出对的解答，位移模式必要能反映单元刚体位移和常量应变,还应当尽

量反映相邻单元位移持续性。

18、为了使得单元内部位移保持持续，必要把位移模式取为坐标单值持续函数,为了使得相邻单元

位移保持持续，就不但要使它们在公共结点处具备相似位移时,也能在整个公共边界上具备相似

位移。

19、在有限单元法中，单元形函数M在i结点2=1；在其她结点及

20、为了提高有限单元法分析精度，普通可以采用两种办法：一是将单元尺寸减小,以便较好地反

映位移和应力变化状况；二是采用包括更高次项位移模式,使位移和应力精度提高。

二、判断题（请在对的命题后括号内打“J”，在错误命题后括号内打“义”）

1、持续性假定是指整个物体体枳都被构成这个物体介质所填满，不留下任何空隙。（V）

5、如果某一问题中，6=J.N,V=0,只存在平面应力分量%，%,%,,且它们不沿z方向变

化，仅为X,y函数，此问题是平面应力问题。（J）

6、如果某一问题中，£二=7>=/寸=0,只存在平面应变分量3,九、,，且它们不沿z方向变化,

仅为x,y函数，此问题是平面应变问题。（J）

9、当物体形变分量完全拟定期，位移分量却不能完全拟定。（V）

10、当物体位移分量完全拟定期，形变分量即完全拟定。（、，）

14、在有限单元法中，结点力是指结点对单元作用力。（J）

15、在平面三结点三角形单元公共边界上应变和应力均有突变。（J）

三、分析计算题

1、试写出无体力状况卜平面问题应力分量存在必要条件•，并考虑卜.列平面问题应力分量与否也许在

弹性体中存在.

(1)(yx=Ax+By,av=Cx+Dy,rvv=Er+Fy；

2222

(2)(rx=A(x+y),(j=B(x+y),rXY=Cxy；

其中，4,B,C,D,E,“为常数。

况।句

dxdy

解：应力分量存在必要条件是必要满足下列条件：（1）在区域内平衡微分方程(2)

也+也二0

dydx

分2、f(/cr+/??r)=/vG)

在区域内相容方程宜一(%.+%,)=0；(3)在边界上应力边界条件£■.,：(4)

斯),](，町.+/%),=/《z)

对于多连体位移单值条件。

（1）此组应力分量满足相容方程。为了满足平衡微分方程，必要A=-F,D=-E.此外还应满足

应力边界条件。

（2）为了满足相容方程，其系数必要满足A+B=O；为了满足平衡微分方程，其系数必要满足

A=B=-C/2.上两式是矛盾，氏而，此组应力分量不也许存在。

232

2、已知应力分量o\=-。I）」-C]/,ay=-^C2xy,rvv=-C2y-C3xy,体力不计，Q为常数。

试运用平衡微分方程求系数G，C2,Q。

解：将所给应力分量代入平衡微分方程

dydx

得

2222

-Qy+3C,X-3C2y-C,x=0

-3C2xy-2C3xy=0

即

22

(3C-C3)x-(e+3C2),y=0

(3C2+2C.)xy=0

解:应变分量存在必耍条件是满足形变协调条件，即

dy2dx2dxdy

将以上应变分量代入上面形变协调方程，可知：

（1）相容。

（2）2A+2By=C（I分）；这组应力分量若存在，则须满足：B=0,2A=CO

（3）（）=C；这组应力分星若存在，则须满足：C=0,则£\=0,4,=0，/tv=0（I分）。

5、证明应力函数。=〃/能满足相容方程，并考察在如图所示矩形板和坐标系中能解决什么问题（体

力不计，to0）o

解：将应力函数8=勿，2代入相容方程

&4&2/2办4-

可知，所给应力函数°二与，2能满足相容方程。

由于不计体力，相应应力分量为

d2（pd-（pd2（p

dy^dx~dxdy

对于图示矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时，依照边界条件，上下左右四个边上面力分

别为：

上边，丫=々，/=（），m=-\,fx=-（T）〃=（）,/V=-（（TV）；,=（）；

2y=--'y=--

下边，y=4，/=0，ml,/；.=«）/f=0»八=9J〃=0；

2>>=->=-

左边，x=-^-,l=-\,tn=O,fx=-((rx)t=-2b,/；=-(%)z=0；

右边，x=(,/=1,m=0，/V=(<7V)]=2b,/v=(rn.).=0。

可见，上卜两边没有面力，而左右两边分别受有向左和向右均布面力2b。因而，应力函数°4)3

能解决矩形板在x方向受均布拉力(/»())和均布压力"<())问题。

6、证明应力函数叱町，能满足相容方程，并考察在如图所示矩形板和坐标系中能解决什么问题(体

力不计，的2)。

解：将应力函数代入相容方程

与学斗0

dx4dx2dy2dy4

可知，所给应力函数外但，能满足相容方程.

由于不计体力，相应应力分量为

d2(p八d2(pd-(p

b、=H=0，%=十二°n，&=-^=一〃

dydxoxdy

对于图示矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时，依照边界条件，上下左右四个边上面力分

别为：

h——

上边,?

>=—*/句，"PT，人=一（％）_广。，4=-（crv）^=0

Ly~~2y~~2

h——

下边,尸5,M),后，，=6,)="/产亿)町

左边，4二，/=-l，/D,/V=-（（TV）/=0,/v=-（rvv）[=a；

2X=——.X=——

右边，x=-»/=1>tn=O»fx=((Tr)i=0>«/>),=(%.)产一。。

可见，在左右两边分别受有向下和向上均布面力m而在上下两边分别受有向右和向左均布面

力因而，应力函数43'能解决矩形板受均布剪力问题。

7、如图所示矩形截面长坚柱，密度为夕，在一边侧面上受均布剪力，试求应力分量。

'解：依照构造特点和受力状况，可以假定纵向纤维互不挤压，即设巴=0。

由此可知

将上式对y积分两次，可得如下应力函数表达式

0(x，y”/；*))'+/2(x)

将上式代入应力函数所应满足相容方程则可得

d\fx(X)d\fAx)

)dx4dx4

这是)，线性方程，但相容方程规定它有无数多解(全柱内y值都应当满足它)，可见它系数和自由项

都应当等于零，即

这两个方程规定

/)(x)=At°22

+BX+CX+I,f2(x)=Dx\Ex+Jx+K

代入应力函数表达式,并略夫相应力分量无影响一次项和常数项后.便得

(p=y(Ax'+Bx2+Cx)+Dx3+Er2

相应应力分量为

?=y(6人Ti2B)I6Dx12Ep^y

d2(p

3AX2-2BX-C

dxdy

以上常数可以依照边界条件拟定。

左边，x=（）,Z=-l,沿），方向无面力，因此有

-（%）厂0=。=。

右边，x=b,1=1,nt=Q,沿y方向面力为4,因此有

（%，）Z=-3A6-23%

上边，），=0,/=（），6=-1,没有水平面力，这就规定Qy在这某些边界上合成主矢量和主矩均

为零，即

£（rxy）v=ot/x=O

将入y表达式代入，并考虑到CW，则有

^-3Ax2-lBx）dx=-Axy-Bx2\彳=-A〃一即2=0

而［）（不外）产0.041=°自然满足，又由于在这某些边界上没有垂直面力，这就规定。、.在这某些边界上

合成主矢量和主矩均为零，即

将。）,表达式代入，则有

1(6"+2后)仆342+2端=3m2+2Eh=0

^\6Dx+2E)xdx=2Dx3+Er2|^=2Db*+Eb2=0

由此可得

应力分量为

虽然上述成果并不严格满足上端面处（）=0）边界条件，但按照圣维南原理，在稍远离），=0处这一成

果应是合用。

dVdV

8、证明：如果体力分量虽然不是常量，但却是有势力，即体力分量可以表达为人

dx6

其中V是势函数，则应力分量亦可用应力函数表达为，。产驾+V，=C2+v，0产咯工

dy2,dr'dxdy

试导出相应相容方程。

证明：在体力为有势力状况下，按应力求解应力边界问题时，应力分量。.，by，Qy应当满足平衡

微分方程

初13K皿二0

dxdydx

（1分）

啊/“,dV_

——一十-------------=0

dydxdy

还应满足相容方程

匚+当1%+,）=-（1+;//组+芟］（对于平面应力问题）

［dx2dy2/x>r'\dxdy）

（W+3］（O\+CT、.R—J组理］（对于平面应变问题）

［dx2dy2Vx、厂1-认证dyJ

并在边界上满足应力边界条件（1分）。对于多连体，有时还必要考虑位移单值条件。

一方面考察平衡微分方程。将其改写为

这是一种齐次微分方程组。为了求得通解，将其中笫一种方程改写为

凯呜5

依照微分方程理论，一定存在某一函数A（x,y）,使得

0A

T

dx

同样，将第二个方程改写为

的产+j（i分）

可见也定存在某函数6(x,)，)，使得

vdBdB

由此得

dA=dB

dx~dy

因而又一定存在某一函数0(xy)，使得

展”，B亚

dydx

代入以上各式，得应力分量

d2(p..d2(pd2(p

'dy2-dx2'dxdy

为了使上述应力分量能同量满足相容方程，应力函数0(x,)，)必要满足一定方程，将上述应力分

量代入平面应力问题相容方程，得

停告I券嗜+叩"停等卜

豹9借给

简写为

vV=-(i-//)v2v

将上述应力分量代入平面应变问题相容方程，得

(小-小l人力广dx~)1一〃(&_dy~)

[dx2dy2ldy2dx2)dy2)1-认"力/

简写为

v4^=-lz?^v2v

9、如图所示三角形悬臂梁只受重力作用，而梁密度为「，试用纯三次应力函数求解。

解：纯三次应力函数为

(p=axy+bx2y+cxy2+dyy

相应应力分量表达式为

CXOY

巴=登-犷=2+64»cr产岩M=6+2勿-侬，tXY=-——=-2bx-2cy

dydxoxdy

这些应力分量是满足平衡微分方程和相容方程。当前来考察，如果恰当选取各个系数，与否能满足

应力边界条件。

上边，)=0,1=0,m=-\,没有水平面力，因此有

户o=2力4。

对上端面任意x值都应成立，可见

b=O

同步，该边界上没有竖直面力，因此有

一(*，))=o=6ax=O

对•上端面任意x值都应成立，可见

a=O

因而，应力分量可以简化为

ax=2cx+6dy,crv=-pgy,rxy=-2cy

斜面，尸Hana,/=co§-=-sina,m=cos(-a)=cosa,没有面力，因此有

(/crv+/nrvJ=0

(WCTV+/T)=0

\J^,y,=xtana

由第一种方程，得

一（2CY+6公tana）sin。-2cttanacosa=-4cxsina—6公tanasina=O

对斜面任意乂值都应成立，这就规定

-4c-6</tana=0

由第二个方程，得

2crtanasina一点Manacoscr=2c¥tanasina-/^¥sina=（）

对斜面任意x值都应成立，这就规定

2ctana-夕g=0（1分）

由此解得

c=—pgcota（I分），d=—p^cot2a

23

从而应力分量为

2

o\=pgxcota-2p^ycola,crv=-pgy，rxy=-p^ycota

设三角形悬臂梁长为/,高为九则tana=，。依照力平衡，固定端对梁约束反力沿*•方向分量

为0,沿y方向分量为一居4。因而，所求在这某些边界上合成主矢应为零，「外应当合成为反

£(bJ/由'=1(pglcota-2pgycot2a)dy=pgIhcota-pgh2cot2a=0

£（rv.yL/dy=^pgyco\a）dy=—pglrco\a=—pglh

可见，所求应力分量满足梁固定端边界条件。

10、设有楔形体如图所示，左面铅直，右面与铅直面成角a,下端作为无限长，承受重力及液体压

力，楔形体密度为介，液体密度为02,试求应力分量。

解：采用半逆解法。一方面应用量纲分析办法来假设应力分量

函数形式。取坐标轴如图所示。在楔形体任意一点，每一种应

力分量都将由两某些构成.：一某些由重力引起，应当与qg成

正比（g是重力加速度）；另一某些由液体压力引起，应当与

p2g成正比。此外，每一某些还与。，X，），关于。由于应力

展纲是L'MT2,P[g和p2g量纲是L2MT2,a是黄纲一

量，而工和厂易纲是L,因而，如果应力分量具备多项式解答，那么它们表达式只也许是A"苞，

即话y,Cp?gx,四项组合，而其中A,B,C,。是量纲一量，只与a关于。这就是说，

各应力分量表达式只也许是x和y纯一次式。

另一方面，由应力函数与应力分量关系式可知，应力函数比应力分量长度量纲高二次，应当是

x和），纯三次式，因而，假设

（p=axs+bx~y+cxy1+dy'

相应应力分量表达式为

b、二学一或=2cx+6dy，ay=^-yfY=6ax+2by-p,gy,rXY=-^-=-2bx-2cy

dy^~dxdxdy

这些应力分量是满足平衡微分方程和相容方程。当前来考察，如果恰当选取各个系数，与否能满足

应力边界条件。

左面，x=o,/=-1,〃?=o,作用有水平面力0gy，因此有

一（。）=0=-6"）=。2眇

对左面任意y值都应成立，可见

T

同步，该边界上没有竖直面力，因此有

-(rxv)x=o=2cy=O

对左面任意