第一至第六届全国大学生高等数学竞赛真题非数学类

2009-2015年全国大号医数号竞赛预赛诙乐（张披号）

2009年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷

一、填空题（每小题5分，共20分）

（x+j）ln（l+—）

1.计算——/vclvclv=,其中区域。由直线x+），=l和两坐标

JJDyj\-x-y

轴所围成三角形区域.

2.设/（X）是连续函数，且满足/（幻=3/_1）（不心一2,则/"）=.

3.曲面平行平面2%+2y-z=0的切平面方程是.

4.设函数>=）*）由方程x/'）=，ln29确定，其中/具有二阶导数，且

（#1,贝IJ.

x.2x..fixe

二、（5分）求极限lim'+'+…+，户,其中〃是给定的正整数.

XT。fl

三、（15分）设函数/"）连续，g（x）=J；/（"）df,且，A为常数，求短。）并

讨论g'（x）在x=0处的连续性.

四、（15分）已知平面区域O={（x,y）|0WxW不,OWyW〃},L为。的正向边

界，试证：

（1）1优疝vdy_^-sinW=1>dy_*；

LL

（2）|X*'d），-ye-sin）&之全2.

五、（10分）已知），17短+/，丹=2"+62'-67是某二阶

常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.

六、（10分）设抛物线y="+bx+2h]c过原点.当0CW1时，”0,又已

知该抛物线和工轴及直线x=l所围图形的面积为g.试确定出4c,使此图形

绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.

七、（15分）已知,（劝满足〃：（幻=%（功+产|/（〃=1,2,…）,且，求函数项

级数之和.

八、（10分）求戈-「时，和等价的无穷大量.

2010年第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷

一、（25分，每小题5分）

（1）设X”=（l+a）（l+*（1+/）,其中求limx.

n->oo

（2）求。

（3）设。>0,求Jo/公（〃=1,2,・..）。

（4）设函数/⑺有二阶连续导数,“7^7,g（x,y）=",求。

（5）求直线和直线「二=匕1=三0的距离。

~4-2-1

二、（15分）设函数/（X）在（-OO,〜）上具有二阶导数，并且

f\x）>0,limff（x）=a>0,limf\x）=/?<0,且存在一点玉），使得/（x）<0。

A-M-*/人—0

三、（15分）设函数y=/（x）由参数方程所确定，其中“⑺具有二阶导数，

曲线y二〃⑺和在7=1出相切，求函数”（?）o

四、（15分）设证明：

（1）当。>1时，级数收敛；

（2）当且s“-»co（〃->8）时，级数发散。

五、（15分）设/是过原点、方向为3人/）,（其中。2+夕+/=1）的直线,

均匀椭球

，其中（0<cv〃va,密度为1）绕/旋转。

（1）求其转动惯量；

（2）求其转动惯量关于方向（巴人为的最大值和最小值。

六、（15分）设函数0（工）具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭

曲线。上，曲线积分的值为常数。

（1）设L为正向闭曲线（%-2）2+1=1,证明

（2）求函数奴幻；

（3）设。是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求。

2011年第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷

一.计算下列各题（本题共3小题，每小题各5分，共15分）

⑴.求；

、.（111、

（2）.求lim-----1-------F...H------；

n+1〃+2n-\-n）

（3）已知，求。

二.（本题10分）求方程（2x+y-4）公+（%+丁—1）办，=0的通解。

二.（本题15分）设函数f（x）在0的某邻域内具有二阶连续导数，且

/（（）），/（（）），/”（（））均不为0,证明：存在唯一一组实数人欢2，右，使得

3㈤+&〃2//)+&〃3〃)-"0)

11111"-V

2

.F+丁Z

四.（本题17分）设E「相+后+7=其中。＞人＞。＞0,

222

E2:z=x+y,「为弓和弓的交线，求椭球面心在「上各点的切平

面到原点距离的最大值和最小值。

五.（本题16分）已知S是空间曲线绕y轴旋转形成的椭球面的上半部分

（zNO）取上侧，口是S在P（x,y,z）点处的切平面，夕（x,y,z）是原

点到切平面口的距离，丸〃,i/表示S的正法向的方向余弦。计算；

（1）；（2）Jjz（Zr+34y+vz）dS

s

六.（本题12分）设f（x）是在（一oo,+oo）内的可微函数，且

，、⑺卜〃矿（X）,其中任取实数小,定义

an-In=1,2,…,证明：绝对收敛。

七.(本题15分)是否存在区间［0,2］上的连续可微函数f(x),满足

〃0)=〃2)=1,

<1?请说明理由。

2012第四届全国大学生数学竞赛预赛试卷

一、(本大题共5小题，每小题6分共30分)解答下列个体(要求写出要

求写出重要步骤)

(1)求极限

(2)求通过直线/:(2X+,-3Z+2=°的两个互相垂直的平面和使其

5x+5y-4z+3=0

中一个平面过点(4,-3,1)。

(3)已知函数z=〃(x,y)产％且。确定常数。和方，使函数Z=N(X,加满

足方程去-+z=。

dxdydxdy

(4)设函数〃=连续可微，〃(2)=1,且J(x+2y)i以x+(x+〃3)〃dy在右

半平面和路径无关，求

(5)求极限limVxfJ+，,Sil>Zdt

XT+8Jx4+COSE

二、(本题10分)计算’:^口回问心

三、求方程的近似解，精确到0.001.

四、(本题12分)设函数y=/(x)二阶可导，且/"(x)>0,"0)=0,7(0)=0,

求，其中〃是曲线)=/(%)上点尸(x,/(x))处的切线在工轴上的截距。

五、(本题12分)求最小实数C,使得满足版=1的连续函数/(X)

都有J：/(Jx)dx4C

/'、、(本题12分)设八X)为连续函数，，>0。区域。是由抛物面z=/+V

和球面x2+y2+z2=t2(z>0)所围起来的部分。定义三重积分

22

F(O=fffQ/(x+/+z)Jp

求?⑷的导数/")

七、(本题14分)设和为正项级数，证明：

(1)若lim(—4］-」)>0,则级数收敛；

(2)若iim(—J)<0,且级数发散，则级数发散。

〃T8nhh

2013第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷

一、解答下列各题（每小题6分共24分，要求写出重要步骤）

1.求极限lim（l+sin;rJl+4〃2）.

n—>oo\/

2.证明广义积分不是绝对收敛的

3.设函数4=可同由d+3fy—2y3=2确定,求y（x）的极值。

4.过曲线y=加"20）上的点A作切线，使该切线和曲线及无轴所困成

的平面图形的面积为3,求点A的坐标。

4

二、（满分12）计算定积分/=j色”芈丝色公

J”1+cos-X

三、（满分12分）设“X）在x=0处存在二阶导数广（0）,且。证明：级数

收敛。

四、（满分12分）设归肛尸（力之乃>0（aWxW〃），证明

五、（满分14分）设Z是一个光滑封闭曲面，方向朝外。给定第二型的曲

面积分/="（/-工）山龙+（2、3一,b/2公+（323-2）公。。试确定曲面E，使积

£

分I的值最小，并求该最小值。

六、（满分14分）设，其中〃为常数，曲线C为椭圆/+“+）,2二尸，取正

向。求极限lim/q⑺

七（满分14分）判断级数的敛散性，若收敛，求其和。

2014年全国大学生数学竞赛预赛试题

非数学类

一、填空题（共有5小题，每题6分，共30分）

1.已知y=e'和），LX/是齐次二阶常系数线性微分方程的解，则该方程

是

2.设有曲面S:z=d+2），2和平面L：2x+2），+z=0。则和L平行的5的切

平面方程是

3.设函数y=），（尤）由方程所确定。求

4.设。则limx〃=

号）、则

已知liml+x+

二、（本题12分）设〃为正整数，计算/=，，—co/In—>liZro

三、（本题14分）设函数/*）在。1］上有二阶导数，且有正常数A3使

得""（工）区5。证明：对任意xe［0,l］,有。

四、（本题14分）（1）设一球缺高为人所在球半径为R。证明该球缺

体积为。球冠面积为2成6;（2）设球体（x-1尸+（y-+（z-1产工12被

平面P:x+y+z=6所截得小球缺为。，记球冠为E,方向指向球外。

求第二型曲面积分

/="xdydz+ydzdx+zdxdy

£

五、（本题15分）设/在［a刈上非负连续，严格单增，且存在毛£［。㈤，

使得"5）r=」一。"（初”。求lim%

六、（本题15分）设+-L^+...+"^。求

n~+1/?■+2~n-+n-

2015第七届全国大学生数学竞赛预赛试卷

一、填空题（每小题6分，共5小题，满分30分）

n.2乃

（1）极限lim〃1+1■+…+弓匕=___________________________.

n~+1〃+2n+n

\/

（2）设函数z=z（x,y）由方程所决定，其中尸（〃4）具有连续偏导数，且

入口+〉人工0。则.

(3)曲面z=V+y2+l在点M(l,-1,3)的切平面和曲面所围区域的体积

是