高考数学100个高频考点

高考数学100个高频考点

1.集合的性质：①任何一个集合是它本身的子集，记为A屋

②空集是任何集合的子集，记为0口A；

③空集是任何非空集合的真子集；

2.四种命题的形式及相互关系：

原命题：若P则q；逆命题：若q则P；

杏命题：若"1P则1q；逆否命题：若"Iq则rPo

①、原命题为真，它的逆命题不一定为真。

②、原命题为真，它的否命题不一定为真。

③、原命题为真，它的逆否命题一定为真。

3.函数的性质

(1)定义域：(2)值域：

(3)奇偶性：(在整个定义域内考虑)

①定义：①偶函数：/(—%)=/(x),②奇函数：/(一%)=-/(X)

②判断方法步骤：a.求出定义域；b.判断定义域是否关于原点对称；c.求/(-X)；d.比较

/(一九)与/(X)或/(一幻与一/(X)的关系。

(4)函数的单调性

定义：对于函数f(x)的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x.,x2.

⑴若当X<X2时,都有f(xJ〈f(X2),则说f(x)在这个区间上是增函数;

⑵若当Xi<X2时，都有f(Xi)>f()：2),则说f(X)在这个区间上是减函数.

4.二次函数的解析式的三种形式

①i般式/(x)=ax2+bx+c(cWO)；

②顶点式/(x)=a(x—h)2+k(aWO)；

③零点式/(x)=Q(x—Xi)(x—x2)(oWO)o

5.设xi，b],xi*X2那么

(为一.)"(9)一『(%2)]>0O,a)_，“2)>。0/J)在0句上是增函数；

X]-x2

。一工2)"(七)-fg)k。=)一"巧)<0Of(X)在®b]上是减函数。

x}-x2

设函数y=/(x)在某个区间内可导，如果尸(x)>0,则/(x)为增函数；如果尸(x)<0,

则f(x)为减函数。

6.函数片/(x)的图象的对称性：①函数y=/(x)的图象关于直线X=Q对称0/(a+x)

=f(0-x)<=>/(2a—x)=f(x)o

7.两个函数图象的对称性:

(1)函数*/(x)与函数片/(—x)的图象关于直线x=0(即y轴)对称。

(2)函数y=/(x)和(x)的图象关于直线片x对称。

m

8.分数指数累。〃=^=

(a>0,m,r)WN*,且。>1)。

’4建

-1

分数指数第an=---(a>0,m,c£N*,且。>1)。

m

a%

b

9.logoN=£?<->a=/V(Q>0,N>0)

10.对数的换底公式

n

，推论log,,,b=—\ogab

log,”am

邑，n=1

11.a-、(数列｛Oc｝的前。项的和为S〃=6+02+...+或)°

-s,i，n>2

(注意此公式第2行顺推与逆推的应用，这是递推数列的常用公式，可以达到不同的目的)

12.等差数列的通项公式。产。1+(n—1)d=dn+ai-d(〃£N*)*

岳曲八n(nd//、

-c-1),=n21

其刖/?项和公式S〃=-------------=nax+——-——d~+(/一/d)"

13.等比数列的通项公式〃〃=a.qn-\=，〃⑺£N*)；

q

%一。”)

\-q'#1或S〃=，夕工1

其前〃项的和公式S〃=i-q

na},q=\na{,q=\

（小心：解答题利用错位相减法时要特别注意讨论q=l的情况）

sin0

14.同角三角函数的基本关系式s/n20+cos20=1,tan0=-----,tan0-cot0=1

COS0

15.和角与差角公式

s/n(a±B)=s/nacosP±cosas/nP；

cos(Q±B)=cosacosB+s/nas/nP；

tana±tanS

tan(a±)

1+tanatanp

sin(a+P)sin(a-P)=sin2a-sin2a(平方正弦公式)；

cos(a+g)cos(a-P)=cos2a-s/n2P(平方余弦公式)；

asina+/?cosa=Ja?sin（a+（p）（辅助角（p所在象限由点（Q,b）的象限决定，

tan（p=-）o（建议利用q）的正弦和余弦来确定其位于哪个象限，这样比较好理解）

a

16.二倍角公式s/n2a=2s/na•cosa<>

_2.232ii•2c2tuna

cos2a=cosa-sina=2cosa-1=1-2sina-tan2a=-----；—。

1-tan-a

17.三角函数的周期公式函数片sin（3x+（p）,xGR及函数片cos（3x+（p）,x@R（A,w,

2冗7T

（p为常数，且AWO,w>o）的周期T=—；函数y=tan（cox+（p）,xwk兀+—,keZ（A,co,

CD2

<p为常数，且AWO,co>0）的周期T=二。（注意3小于0的函数周期的求法）

co

18.正弦定理，-=W-=」=2R。（学会利用后面的2R）

sinAsinBsinC

19.余弦定理。2=b2+c2-2bccosA；b2=c2+a2-2cacosB；c2=a2+b2-2abcosCo

（注意其变形公式）

20.面积定理

（1）S=—ah=—bh=—ch（h、h>h分别表示°、b、c边上的高）。

2dabc"0b（

（2）S=—absinC=-bcsinA=—easinBo

222

21.三角形内角和定理在4ABC中，有

A+B+C=n<=>C=7i-（A+B）<^—-A+B02c=2兀-2（A+B）。

222

（很多与三角形有关的恒等变形或者纯粹解三角形的题目中会用到这些关系）

22.平面两点间的距离公式

d*R=|AB[=《AB.AB=小5一x。？+（乃一为『（A（如,），B（xv为））。

23.向量的平行与垂直设〃二（2，0），b=（x2,为），且bW。，则

a!/bob=Xaox、y?-x2yx=0

a±b{aW（））oa•b=（）o2工2+M%二。

24.线段的定比分公式设〃（再，y）,P2（x2,为），尸（x,y）是线段PiPz的分点，入是实数，

―—

且P|P=XPP2，则

x_X|十人

,1+X

V-

ri+九

（这个公式很重要，不要记错！）

25.三角形的重心坐标公式4ABC三个顶点的坐标分别为A（打.）、8意2,为）、。（尤3,）'3），

则4ABC的重心的坐标是G（X]+「2+%3,）’1十升2十丫3）,

x'=x+h\x=x'-h->—>f

26.点的平移公式<<=>\<=>OP'=0P+PP(图形F上的任意一点P(x,y)

y=y+fcy=y'-k

在平移后图形F'上的对应点为P'（x',/）,且刘'的坐标为"，k））。

（要注意区别新坐标、旧坐标，区别新方程和旧方程，不要混淆，解答题务必要体现以上公式

的使用过程，关键步骤不要省）

27.常用不等式：

（1）。，bWRnM+b222ab（当且仅当a=b时取号）。

a4-bf—r

（2）a,b£R+=>下一24ab（当且仅当。=匕时取号）。

（3）a3+b3+c3^3abc（。>0,b>0,c>0）。

（4）柯西不等式（。2+及）92+12）2（40+匕1）2,乩c,deR。（建议：了解一下，

尝试用向量数量积的方法证明之）

（5）\a\-\b\<\a+b\<\a\-^-\b\

28.极值定理已知x,y都是正数，则有

（1）如果积xy是定值p,那么当x=y时和x+y有最小值2而；

（2）如果和x+y是定值s,那么当x=y时积xy有最大值's?。

4

29.一元二次不等式ox?+bx+c>0（或<0）（aWO,A=b2-4ac>0）,如果。与ax?+队+。同号，则其

解集在两根之外；如果。与。x2+bx+C异号，则其解集在两根之间。简言之：同号两根之外，异号

两根之间。

X]<X<x2=（X—X]）<0（匹<x2）；

X<X],或X>工2O（X-X|）（X—工2）>°（F<工2）

（这类问题一般可以借助于韦达定理或者结合图象特点寻找约束条件就可以解决问题）

30.含有绝对值的不等式当。>0时，有

\x\<ax2<a2<=>-a<x<a

\x\>a<^>>a=%>。或不<一。。

31.无理不等式

f(X)>o

⑴"(x)>Ng(x)g(x)NO

f(x)>g(x)

f(x)>0

(2)77w>g。)u>,g(x)>0或M）＜。

f(x)>[g(x)]2

/«>0

⑶yl,f(x)<g(<<=>,g(X)>0

fW<[g(x)]2

32.指数不等式与对数不等式

（1）当。＞1时，

fM>0

d>〃")<=>fM>g(x)；logrtf(x)>log[g(x)o,g(x)>0

f(x)>g(x)

(2)当O<G<1时，

7(x)>0

小，)><=>f(x)<g(x):log“/(x)>log”g(x)o<g(x)>0

/(x)<g(x)

33.斜率公式）’2fs（如必）、^（当，乃））

x2-X|

（很多代数问题可以利用这个公式转化为几何问题，简化解题过程，这是数型结合思想的重要

体现）

34.直线的四种方程

（1）点斜式y-y1=k（x-x1）（直线/过点R（X],y,）,且斜率为k）。

（2）斜截式片kx+b（b为直线/在y轴上的截距）。

（注意：（1）截距不是距离；（2）过原点的直线也具有横、纵截距相等的特征）

?

（3）两点式―—―=―——（>（y2）（々（项，力）、尸式出，为）（玉工工2））。

乃-必々-西

（4）一般式Ax+By+C=O（其中A、B不同时为0）。

35.两条直线的平行和垂直

（1）若/i：y=k{x+bvh：y=k2x+b2

①，i〃"<=>k]=k?,b|b2:

②/山2。kjk2=-l

（2）若A：A]x4-B|y4-C1=0,12：A2x+B2y+C2=0,且A「A?、BPB?都不为零，

①“//20'=旦。邑；

AB》C）

@fi±/«=0；

2A}A2+B]B2

k_k

36.夹角公式tana=|----|（/i：）=+/：y=kx-\-b,用自w-l）

1+k?k]o222

（要区别于直线。到宜线b的角的求解公式）。直线/i_L/2时，直线人与，2的夹角是乌。

2

37.点到直线的距离dJ>之土丝叱01（点p（Xy），直线/：Ax+By+C=0）0

7A2+B2

38.圆的四种方程

（1）圆的标准方程。一。）2+（）,一份2二产

(2)圆的一般方程x2+j2+Dr+£>+F=0(D2+E2-4F>0)

x=a+rcos0

（3）圆的参数方程

y=b+rsinO

（4）圆的直径式方程（X-为）（工一无2）+（y-y）（）'一为）=°（圆的直径的端点是A（冲y\）、

B（%2,y2））o（可利用向量垂直理解之）

22

39.椭圆二+==1（。＞匕＞0）的参数方程是《x=acosQ

a-b-y=/?sin0

（圆和椭圆的参数方程一定要过关）

2222

40.椭圆A+A=1(。>〃>0)焦半径公式|PF]|=e"+—),|PF2|=e(--x)。

a-h~cc

（自口还可以适当化简）

22

41.双曲线―+5=1（。〉0,6＞0）的焦半径公式

crb-

IPG1=1e（x+^）I，IPF2He（--x）|o

cc

（点P在左支或者右支的时候，上面的公式都可以去绝对值符号的，作题时自己灵活处理）

42.抛物线P=2px上的动点可设为P（红，），o）或P（2p/,2/，）或P（x,y）,其中产=2px。

2P

（强烈建议理解：以抛物线的焦点弦为直径的圆和抛物线的准线相切）

43.二次函数y=ax2+hx-vc=a（x+—）2+W（〃*0）的图像是抛物线：

2a4a

（1）顶点坐标为（-工b4cic-b~）；

2a4a

44.直线与圆锥曲线相交的弦长公式

22

\^B\=yj(x}-x2)+(y1-y2)或

2222

|AB\=J(1+k)(x2-Xj)=|Xj-x2|71+tana=\y}-y2\+cota

(注意和韦达定理结合使用)

\y=kx+bo

(弦端点A(如y1),B(x9,y2)，由方程《消去y得到+bx+c=0,

［尸(％,y)=0

△>0,。为直线AB的倾斜角，k为直线的斜率，以上化简思路再结合韦达定理使用，是很多圆锥

曲线解答题的常用解题技巧)

45.圆锥曲线的对称问题：曲线F(x,y)=0关于点P(Xo,)、))成中心对称的曲线是

F(2xQ-x,2yQ-y)=0«

(可以利用中点坐标公式推导之)。

46.对于一般的二次曲线4?+区9，+。),2+以+4+尸=0,用质工代12,用如)，代),2,

用Q出代入W用包E代X，用组;2代入y即得方程

222

•也士也+。0丁+。・包士三+E•生土)+b=0,曲线的切线、切点弦方程均

可由此方程得到。

47.共线向量定理对空间任意两个向量。、b(bWO),a〃bo存在实数人使即人b。

—>—>—>—>

48.对空间任一点O和不共线的三点A、B、C,满足。P=xQ4+yQB+zOC,则四点P、A、B、

C是共面5+y+z=l。

49.空间两个向量的夹角公式cos<a,b>=-%仇+〃2」广03b3=(。=(%,av%)，

荷+.+.加+.+.

b—(/?],b[,匕3))°

—>—）

4B-~

50.直线48与平面所成角p=arcsinF——（m为平面a的法向量）。

\OPV\m\

->->Tf

m•nni-n—~>

51.二面角a-I-p的平面角9=arccos——或兀一arccos―—（m,n为平面a,P

Im||n|Im||n|

的法向量）。

52.设AC是Q内的任一条直线，且BC_LAC,垂足为C,又设A0与AB所成的角为，AB与

AC所成的角为。2，A0与AC所成的角为e。则cose=cos6|cos®2。

53.空间两点间的距离公式若A（x『yrZ］）,B（X2,y2,z2）,则

dA,8NAB|=』AB・AB=J（X2-a）：+（乃一必产+。2-Z［）2O

—>—>

ICD-nI—

54.异面直线间的距离d='二（3"是两异面直线，其公垂向量为n,C、D分别是

I〃|

h，%上任一点，d为h，'间的距离）。

->—>

55.点B到平面a的距离dJ4，"।（丁为平面a的法向量，AB是面a的斜线，AGa）0

I〃I

56.面积射影定理

cos9

（平面多边形及其射影的面积分别是s、s,它们所在平面所成锐二面角的为0）.

4a.

57.球的半径是R,则其体积是V=—兀川，其表面积是S=4兀R2。

3

58.分类计数原理（加法原理）N=g+k4+…+〃?〃。

59.分步计数原理（乘法原理）N=m}xm2x---xmno

小

60.排列数公式—n(n—1)••>(n—m+1)--------:----«(。，m三N*,m<n)„

(〃一/%)!

61.排列恒等式⑴A；；=(〃_m+l)A：i；(2)A：=」一A；；'；(3)A：=词，

n-m

(4)时=A；*_A：；(5)A；；i=A：+mA：i。(建立了解，会用排列数公式推导之)

「r〃口A有八TL，〃A：〃(〃一1)..・(〃一6+1)〃!.z木日/、

62.组合数公式C”=----=----------------------------------=-----------------(〃，m£N3R.m<n)0

A；；1x2x…xm加•(〃一〃?)!

63.组合数的两个性质

(1)c；；J=c；；",z,；(2)c：+c；；i=c；\

64.组合恒等式

九一m+lztC=2〃；

⑴C：(2)c：=」-c；3；(3)c;⑷

mn-mr=0

(5)C；+C*+C；+2+—+C；=C；；；。(建议了解，会用组合数公式推导之)

65.排列数与组合数的关系是：A；；1=m!-C；f

66.二项式定理(a+b)fl=C^an+C\an-xb+C；an-2b2+…+C””+…+C»〃；

nrr

二项展开式的通项公式：Tr+]=Cna-b(r=0,1,2…，n)o

(注意通项的下标)

67.等可能性事件的概率P(A)=一。

n

68.互斥事件A,B分别发生的概率的和P(A+B)=P(A)+P(B)。

69.n个互斥事件分别发生的概率的和

P(Ai+A2H------FAn)=P(Ai)+P(A2)H-------FP(An)。

70.独立事件A,B同时发生的概率P(A•B)=P(A)•P(B)o

71.n个独立事件同时发生的概率P(Ai•A2.......An)=P(Ai)•P(A2)..........P(A〃)。

72.n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率P<k)=—py-k。

73.离散型随机变量的分布列的两个性质：

(1)Pj>0(/=1,2,・・・)；(2)P[+P?+…=1。

74.数学期望优=%记+工2鸟+…+…

75.数学期望的性质：

(1)E(比+b)=aE(0+b；

(2)若£〜B(n,p),则氏二即。

(要将〃次独立重复实验有k次发生这样一个问题与二项分布联系起来)

76.方差选=(2-4)2・0+(巧-四)2・〃2+・.・+6-段)2£+・・・

(还有一个变形公式可以求方差，你记得吗？在下面会有的)

77.标准差陂=J1无。(了解，防止你看到标准差的符号不认识，呵呵)

78.方差的性质

(1)D(Q=EV-(E^)2；

(2)D(a&+b)=a?D&；

(3)若自〜8(〃,p),则二切(1一〃)。

(x-n)2

79.正态分布密度函数/(1)=I—e26?,不£(一8,+8)式中的实数卜I,Q(a>0)是

V2K6

参数，分别表示个体的平均数与标准差。(了解即可)

80.标准正态分布密度函数/。)=以—J》，xe(-oo,+8)。(了解即可，但是要注意其

而6

概率分布图的特点，包括阴影部分面积所表示的含义，考的概率不大，但是要防止考小题。）

x-

81.对于N（山。2）,取值小于x的概率/⑴二。

尸区<XQ<X2)=P(X<X2)-P(X<%])=F(X2)-F(x))

=of①二任）—0（土二处]。（个人觉得：要理解之，考的概率不大，但是还是要防止出小

IoJIoJ

题。）

82.特殊数列的极限

0|於1

(1)lim夕〃=，1q=l

〃一>oO

不存在|“|<1或<7=-1

0(k<t)

kjt-1

(2)lim+%〃「…+7=&(k=t)

8疗T+•••+/hk

不存在也

（3）S=[im（s无穷等比数列｛〃q〃T｝《夕|<i）的和）。

n-1-q1-q

84.函数的夹逼性定理

如果函数/（x）,g（x）,〃（x）在点X。的附近满足：

(1)g(x)<f(x)<h(x)；(2)limg(x)=aflimh(x)=a(常数)，则lim/(x)=ao

x->工。Xf演

本定理对于单侧极限和xfg的情况仍然成立。

（个人觉得：有必要了解一下，防止出新题）

85.两个重要的极限

cinx1Y

(1)lim----=1；(2)lim1+-=e(e=2.718281845--•)<>

XT。xx)

(个人觉得需要了解一下，防止出新题。看不懂也不要有压力，这是超范围的。)

86.f(x)在戈0处的导数(或变化率或微商)

/■)=，'「=隔包=扁.叱.匕如。)

”oAxa->oAx

87.瞬时速度