高考数学压轴专题新高考《数列》经典测试题及解析

【最新】数学高考《数列》专题解析

一、选择题

1.设等比数列｛q｝的前〃项和为S.，若S10：Ss=l:2,则55：项为（）

A.3：4B.4：3C.1：2D.2：1

【答案】A

【解析】

【分析】

根据在等比数列中，每5项的和仍然成等比数列，设则由条件可得$0=；］

3

兀=：尤，从而得到工5：55的值.

【详解】

解：在等比数列中，每5项的和仍然成等比数列，设Ss=x,则由条件可得与

xx=x

:.Si0-S5~\~~~^''S15一$0=；x,/.，5+jx

3

故$母2一

x4

故选：A.

【点睛】

本题考查等比数列的性质，解题的关键是熟练掌握等比数列的性质耳，

S”-S”，成公比为q*的等比数列，属于中档题.

2.《周髀第:经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、

春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影IU衣次成等差数列，冬至、立

春、春分FI影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则小满日影长为（）

A.1.5尺B.2.5尺C.3.5尺D.4.5尺

【答案】C

【解析】

【分析】

结合题意将其转化为数列问题，并利用等差数列通项公式和前〃项和公式列方程组，求出首项

和公差，由此能求出结果.

【详解】

解:从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒

种这十二个节气其日影长依次成等差数列｛q｝,冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前

九个节气日影长之和为85.5尺，

ax+（4+3d）+（q+6d）=31.5

/.9x8，

S9=9^+—1/=85.5

解得q=13.5,4=-1,

・•・小满日影长为4=13.5+10x（-1）=3.5（尺）.

故选C.

【点睛】

本题考查等差数列的前n项和公式，以及等差数列通项公式的运算等基础知识,掌握各公式并

能熟练运用公式求解，考杳运算求解能力，考查化归与转化思想,属于基础题.

3.函数“力对任意正整数满足条件=且/（1）=2,

/⑵J（4）J⑹/(2018)

++7(2017)的值是（）

/⑴/（3）/（5）

A.1008B.1009C.2016D.2018

【答案】D

【解析】

【分析】

/、/、,、”2）/（4）/（6）/（2018）

由题意结合/（4+与=/（。）・/伍）求解而+而j++1（2017）的值即叱

【详解】

在等式/（。+力）=〃。）・/伍）中，令〃=1可得：/（。+1）=/（。）/（1）=2/（〃），

/（«+1）

则L、:2,据此可知：

f（a）

/（2）/（4）/（6）/（2018）

70）+7（3）+7（5）++7（2017）=2+2+2++2=2x1009=2018.

本题选择。选项.

【点睛】

本题主要考查抽象函数的性质，函数的求值方法等知识，意在考查学生的转化能力和计兑

求解能力.

4.等差数列｛凡｝的前〃项和为s“，己知生一4一41+%0=3,则S?1的值为（）

A.63B.21C.-63D.21

【答案】C

【解析】

【分析】

根据等差数列性质，原式可变为（出+出。）一（4+46）—=3,即可求得

S2I=21«))=-63.

【详解】

a2-aG-aii-ai6+a2fl=3,

・•.(q+.Aa+aG-卬=3.

/.«!!=-3,S2I=2k/M=-63,

故选：C.

【点睛】

此题考杳等差数列性质和求和公式，需要熟练掌握等差数列基本性质，根据性质求和.

2

5.设函数/("=产+奴的导数为/'(x)=2x+l,则数列•eN，)的前n项

/(〃),

和是()

n2〃2〃2(/?+1)

A.------B.-----C.------D.

n+\〃十1〃一1n

【答案】B

【解析】

【分析】

函数/(幻=/+初的导函数/。)=24+1,先求原函数的导数，两个导数进行比较即可

求出〃？，。，利用裂项相消法求出〃wN♦的前，[项和即可.

/(〃)「

【详解】

.*/'(X)=mx,n~'+a=2x+\,

\4=1,m=2,.../(x)=x(x+l),

22=2(---!-),

/(〃)72(72+1)nn+\

cI、11、115c八1、2n

S"=21(---)+(z---)4-+z(-----------)]=2(1--------)=»

I223〃〃+1〃+1〃+1

故选：B.

【点睛】

本题考查数列的求和运完，导数的运算法则，数列求和时注意裂项相消法的应用.

6.设等比数列口｝的前〃项和记为5“,若5；0应=1：2,则/：怎=()

【答案】A

【解析】

【分析】

根据等比数列前〃项和的性质求解可得所求结果.

【详解】

•••数列｛qj为等比数列，且其前〃项和记为S“,

・•・S5,S10-S5,S15-S10成等比数列.

v510:S5=l:2,即SiongSs，

s_sI

...等比数列S"—,$5一%的公比为105

352

,,,几-So=-5（$0-S5）=—S5,

,&5=:邑+九二^S5,

：•S|5:S5=；•

故选A.

【点睛】

在等比数列｛6/中，其前〃项和记为S.，若公比q",则1.ELSANL%,成等

比数列，即等比数列中依次取&项的和仍为等比数列，利用此性质解题时可简化运算，提

高解题的效率.

7.已知数列｛〃“｝是正项等比数列，若q=32,%。=32,数列｛log2。,,｝的前〃项和

为S”,则S”>o时〃的最大值为()

A.5B.6C.10D.11

【答案】C

【解析】

21M6H

ay-c/4=-32炉=32=>q=；=an=32x2=2=>log2an=6-n=>

〃(5+6—〃)八一in

sc”=-------------->0=>〃<lln〃a=10，故选c.

8.已知数列｛6｝的前n项和S.=2〃2+3〃（〃£N）则｛6｝的通项公式为（

A.。”=2〃+1B.an=2n-\c.an=477+1D.an=4/z-1

【答案】C

【解析】

【分析】

首先根据5„=2/+3〃求出首项外的值，然后利用勺=S“一S,-求出〃之2时4的表达

式，然后验证外的值是否适合，最后写出。“的式子即可.

【详解】

因为S“=2〃2+3〃，

所以，当“22时，a“=S”-S,“=2〃2+3,L[2(〃-l)2+3("-l)]=4〃+l,

当〃=1时，％=号=2+3=5,上式也成立，

所以=4〃+1,

故选C.

【点睛】

该题考查的是有关数列的通项公式的求解问题涉及到的知识点有数列的项与和的关系，即

。算出之后再判断〃=1时对应的式子是否成立，最后求得结果•

9.设｛端为等比数列，｛仇｝为等差数列,且S”为数列｛6｝的前〃项和.若。2=1,aio=16且

。6=力6，则Sll=()

A.20B.30C.44D.88

【答案】C

【解析】

【分析】

设等比数列｛Gn｝的公比为q,[h02=1,60=16列式求得q2,进•步求出。6,可得b6,再

由等差数列的前n项和公式求解Su.

【详解】

设等比数列｛。“｝的公比为q，由。2=1，aio=16,

得/=%.=]6,得q2=2.

a2

4==4,即06=66=4,

又Sn为等差数列｛6｝的前n项和，

(/?,+/?..)x11

・.・S“=-7=1虑=44.

故选：C.

【点睛】

本题考杳等差数列与等比数列的通项公式及性质.训练了等差数列前。项和的求法.是中

档题.

10.已知等比数列｛q｝的前，i项和为s“，若4+24=0，且〃WS”Wa+2,

则实数。的取值范围是()

A.[-1,0]B.-1,—C.1D.[°,1]

【答案】B

【解析】

【分析】

先求得等比数列的首项和公比，得到s“，分析数列的单调性得到S”

的最值，从而列不等式求解即可.

【详解】

312

由4+2%=0，S3=-,得〃i=1，4=-3,5“二11-

423「5

当〃=1时，S”取最大值1,当〃=2时，S”取最小值;，

—1

所以〈-2,-IWaW-，故选B.

a+2>\2

【点睛】

本题主要考查了等比数列的单调性，结合苜项和公比即可判断，属于中档题.

11.已知数列｛〃”｝的奇数项依次成等差数列，偶数项依次成等比数列，且6=1,

a2=2,a3+a4=1,q+4=13,则。？+仆=()

A.4+A/2B.19C.20D.23

【答案】D

【解析】

【分析】

本题首先可以设出奇数项的公差以及偶数项的公比，然后对6+/=7、生+。6=13进

行化简，得出公差和公比的数值，然后对外+4进行化简即可得出结果.

【详解】

设奇数项的公差为“，偶数项的公比为q,

由4+4=7,a5+a6=\3,得1+d+2〃=7,1+24+2如=13,

解得d=2,q=2,所以%+4=1+34+2^=7+16=23,故选D.

【点睛】

本题主要考查等差数列、等比数列的速项公式及性质等基础知职，考查运算求解能力，考

查函数与方程思想、化归与转化思想等，体现基础性与综合性，提升学生的逻辑推理、数

学运算等核心素养，是中档题.

12.数列｛《J：1,1,2,3,5,8,13,21,34,称为斐波那契数列，是由十三世纪

意大利数学家列昂纳多•斐波那契以兔子繁靖为例子血引入，故乂称为“兔子数处”.该数列从

第三项开始，每项等于其前相邻两项之和.即：4+2=。.+%・记该数列｛。“｝的前〃项和

为S“，则下列结论正确的是（）

A.SJQ®=^2020+2B.^2019=/021+2

C-S21M9=%⑶-1D.S刈9=〃2021-1

【答案】D

【解析】

【分析】

根据递推关系利用裂项相消法探求和项与通项关系，即得结果.

【详解】

因为

S”=4+%+4++凡=（4一/）十（%-4）+（6一①）+（6一%）+（。“+2-。”+J

=q.2_/=勺+2—1，

所以$20|9=“2021—1，选D.

【点睛】

本题考查裂项相消法.考查基本分析判断能力.属中档题.

13.在数列｛〃/中，4=-2,4+|=1-」-,则《016的值为（）

°n

11

A.-2B.-C.一

32

【答案】B

【解析】

,,1,11

IZ7.=1=1=

由〃向二1—一，得"2.11—

,1,1

ac=]---------=]------------=a

所以4+2_J_"•

1-

即数列｛4｝以3为周期的周期数列.

11

所以=%===§.

故选B.

点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写

出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几

项，再归纳猜想出数列的•个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等

比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项，本题是通过迭中得到了数列的周期性.

14.执行如图所示的程序框图，若输出的S为154,则输入的〃为()

【答案】B

【解析】

【分析】

找到输出的S的规律为等差数列求和，即可算出i，从而求出L

【详解】

由框图可知，S=l+0+l+2+3+...+(i-l)=154,

即1+2+3+…+(i—1)=153,所以11券=153,解得i=18,

故最后一次对条件进行判断时1=18+1=19,所以〃=19.

故选：B

【点睛】

本题考查程序框图，要理解循环结构的程序框图的运行，考杳学生的逻辑推理能力.属于简

单题目.

15.在递减等差数列(q｝中，44=嫉-4.若4=13,则数列｛-^｝的前〃项和的最

《4+1

大值为()

241246

A.--B.---C.—D.—

1431431313

【答案】D

【解析】

设公差为44<0,所以由6处=若-4,卬二13,得

13(13+2d)=(13+d)2-4n4=-2(正舍)，即仆=13-2(〃-1)=15-2〃,

1I1,1I、[11

因为——%an+i(15-2.〃、/)(一13。-2〃)22~/1-1757-o2—/1-1不3)，所以数列——的前〃项

和等于‘(一,一1)CT2x61-13

)=—»选D.

2132〃-13

点睛：裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中

间若干项的方法，裂项相消法适用于形如｛喘一•（其中｛4｝是各项均不为零的等差数

列，c为常数）的数列.裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和（如本例），还有一类

1

隔一项的裂项求和，如或--------

(/?+1)(/?+3)〃(〃+2).

16.在古希腊，毕达哥拉斯学派把1,3,6,10,15,21,28,36,45,...这些数叫做三

角形数.设第〃个三角形数为外,则下而结论错误的是（）

A.-4T=〃5〉1）B.«20=210

1一..二卫

C.1024是三角形数D.—+J

%a„n+\

【答案】C

【解析】

【分析】

对每一个选项逐一分析得解.

【详解】

Va2=2,%-阴=3,a4-a3=4,...»由此可归纳得=〃(〃>1),故A

正确；

符前面的所有项累加可得%=（〃一今〃+“+%=誓1,.-.«20=210,故B正确:

令〃（"+”=1024,此方程没有正整数解，故C错误:

2

正确.

故选C

【点睛】

本题主要考查累加法求通项，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握

水平和分析推理能力.

17.正项等比数列｛q｝中的4、“39是函数/（x）=；V—4/+6X—3的极值点，则

*/020=()

A.-1B.1C.y/2D.2

【答案】B

【解析】

【分析】

根据可导函数在极值点处的导数值为0,得出44039=6,再由等比数列的性质可得.

【详解】

解：依题意修、4039是函数=-4/+6工-3的极值点，也就是

/'（工）=%2-81+6=0的两个根

•*,a\〃4039=6

又｛q｝是正项等比数列，所以％020=府亡=遥

•••1（花石/。20=1（培#遥=1,

故选：B

【点睛】

本题主要考查了等比数列下标和性质以应用，属于中档题.

18.等比数列｛凡｝共有2〃十1项，其中％=1,偶数项和为170,奇数项和为341,则

〃=()

A.3B.4C.7D.9

【答案】B

【解析】

由题意知4+/+…+电”+1=341,可得知+…+。2"+1=341-%=340,又因为

--田+...+。,“4|340c

。，+%+…+=170，所以;-=q=TZT=2,

-a2+a4+...+a2n170

i_

S,2n++l.=—..2..=341+170=511，解得〃=4,故选B.

19.数列｛〃“｝满足4=1,对任意的〃cN"都有=。“+〃+1，则

—=()

2016

2015403240342016

A.----B.----C.----D.----

2016201720172017

【答案】B

【解析】

【分析】

首先根据题设条件,由“用=。“+〃+1,可得到递推关系为-%=〃+1；

〃(〃+])12J\1

接下来利用累加法可求得为——1,从而一=一;-八=2-------,由此就可

"2a„/?(//+1)\n/?+1J

1I1

求得一+—+…+——的值.

4%%016

【详解】

因为々“+1=q+4+〃=1+a,+n,

所以%-4=〃+1，

用累加法求数列｛q｝的通项得：

4=4+(/―4)+--+(q—g)

=