高考数学专题复习-导数

2016年高考数学专题复习一一导数

目录

一、有关切线的相关问题

二、导数单调性、极值、最值的直接应用

三、交点与根的分布

1、判断零点个数

2、零点个数求解参数范围

四、不等式证明

1、作差证明不等式

2、变形构造函数证明不等式

3、替换构造不等式证明不等式

五、不等式恒成立求参数范围

1、恒成立之最值的直接应用

2、恒成立之别离常数

3、恒成立之讨论参数范围

六、函数与导数性质的综合运用

导数运用中常见结论

(1)曲线y=/(丫)在丫=%处的切线的斜率等于/'(/)，且切线方程为

(2)假设可导函数y=/(x)在X=X0处取得极值，则/(与)=0。反之，不成立，

(3)对于可导函数/(幻，不等式/'(幻>0(<0)的解集决定函数/*)的递增〔减)区间。

(4)函数/(x)在区间I上递增〔减〕的充要条件是：/'(x)N0於())恒成立(:f\x)不

恒为0〕.

(5)函数f(x)〔非常量函数〕在区间I上不单调等价于/(幻在区间I上有极值，则可等价转化

为方程/'(外=0在区间I上有实根且为非二重根。【假设/'(X)为二次函数且I=R,则有

A>0)o

(6)/(幻在区间I上无极值等价于/(E)在区间在上是单调函数，进而得到广(幻之0或

/'(x)K()在I上恒成立

(7)假设Vxe/,/(0>0恒成立，则/(x)min>0;假设Vx£/,f(x)<0恒成立，则

/Wmax<0

(8)假设3xo€/,使得/(%)>0,则/(初皿>0;假设3xoG/,使得/(.%)<0,则

/Wmin<0.

(9)设f(x)与g(X)的定义域的交集为D,假设Vx£D/(x)>g(x)恒成立，则有

>0.

[fM-g(x)]n.n

(10)假设对V玉，C(X)>g(X2)恒成立，则f(X)min>g(X)max•

假设对VXI£/1,3X，使得/(x,)>g(.q),则/(x)>g(x)mm•

2GI2min

假设对3X2G/2,使得/(M)<g(W),则/(X)max〈g(X)mi

〔11〕/(x)在区间人上的值域为A,,g(x)在区间人上值域为B,

假设对WX/£/2,使得/(%)=g*2)成立，则

(12)假设三次函数f(x)有三个零点，则方程/'(x)=0有两个不等实根不、X2,且极大值大于0,

极小值小于0.

(13)证题中常用的不等式：

.

①lnx<x-l(x>0)②"Iln(x+l)<x(x>-l)

③e'21+工④e"21—JV

⑤Inxx-1

----<--U-->-1)U>0)

X4-12⑥¥4-生

⑦sinx<x(0<x<n)®lnx<x<e'(x>0)

一、有关切线的相关问题

例题、【2015高考新课标1,理21]函数=x34-or+—,/;(%)=-Inx.

4

(1)当。为何值时，x轴为曲线)，=/(幻的切线；

3

【答案】(I)a=2

4

跟踪练习：

1、【2011高考新课标1,理21]函数/(工)二色吧+2,曲线y=/(x)在点(1](1))处

x+\x

的切线方程为.r+2y—3=0o

(I)求。、〃的值；

/X+1,、

a(-----Inx)

b

解：(I)f\x)=■T

(x+1)22

I/(l)=h

由于直线x+2)，—3=()的斜率为一上，且过点(1/)，故1即

2[/'⑴=一¥

b=l,

a.1解得4=1,Z?=lo

—b=—,

122

2、(2013课标全国I,理21)设函数F(x)=V+ax+"g(x)=e*(cx+".假设

曲线y=F(x)和曲线y=g(x)都过点P(0,2),且在点〃处有一样的切线y=4x+

2.

⑴求a,b,c,d的值;

解:(1)由得由0)=2,g(0)=2,f(0)=4,gf(0)=4.

而f(x)=2x+&g'(x)=e'(cx+d+c),

故6=2,d=2,a=4,d+c=4.

从而a=4,b=2,c=2,d=2.

b/T

3、(2014课标全国I,理21)设函数/(xO=ae'lnx+——，曲线y=/(x)在点(1,

x

/(I)处的切线为y=e(x—l)+2.(1)求。/；

【解析】：(I)函数/(X)的定义域为(0,+oo),f\x)=Inx+-ex-^ex-'+-ex-x

由题意可得/(I)=2,尸⑴=e,故a=1*=2.........6分

二、导数单调性、极值、最值的直接应用

(一)单调性

1、根据导数极值点的相对大小进展讨论

例题：【2015高考江苏，19】

32

函数f(x)=x+cix+"a,bwR).

(1)试讨论/(x)的单调性；

【答案】⑴当4=()时，"X)在(一8,+8)上单调递增；

当4〉0时，/(X)在(一8,一年)，((),+8)上单调递增，在(一年,())上单调递减；

当〃<0时•，/(X)在(一8,0),(-年,+8)上单调递增，在(。,一年)上单调递减.

当a<0时，xe(-oo,0)J--时，/'(x)〉0,xe0,--时，

所以函数“X)在(一8,0),［一年,+8)上单调递增，在(0,-与)上单调递减.

练习：1、函数/(x)=lnx-at+-----1(«GR).

x

⑴当时，讨论/")的单调性；

答案：(i)/(x)=lnx—ax+^---l(x>0),f\x)=--a+=aX\Cl1(x>0)

XXx~X-

令h(x)=ar2-Jt+l-iz(x>0)

①当a=0时,h(x)=T+l(x>0),当xe(0,1),〃(x)>0J'(x)<0,函数f(x)单调递减;

当xe(L+oo)加x)<0,f\x)>0,函数f(x)单调递增.

②当aw0时，由/'(x)=(),即at?一x+i一〃=o，解得玉=1,々=,-1.

当4=5时玉=工2，〃(万20恒成立，此时f'(x)W0,函数/(X)单调递减：

当0<4<_1时，4£(0,1)时/心)>0，r*)<0,函数f(x)单调递减;

2a

X£(1,_L-1)时，//(x)<0,,r(x)>0,函数/'(幻单调递增；

a

XG(1_1,+OO)HJ-,/?(x)>0,/V)<0,函数/(划单调递减.

a

当。<0时，一1<0,当XE(()1),/?*)>(),广(幻<0,函数f(x)单调递减；

a

当X£(1,+8),“(X)<0,/'(X)>0,函数fM单调递增.

综上所述：当。00时，函数/(幻在(0,1)单调递减，(1,+8)单调递增;

当a=5时玉=々，“(x)2。恒成立,此时f'MW0,函数/(x)在(0,+8)单调递减;

当0<。?时，函数/(x)在(0,1)递减，(1—一1)递增，(1-1,+8)递减.

2aa

2、a为实数，函数f(x)=(1+ax)ev，函数g(x)=--—，令函数F(x)=f(x)•g(x).

1-av

当a<0时，求函数RR的单调区间.

解：函数尸(x)=匕竺e、，定义域为工一

1-ava

22〃+1、

22c——a2z(x---y-)

止rxn4-rr/z\一。X+12(1+1

当a<0时，F(x)=-------；—ex=---------r——e

(1axY(1axy

令F(x)=0,得/=^1.............

9分

①当2a+l<0,即”二时，FV)<0.

2

♦•♦当4V—时，函数F(x)的单调减区间为(-oo,—),(—,+oo).11分

2aa

②当一时，解得

2craa

..1J2a+1

■一<------，

aa

，令尸'(工)<0,得入6(-CO-)，XG(—,%(),XE,+CO)；

aa

令F'(x)>0,得xe(X],M).13分

・•・当一1<。<0时，函数P(X)的单调减区间为(7D,)，(L叵三)，(一叵亘,+00)；

2aaaa

J2a+1侬+1)

函数产(幻单调增区间为(15分

aa

③当2a+l=0,即a时，由⑵知，函数F(x)的单调减区间为(70,-2)及

2

2、根据判别式进展讨论

例题：【2015高考四川，理21】函数/5)=-2(工+4)用工+/一2以一242+4,其中。>0.

(1)设g(x)是/(x)的导函数，评论g(x)的单调性；

11_Ji_4//1+J]_4a

【答案】(1)当时，g(x)在区间(°，2)，(2,+8)上单调递增,

n/1-Jl-4a1+“；一4")上单调递减;当时，以幻在区间(0,+oc)上单调递

在区间(----------

2

增.

【解析】(1)由，函数。幻的定义域为(0,+8),

g(x)=f\x)=2x-2a-2\nx-2(]^-—),

x

oo2(x—)~+2(。—)

22a_v24

所以g'(x)=2+-2~12

XXX

11-Jl-4/71+J|-4q

当0<〃<一时，g1)在区间(o,L_^~3),(二^―巴,+8)上单调递增,

422

在区间(上单调递减；

22

1

当a>

-4-履幻在区间(0,+8)上单调递增.

练习：函数/(x)=lnx-x——，R.

x

(1)求函数/(X)的单调区间；

解：函数的定义域为(0,田).

,1a-x2+x+a

fU)=--l+—=----；——­

Xx'x~

令f\x)=0»得一V+工+〃=0,i己△=I+.

(i)当aW-L时，/'(x)W(),所以/(工)单调减区间为(0,内)；.......5分

4

(ii)当a>—■!■时，由/(%)=0得内=匕弓卫,占二匕当网，

①假设--<«<0»则N>七>。，

由/'(X)V。，得0cx<,A>X(；由/"(X)>0，得当<V<内.

所以，/*)的单调减区间为(0,上半区)，(丐场E单调增区间为

1-71+4«l+，l+4a、

(---------,---------)；...........................................7分

22

②假设《=0,由⑴知/(a)单调增区间为(0,1),单调减区间为(1,+8);

③假设4>0,则芭>0>12，

由/'")<0»得4>为；由ff(x)>0»得0Vxe玉.

f(x)的单调减区间为("工+4"，+oo),单调增区间为.……9分

综上所述：当〃W-'时，/(、)的单调减区间为(0,”)；

4

当一;<。<0时，/(外的单调减区间为(0,上半互)，(匕半近，伏)，

单调增区间为(上4匹,112叵9),

22

当。云0时，f[x｝单调减区间为(吗+4“*),单调增区诃为

(o,1+7^)..........................................10分

2.函数/1(x)=«(x--)-21nx(tzeR).

x

求函数八幻的单调区间；

解：函数的定义域为(O,T8),/'(幻=〃(1+5)-1=丝手土色...........1分

(1)当.。V0时，"％)=ax'-2x+av0在(0.+8)上恒成立，

则f\x)v0在(0,+oo)上恒成立，此时f(x)在(0,+oo)上单调递减..........4分

(2)当。>0时，△=4-4片，

(i)假设Ovavl,

由/”(x)>。，即万。)>0，WJI<----!——!——；...........5分

aa

2

„n/If1-V1-6Z1+J-2

由/'(x)vO,即力(x)vO,得----------<x<---------...................6分

aa

所以函数f(x)的单调递增区间为((/—'—才)和,+8),

aa

单调递减区间为—..............................7分

aa

(ii)假设aNl,反制之。在(0,+oo)上恒成立，则/'")20在(0,+oo)上恒成立，此

时/*)在(0,+00)上单调递增.................................................

3、含绝对值的函数单调性讨论

例题：函数f(x)=x\x-a\-\nx.

(1)假设o=l,求函数/(均在区间［l,c］的最大值；

(2)求函数jf(x)的单调区间;

(3)假设/(x)>0恒成立，求a的取值范围

解：(I)假设“1,则/(x)=x|x-l|-lnx.

1Oy2-r—1

当时，/(x)=x?-x-ln尤，/(x)=2x-1——=----:--->0，

xx

所以/")在［1M上单调增,/(。皿=/(£)=/_c-1..........2分

(2)由于f(x)=x|x-d-lnx,xG(0,-HO).

1'丫2_〃丫_］

(i)当。W0时，则/(x)=/-ar-lnx,f(x)=2x-a——=-----:---,

xx

令/'a)=0,得/=a+/+8〉0(负根舍去)，

且当XW(O,X0)时，/(%)<0;当工£*0,+8)时，/(X)>0,

所以/(X)在(0,空如士B)上单调减，在("+""+8,+00)上单调增.……4分

44

(ii)当。>0时，

①当x2〃时，f(x)=2x-a--=————―-.

XX

令/'*）=o,（工=伫也歪<。舍），

44

假设"+'。-+8«一,即。之1,则r*）NO,所以/（X）在m,+8）上单调增；

4

1-2

假设">a,即0<av1,则当xw（0,凡）时，f\x）<0；当xc（内,+8）时,

4

/U）>0,所以/（幻在区间（0,丝2叵8）上是单调减，在（丝正巨,十8）上单调

44

增....................................6分

1—2V*+(1Y—1

②当0<xva时,f(x)=-2x+。—=------------,

XX

令/'（x）=O,得一2/十分一1=0,记△=一8,

假设八二。2—8工0,即0<aW2&,则f（x）W0,故/（x）在（0,/上单调减；

假设△=。2-8>（）,即。>2百，

.「'/、caci—yjcr—8ci+（i~—S

则rtll由f（x）=0得a=---------,x.=--------------且ri0<七<%<。，

44

当X£（0,&）时，/（^）<0：当工£（占,14）时，/（1）>0；当了£（匕，十8）时，

/（A）>0,所以在区间（0,"一‘"一8）上是单调减,在-8-1

444

上单调增；在（"+'"T,+oo）上单调减..................................8分

4

综上所述，当av1时，f（用单调递减区间是（0,"++8）,/（制单调递增区间

4

aQ+\la2+8

是（-----------收）；

4

当1WaW2板时,/（x）单调递减区间是（0,a）,/（x）单调的递增区间是

（。,+8）：

当。>2及时,/(x)单调递减区间是(0,土业二刍)和("+'"2-8,4),

44

/(X)单调的递增区间是(巴［8,。"-8)和(〃,+8)............1o分

44

⑶函数/(X)的定义域为xw(0,+oo).

由/。)>0,得|x->史2.*

㈠)当xc(0,l)时，,―420,—<0,不等式*恒成立，所以aeR；

X

(ii)当x=l时，|1一。|20,—=0,所以............12分

X

(iii)当x>l时，不等式*恒成立等价于地恒成立或a>x+处恒成立.

XX

令h(x)=X--t则h\x)=Is，".

XX

因为x>1,所以h'{x\>0,从而力(x)>1.

因为4<X_如恒成立等价于«<(力⑶)而n,所以a<1.

X

尽,、Inx.x2+l-lnx

令g(x)=x+—，贝！g(x)=----；——•

XJT

再令e(x)=f+l-Inx,则，(x)=2x-，>0在xw(l,+oc)上恒成立，e(x)在xe(1,m)上

x

无最大值.

综上所述，满足条件的〃的取值范围是(-00,1).....................16分

2.设。为实数，函数7*)=刈』-〃|

(2)求函数/(外的单调区间

4、分奇数还是偶数进展讨论

例题：【2015高考天津，理20函数/(x)=nx—x”,x€/?,其中nwN.,nN2.

⑴讨论fM的单调性；

【答案】⑴当"为奇数时，/(x)在(―8,—1),(1,+8)上单调递减，在(—1,1)内单调递增;

当〃为偶数时,f(x)在(-oo,T)上单调递增，f(x)在(1,+8)上单调递减.(II)见解析；(IH)

见解析.

(2)当〃为偶数时,

当(")>0,即x<l时,函数/a)单调递增;

当/'(戈)<(),即X>1时，函数/(X)单调递减.

所以，/(X)在(一8,-1)上单调递增，/(X)在(1,+8)上单调递减.

5、单调区间求参数范围

例题：(14年全国大纲卷文)函数f(x尸aF+BHe.g产0).

(1)讨论函数f(x)的单调性；

(2)假设函数f(x)在区间(1,2)是增函数，求a的取值范围.

解：(1)/'(x)=3o?+6x+3,/'(%)=3a?+63+3=0的判别式4=36(1-a).

(i)假设a2l,则/(尢)20,且/'(x)=0当且仅当a=l,x=-l,故此时f行)在R上

是增函数.

"""1"I"*\Z1a11"™1a

(ii)由于aro,故当a<l时，f'(x)=O有两个根：x,=——-——,x2=——-——，

a-a

假设Ovavl,则当(—oo,X2)或4£(xi，+8)时，/'(x)>0,故f⑴在(—

co,X2)，(xi，+C0j上是增函数；

当xW(X2»X\)时，f\x)<0,故f(x)在(X2，为)上是减函数；

(2)当a>0,x>0时,/'(x)〉0,所以当a>0时，f(x)在区间(1,2)是增函数.

假设a<0时，f0)在区间(1,2)是增函数当且仅当/'(1)20且/'(2)20,解得

—V〃<0.

4

综上，a的取值范围是［-』,())U((),+8).

4

二、极值

(一)判断有无极值以及极值点个数问题

例题：【2015高考山东，理21】设函数/")=ln(x+l)+a(f一耳，其中QER.

(I)讨论函数/(R)极值点的个数，并说明理由;

(2)当〃>()时，△=/-84(1-4)=Q(9〃-8)

Q

①当时，A<0,/?(x)>0

所以，r(x)>0,函数/(x)在(一1,+oo)上单调递增无极值；

Q

②当4>一时，A>0

9

设方程2ad+at+1-a=0的两根为3,%(％</)，

因为为+x2=-^

所以，x<—,x)>—

1424

由g(-1)=1>0可得：

所以，当x£(-l,xj时,g(x)>0J'(x)>0,函数/(x)单调递增；

当工£(%,&)时，g(x)<0,/z(x)<0,函数f(x)单调递减；

当工6(々，+°°)时，g(x)>0J'a)〉。，函数/(x)单调递增；

因此函数/(“有两个极值点.

(3)当〃<0时，A>0

由g(-l)=l>0可得：X1<-1,

当xe(­l，W)时，^(A-)>0,/Z(X)>0,函数/(力单调递增；

当上e(%,+8)时，g(x)<(),/'(1)<(),函数/(x)单调递减；

因此函数/(X)有一个极值点.

综上：

当。<()时，函数/(力在(-L+OO)上有唯一极值点；

Q

当OWaw1时，函数/⑴在(一1,+8)上无极值点；

Q

当时，函数/(无)在(一1,+8)上有两个极值点；

例题：【2015高考安徽，理21】设函数/。)二/一奴+人

(I)讨论函数/(sinx)在内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值;

【解析】

(I)f(sinx)=sin2x-asinx+b=s\nx(s\nx-a)-¥b,——<x<—.

71Ji

ff(sinx)r=(2sinx-a)cosx,-y<x<y.

因为一工<x<工，所以cosx>0,-2<2sinx<2.

22

①当〃4-2”wR时,函数/(sinx)单调递增，无极值.

②当〃之2,力ER时，函数/(sin幻单调递减，无极值.

JTTT

③当一2<〃<2,在(一耳,耳)内存在唯一的毛，使得2sinXo=a.

TTTT

-y<x<x0H'J\函数/(sinx)单调递减；工0<工<5■时，函数/(sinx)单调递增.

因此，-2<a<2,。wR时，函数/(sinx)在毛处有极小值

/(sinx0)=/A=Z?-^-.

24

(二)极值点个数求参数范围

例题：【14年山东卷(理)】设函数/(x)=ST(2+Inx)(%为常数，e=2.71828

xx

是自然对数的底数)

(I)当时，求函数/(x)的单调区间；

(II)假设函数/("在(0,2)内存在两个极值点，求k的取值范围。

练习：1、【2014年天津卷(理)】

2、(2014湖南)1本小题总分值13分)

常数。>0,函数/(x)=ln(l+or)-2.

x+2

(I)讨论在区