高考数学 与大学高等数学接轨的三类函数（精讲+精练）高考数学高频考点题型归纳与方法总结原卷版

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

素养拓展03与大学高等数学接轨的三类函数（精讲+

精练）

、知识点梳理

高考数学与高等数学知识［如欧拘公式、高斯函数、狄利克雷函数）的接轨，学以小题的形式

呈现，意在考查数学抽象、逻辑推理、直观想象和数学运算等核心素养.因此在复习备考中，

有意识地加强这方面的训练是很有必要的，这有利于培养个人的探究、创新精神，拓宽思维，

提升核心素养.

二、题型精讲精练

【题型训练】

公式

1.（多选题）（2023•全国•高三专题练习）欧拉公式（EulerFormula）/+1=0被数学家们

称为“宇宙第一公式（其中无理数

e=2.7182818284590452353602874713526624977572470936999595749669

676277240766303535475945713821785251664274••.）,如果记e小数点后第n位上的数字为

川，则加是关于〃的函数，记为〃2=/（〃）.设此函数定义域（domain）为A,值域（闻叫）

为B,则关于此函数，下列说法正确的有（）

A./（5）=8B.函数/（〃）的图像是一群孤立的点

C.〃是机的函数D.A

2.（单选题）（2023•全国•高三专题练习）欧拉公式（EulerFormula）/+1=。被数学家们

称为“宇宙第一公式（其中无理数

e=2.718281828459045235360287471352662497757247（）936999595749669

676277240766303535475945713821785251664274•••）,如果记e小数点后第〃位上的数字为

〃?，则，"是关于〃的函数，记为〃2=/（〃）.设此函数定义域（domain）为A,值域（range）

为3,则关于此函数，下列说法正确的有（）

A."5）=8B.函数/（〃）的图像是一群孤立的点

C.〃是机的函数D.BaA

3.（填空题）（2023春•上海浦东新•高三上海市实验学校校考阶段练习）欧拉公式

=cosO+isin。，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的联系,

H71/nr

被誉为，，数学中的天桥，，，已知数列{〃”}的通项公式为4=cos------+isin------(??=1,2,3,…)，

20222022

则数列伍”}前2022项的乘积为一.

[高斯函数

一、单选题

1.（2023・全国•高三专题练习）世界公认的三大著名数学家为阿基米德、牛顿、高斯，其中

享有“数学王子”美誉的高斯提出了取整函数），=n],[可表示不超过x的最大整数，例如

=[一1』=一2.已知/（x）=，+±],则函数〃力的值域为（）

A.{4,6,8}B.{4,5,6}C.{4,5,67,8}D.{4,8}

2.（2023・全国•高三专题练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有，嗷学

王子''的美誉.函数〃"二1]称为高斯函数，其中xcR,旧表示不超过x的最大整数，例

如：卜1.1]=-2,[2.5]=2,则方程[2x+l]+凶=4x的所有解之和为（）

A.1B.-C.-D.-

2424

3.（2023春•宁夏银川・高三银川一中校考期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者

之一，享有“数学王子”的祢号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家.用其名字命名

的嘀斯函数”为：y=[#*eR）,因表示不超过x的最大整数，如[—1.6]=—2,=

[2]=2,已知/（"=芸+《，则函数y=[f（x）]的值域为（）

A.{0}B.{-L0}C.{-1,0,1}D.{-2,-1,0}

4.（2023秋・江苏南京・高三南京师大附中校考期末）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠

基者之一，用其名字命名的“高斯函数''为：设xwR,在卜]表示不超过上的最大整数，则

产国称为高斯函数.例如：[-3.6卜-4,[3.6]=3.已知函数/3」_，二，则函数

21+e'

y=[〃x）]+[〃—x）]的值域是（）

A.{-1,0}B.{0}C.{0,1}D.{-1,。/}

二、多选题

1.（2023春・广东广州•高三广东实验中学校考阶段练习）高斯是德国著名的数学家，近代数

学奠基者之一，享有“数学王子''的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其

名字命名的“高斯函数”为：设xeR,用旧表示不超过二的最大整数，则>=3称为高斯函

数，如：=[-1.2]=-2,y=[司又称为取整函数，在现实生活中有着广泛的应用，

诸如停车收费，出租车收费等均按“取整函数''进行计费，以下关于''取整函数”的描述，正确

的是（）

A.V^eR,[2x]=2[x]B.VxeR,[x]+x+^=[2x]

C.Vx,yeR,若[出=[川，则有工-），＞-1D.方程V=3次]+1的解集为｛下,加｝

2.（2023春・湖南长沙•高三长沙超山国际实验学校校考开学考试）高斯是德国著名的数学家,

近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，

用其名字命名的“高斯函数”为：设xeR,用同表示不超过的最大整数，则称为高斯

函数，例如卜3.2]=-4,[2.3]=2.已知函数〃力=备-3,则关于函数g（x）=[/（"]的

叙述中正确的是（）

A./（、）是奇函数

B.〃力在R上是减函数

C.g（x）的值域是｛-1,0｝

D.[Iog31]+[log32]+[log3]+…+[log,243]=857

3.狄利克雷函数

一、单选题

1.（2023•全国,高三专题练习）狄利克雷函数与黎曼函数是两个特殊函数，狄利克雷函数为

LxwQ,

D（x）=

0n,Vx.wA'Q八.黎曼函数定义在[°1]上，其解析式为

R（加,用伏为正整数，评不可以再约分的真分可，则。同*=（）

0,x=0,l和无理数，I

A.1B.0C.V2D.—

2

2.（2023•全国•高三专题练习）德国著名数学家、解析数论的创始人狄利克雷（1805年2月

13日〜1859年5月5口），对函数论、三角级数论等都有重要贡献，主要著作有《数论讲义》

[1x为有理数

《定积分》等.狄利克雷函数就是以其名字命名的函数，其解析式为。（司=:工工田媪则

[0,x为无理数，

下列关于狄利克雷函数Dlx）的判断错误的是（）

A.对任意有理数/,D（x+t）=D（x）

B.对任意实数x,D（D（.r））=l

C.既不是奇函数也不是偶函数

D.存在实数x,y,ZX-r+y）=D（.r）+D（y）

二、多选题

1.（2023秋・江西上饶•高三统考期末）函数=被称为狄利克雷函数，则下列结

论成立的是（）

A.函数仪力的值域为口1]B.若。（2）=1,则。优-2）=1

C.若。（％）-。（9）=0,则-一再wQD.%eR,+旬=1

2.（2023・全国•高三专题练习）狄利克雷是数学史上第一位重视概念的人，并且是有意识地“以

概念代替直觉”的人.在狄利克雷之前，数学家们主要研究具体函数,进行具体计算，他们不大

考虑抽象问题，但狄利克雷之后，人们开始考虑函数的各种性质，例如奇偶性、单调性、周期性

等.1837年，狄利克雷拓广了函数概念，提出了自变量x与另一个变量y之间的现代观念的对

1,X€Q

应关系，并举出了个著名的函数——狄利克雷函数：。（力=n下列说法正确的有

5X£Or%Q

（）

A.£>（x+I）=Z）（x）B.D（D（x））=D（x）

C.。⑺是偶函数D.。（初勺值域为3（）《）臼}

3.（2023・全国•高三专题练习）狄利克