导学案25.3 第3课时 循环问题、数字问题及其他问题（含答案）

2026秋人教九上数学AI赋能完全备课【导学案】第25章一元二次方程25.2降次—解一元二次方程25.3第3课时循环问题、数字问题及其他问题【学习目标】1.经历用一元二次方程解决实际问题的过程，总结列一元二次方程解决实际问题的一般步骤.2.通过学生自主探究，会根据循环问题、数字问题中的数量关系列一元二次方程并求解，熟悉解题的具体步骤.学习重点：通过学生自主探究，会根据循环问题、数字问题中的数量关系列一元二次方程并求解，熟悉解题的具体步骤.学习难点：通过学生自主探究，会根据循环问题、数字问题中的数量关系列一元二次方程并求解，熟悉解题的具体步骤.【复习导入】问题1：要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式(每两支球队之间比赛一场)，受场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，组织者应邀请多少支球队参赛？【合作探究】探究点1：一元二次方程解决循环问题类型1：单循环问题解：设应邀请x支球队参赛，每支球队要与其他(x－1)支球队各赛1场.思考：赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，也就是一共要比赛场，比赛的总场次用含x的代数式表示为场，所以可列得方程练一练1.某中学组织了一次联欢会，参会的每两个人都握了一次手，所有人共握了10次手，有多少人参加聚会？类型2：双循环问题问题2：若干支球队进行主客场双循环比赛，有人说，我算出总场数正好是300.他算得对吗？为什么？总结：由总场数为n(n－1)可知，其必为两个连续正整数的乘积，如2，6，12，20，···，240，272，306，···.变式题：某中学组织初三学生开展足球比赛，以班为单位，采用主客场赛制(即每两个班之间都进行两场比赛)，计划安排72场比赛，则共有多少个班级参赛？归纳：关键是抓住主客场赛制，即每两个班之间都进行两场比赛，就可以根据班级数乘每个班级要进行的场数等于总场数列方程.归纳总结循环问题单循环x支球队进行比赛，每两队之间比赛一场，共比赛a场.x人互相握手，共握手a次.x人每人与其他人合照一张双人照，共合照a次.双循环x人互送礼物或互发信息、祝福等，总数为a.问题3：一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大2，且这个两位数的数值是它两个数字乘积的3倍，求这个两位数.练一练2.一个两位数，十位数字与个位数字之和是5，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新两位数与原来的两位数的乘积为736，求原来的两位数.归纳总结数字问题(1)两个连续整数：设较小的整数为x，则较大的整数为x＋1；(2)三个连续奇数(偶数)：设中间的数为x，则较小的数为，较大的数为；(3)两位数：十位数字×10＋个位数字；(4)三位数：百位数字×100＋十位数字×10＋个位数字.探究点3：其他问题问题4：在无锡、苏州等太湖沿岸城市，吃蟹是秋季最重要的民俗活动之一.某学校九年级利用国庆假期开展社会实践活动，调查螃蟹行情，帮某商家解决销售问题的同时为顾客谋实惠.调查发现，螃蟹的进价为40元/千克，售价为50元/千克时，每天可销售100千克.每千克每涨价1元，每天少销售2千克，若商家一天销售螃蟹获总利润为1600元，则当天螃蟹的售价为多少元/千克?练一练3.某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件．若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？归纳总结用一元二次方程解决营销问题的一般步骤1.设未知数x，用含x的代数式表示销量、单件利润；2.根据利润=销量×单件利润列方程；3.解方程；4.根据题意，如限制利润率、减少库存、让利于民等条件，进行取舍；5.作答.当堂反馈1.[教材变式]某校九年级组织一次篮球比赛，每两班之间都比赛一场，共进行了55场比赛，则该校九年级共有班级个数为()A.9 B.10 C.11 D.122.一个两位数的个位数字与十位数字的和为11，并且个位数字与十位数字的平方和为85，求这个两位数.3.商场以每件100元的价格购进纪念品，以每件150元的价格出售，平均每天可销售30件.经试验发现，纪念品的销售单价每提高1元，平均每天的销售量就减少10件.若销售这种纪念品每天获得的利润为520元，求销售单价.参考答案【合作探究】探究点1：一元二次方程解决循环问题类型1：单循环问题解：设应邀请x支球队参赛，每支球队要与其他(x－1)支球队各赛1场.赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，也就是一共要比赛28场，比赛的总场次用含x的代数式表示为12x(x－1)所以可列得方程12x(x－解方程，得x1＝8，x2＝−7(不合题意，舍去).因此，比赛组织者应邀请8支球队参赛.练一练1.解：设共有x人参加聚会，则每个人要握手(x－1)次，共握手x(x−1)次，但每人都重复了一次，故根据题意得解得x1＝5，x2＝−4(舍去)．∴x＝5.答：共有5个人参加聚会．类型2：双循环问题问题2：假设这个人算得对，即n支球队进行主客场双循环比赛的总场数为300，那么n(n－1)＝300.解方程，得由于1201不是完全平方数，所以n不可能为整数.因此，总场数不可能为300，这个人算得不对.变式题：解：设共有x个班级参赛，则每个班级要进行(x－1)场比赛，根据题意得x(x－1)＝72.解得x1＝9，x2＝−8(舍去).∴x＝9.答：共有9个班级参赛．问题3：列一元二次方程：11x＋2＝3x(x＋2).解方程，得x1＝2，x2＝−1/3(舍去).当x＝2时，个位数字为2＋2＝4，两位数为24，验证：24＝3×(2×4)＝24，符合题意，故这个两位数为24.练一练2.解：设原来的两位数十位上的数字为x，则个位上的数字为(5-x)，依题意得(10x+5−x)[10(5−x)+x]=736.解得x1=2，x2=3.当x=2时，5−x=3；当x=3时，5−x=2.答：原来的两位数是23或32.探究点3：其他问题问题4：解：设当天螃蟹的售价为x元/千克，则每千克的销售利润为(x－40)元，每天可售出100－2(x－50)＝(200－2x)千克，根据题意得(x－40)(200－2x)＝1600，解得x1＝60，x2＝80，又∵要为顾客谋实惠，∴x＝60.答：当天螃蟹的售价为60元/千克.练一练3.解：设每件衬衫降价x元，根据题意得(40−x)(20+2x)=1200，整理得x2−30x+200=0.解方程得x1=10，x2=20.答：每件衬衫应降价10元或20元.当堂反馈1.C2.解：设个位数字为x，则十位数字为(11－x).由题意得x2＋(11－x)2＝85，解得x1＝2，x2＝9.当x＝2时，两位数为92，当x＝9