甘肃兰州市2026届高三第一次模拟数学试卷（教师版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1甘肃兰州市2026届高三第一次模拟试卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.集合，则图中阴影部分所表示的集合为（）A. B. C. D.【答案】B2.已知函数（是虚数单位），则（）A. B. C. D.【答案】A3.下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（）A. B.C. D.【答案】D4.为等差数列的前项和.若，则公差（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C5.在中，为边上靠近点的三分点，为的中点，则（）A. B. C. D.【答案】C6.已知直线，平面，则下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】D7.为全面提升学生的核心素养与综合实践能力，某校举办“模拟联合国大会”活动，设置了A，B，C，D共4个不同的国家立场，由4名同学通过随机抽签确定每人代表一个国家立场参与活动.已知这4名同学每人都有且仅有一个心仪的国家立场，且4人心仪的国家立场互不相同，则仅有1名同学抽到自己心仪国家立场的抽取方法数是（）A.4 B.8 C.12 D.24【答案】B8.已知曲线，则曲线上的点到直线的距离的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）9.某校高一年级开设了文学社､科创社､体育社､艺术社､辩论社五类社团，每名同学最多参加一个社团，对参加社团活动的情况进行统计调查，统计信息如图（1），（2），其中参加体育社和艺术社的人数相等，为了解社团活动开展情况，采用分层抽样的方法在参加社团活动的学生中任意抽取20名学生做问卷调查.根据以上信息，下列说法正确的是（）A.艺术社的学生人数有120人B.文学社和辩论社参加问卷调查的学生人数共有5人C.从参加社团的学生中任选1人，已知该学生不是文学社成员，则该学生是科创社成员的概率为D.调查结果显示文学社､科创社的满意率均为0.7，其他社团的满意率均为0.9，则社团活动总体满意率为0.81【答案】ABD10.在中，内角所对的边分别为，满足，且，设外接圆半径为，则下列结论正确的是（）A.的面积为B.当时，C.当时，D.的取值可能是2【答案】BCD11.已知函数是定义在上的偶函数且在区间上单调，函数的图象关于点中心对称，则以下说法正确的是（）A.B.若，则C.若在区间上是增函数，则在区间上是增函数D.若，则在区间上的零点之和为0【答案】BC三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.双曲线的右焦点为，则双曲线的渐近线方程为__________.【答案】13.正四面体的棱长为，过棱作平面与棱平行，则平面截该正四面体的外接球所得截面的面积为__________.【答案】14.已知函数，向量是平面内三个不同的单位向量，其中向量相互垂直，且满足，则的取值范围是__________.【答案】四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤）15.已知数列中，，当时，为的展开式第3项的二项式系数.（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足，数列的前项和为，求证：.【答案】解：（1）由题意，时为的展开式第3项的二项式系数，所以，且，故.（2）由（1），当时，，因为满足上式，所以对恒成立，易知在上单调递增，，，所以.16.已知三棱锥中，，平面平面，为垂足.（1）求的长；（2）求平面与平面所成的锐角的余弦值.【答案】解：（1）因为在和中，，所以，可得，平面平面，平面平面，，所以平面，平面，可得，所以为直角三角形，又，，因此,可得.（2）由（1）中结论可知，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如下图所示：可得，则，设平面的一个法向量为，可得，令，可知，即；设平面的一个法向量为，可得，令，可知，即；设平面与平面所成的锐角为，所以，因此平面与平面所成的锐角的余弦值为.17.已知.（1）若曲线在处的切线的一个方向向量为，求实数的值；（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围.【答案】解：（1）由，求导得：，则曲线在处的切线斜率，又曲线在处的切线的一个方向向量为，故切线斜率，所以，解得.（2）由对任意恒成立，可得对任意恒成立，令，则，令，则，由于在恒成立，所以在上单调递增，则，所以在上单调递增，则，即，当时，即，，在上单调递增，则满足条件，当时，，则必存在，使得时，，此时在上单调递减，则有，不满足条件，综上可知：当时，对任意恒成立，即实数的取值范围是.18.已知椭圆的左､右焦点分别为，且在椭圆上，椭圆与椭圆离心率相同.（1）求椭圆的标准方程；（2）是椭圆上异于的一点，过点作直线交椭圆于点，作直线交椭圆于点.（i）证明：为定值；（ii）若，四边形的面积为，求的最大值.【答案】解：（1）因为在椭圆上，所以，因为椭圆的离心率为，所以，所以，所以，所以椭圆的标准方程为.（2）（i）设直线，的斜率分别为，故直线的方程为，直线的方程为，设，则，所以，由得，设点的坐标分别为，则，．所以，同理，所以，为定值.（ii）因为四边形的面积为，所以，当且仅当，等号成立，所以的最大值为.19.一项物理实验是向区域中发射某种粒子，该粒子随机落于中的任何位置，且任意粒子落于何处互不影响.当某个粒子落于中特定区域内时，则需对其进行检测，已知每个粒子落于内的概率均为（是自然对数的底）.（1）若一次向中发射3个粒子，求恰有2个粒子需要检测的概率；（2）若向中发射该粒子，每次一个，只要有粒子落于内，就停止发射.表示粒子首次落于内的发射次数，表示第次发射时粒子首次落于内的概率，若，求的最小值；（参考数据：）（