甘肃兰州市八校2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1甘肃兰州市八校2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷一、单选题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（）A.了解兰州白兰瓜的甜度情况B.了解某品牌新能源汽车电池的续航能力C.了解兰州市中学生收看9月3日阅兵直播情况D.对我国首艘电磁弹射航空母舰福建舰各零部件质量情况的调查【答案】D【解析】切开白兰瓜具有破坏性，故A不符合题意；测试续航能力通常需要将电池完全放电，具有破坏性，故B不符合题意；兰州市中学生人数众多，全面调查工作量巨大，故C不符合题意；航空母舰中的每个零件的质量都至关重要，因此需要对其进行全面检查，故D符合题意.2.已知，，若，则实数的值为（）A. B. C.2 D.4【答案】A【解析】因为，所以，则，解得.故选：A.3.已知某区中小学学生人数如图所示，为了解学生参加社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法来进行调查．若高中需抽取20名学生，则小学与初中共需抽取的人数为（）A.30 B.40 C.70 D.90【答案】C【解析】由题意可得，抽样比为：，则小学和初中共抽取：人.本题正确选项：C.4.已知角，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，即，又由，可得，则，可得，，可得，联立方程组，可得.故选：B.5.已知，是方程的两根，且，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意，，则，且一正一负，因，则，故.故选：C.6.如图，在平行四边形中，点满足，点为的中点，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因为，所以.因为点为的中点，所以，所以.故选：B.7.在中，内角的对边分别为，，，且，，则角（）A. B. C. D.【答案】D【解析】已知，又因为，所以，又由余弦定理，又因为，所以，故选：D.8.若M为所在平面内一点，且满足，则为（）A.直角三角形 B.等腰三角形C.等边三角形 D.等腰直角三角形【答案】A【解析】由，得，所以，即，两边平方并化简得，则，即，故，所以是直角三角形.故选：A.二、多选题（在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．）9.有一组样本数据，由这组数据得到新样本数据，其中为非零常数，则两组样本数据的样本（）A.平均数相同 B.中位数相同C.标准差相同 D.极差相同【答案】CD【解析】对于A，原样本数据的平均数，新样本数据的平均数（），所以A错误；对于B,不妨设原样本数据,中位数为或，则新样本数据,中位数为或,B错误;对于C，原样本数据的方差，新样本数据的方差为：,所以,C正确；对于D，不妨设样本数据中，分别为最小值和最大值，极差为，则新样本数据，，…，中，分别为最小值和最大值，极差为，所以D正确.故选：CD.10.已知向量，，下列说法正确的是（）A.B.C.与向量平行的单位向量仅有D.向量与向量的夹角为【答案】ABD【解析】对于A，，，所以，故A正确；对于B，，所以，故B正确；对于C，，则有、，即与向量平行的单位向量有、，故C错误；对于D，，所以向量与向量的夹角为，故D正确．故选：ABD.11.已知函数（），则下列说法正确的是（）A.函数的图象关于轴对称B.函数的最小正周期为C.点为函数图象的一个对称中心D.函数的最大值为1【答案】BD【解析】由题意可得：，对于选项A：因为不为最值，所以函数的图象不关于轴对称，故A错误；对于选项B：函数的最小正周期为，故B正确；对于选项C：因为，所以点不为函数图象的一个对称中心，故C错误；对于选项D：当，即时，函数取到最大值为1，故D正确；故选：BD.三、填空题12.数据的平均数是7，则这组数据的第百分位数为______．【答案】【解析】因为数据的平均数是7，所以，解得，因为，所以这组数据的第百分位数为第位数，即.故答案为：.13.的值为______．【答案】【解析】.14.已知，向量在向量上的投影向量为，则与夹角的余弦值为______.【答案】【解析】设与的夹角为，则向量在向量上的投影向量为，所以，所以.四、解答题（解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.某校100名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如下：（1）求频率分布直方图中a的值；（2）分别求出成绩落在与中的学生人数；（3）估计这次考试的众数、平均数及78分以上的人数．解：（1）由题意得，解得.（2）设为成绩落在上的概率，为成绩落在的人数，由题意得，设为成绩落在上的概率，为成绩落在的人数，.（3）由题意得众数为75分；由（1）得成绩落在的频率为0.1，落在的频率为0.15，落在的频率为0.35，落在的频率为0.3，落在的频率为0.1，则平均数为，设为78分以上的频率，为78分以上的人数，则，，故78分以上的人数为47人.16.已知向量满足，，且与的夹角为．（1）若，求实数的值；（2）求与的夹角的大小．解：（1）由题意可得，因为，所以，即，解得．（2）设与的夹角为，由（1）可知，，由题意可得，由，得，所以，所以.17.已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点在边上，且，设与相交于点．记，．（1）请用，表示向量；（2）若，设，的夹角为，若，求证：．解：（1），由题意得，所以．（2）由题意，．∵，，∴．∴，∴．18.已知的内角所对的边分别为，，，且．（1）求角的大小；（2）若的面积为，中线，求．解：（1）在中，，则，因为，则，由正弦定理得：，所以，所以，又，得，所以，即，由，解得.（2）因为的面积为，所以，由（1）知，故，因为为中线，即为中点，则，又，则，所以，解得，由余弦定理得，所以.1