小学三年级数学《构建模型 解决问题-“归一问题”深度探究》教案

小学三年级数学《构建模型解决问题——“归一问题”深度探究》教案一、教学内容分析【基础】本节课是《多位数乘一位数》单元的第八课时，教学内容为人教版教材三年级上册第六单元例8，即“解决问题（二）”。其核心内容是“归一问题”的数学模型建构与应用。在本单元中，学生已经系统学习了多位数乘一位数的口算、笔算以及混合运算的运算顺序，这为本节课将计算技能应用于解决复杂实际问题奠定了坚实的基础。从整个小学阶段的数学课程来看，“归一问题”是典型的用乘除两步计算解决的实际问题，它不仅承载着将数学知识应用于生活的功能，更重要的是，它是培养学生数学模型思想、渗透函数思想、发展学生分析问题和解决问题能力的重要载体。通过本节课的学习，学生将初步感知“单一量”的守恒性，掌握“先求单一量，再求总量或份数”的解题策略，为后续学习“归总问题”、比例应用题乃至更复杂的数学建模打下坚实的认知基础。二、学情分析【重要】三年级的学生正处于由具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的关键时期。他们已经积累了丰富的解决一步计算实际问题的经验，能够熟练运用乘法或除法解决简单的购物问题、分配问题等。然而，面对需要两步计算且数量关系隐蔽的“归一问题”，学生在认知上会遇到挑战：一是难以从纷繁的信息中抓住“单一量”不变这一本质；二是对于如何将两步计算有机结合起来，缺乏清晰的思路和策略。因此，在教学过程中，教师不能仅仅满足于学生会列式计算，更要注重引导学生经历“阅读与理解—分析与解答—回顾与反思”的完整解题过程，特别是要借助画图这一直观手段，帮助学生将抽象的数学关系可视化，从而突破理解障碍，初步建立“归一问题”的数学模型。三、教学目标基于对教材和学情的分析，结合核心素养导向的课程理念，我确立了以下四个层面的教学目标：1.【基础】知识与技能：学生能够在具体的生活情境中理解“归一问题”的结构特点，掌握“先用除法求出单一量，再根据问题选择乘法或除法求出结果”的基本解题方法，并能列综合算式解答。2.【重要】过程与方法：通过画图、列表等方式整理信息和分析数量关系，经历“归一问题”数学模型建构的过程，提高分析问题和解决问题的能力，初步感受数形结合思想和模型思想。3.【重要】情感态度与价值观：在解决实际问题的过程中，体会数学与日常生活的紧密联系，增强学习数学的兴趣和信心。通过探究与合作，培养严谨求实的科学态度和乐于分享的合作精神。4.【难点】核心素养：在变式练习和对比辨析中，能够精准识别“正归一”与“反归一”两种不同类型的结构，并能灵活应用模型解决新情境下的问题，培养数学建模素养和应用意识。四、教学重难点1.【重点】掌握用乘除两步计算解决“归一问题”的方法，即“先求单一量，再求总量或份数”。2.【难点】理解“单一量”的意义，能准确找到解题的关键——单一量，并能根据所求问题判断第二步是用乘法还是除法，初步建构“归一问题”的数学模型。五、教学准备多媒体课件（PPT）、学习任务单、实物投影仪。六、教学过程（一）激活经验，引入新课课始，教师通过课件呈现一个简单的购物情境：妈妈买3千克苹果花了18元钱。并提问：“根据这两个信息，你能提出一个用一步计算就能解决的数学问题吗？”学生很容易提出“每千克苹果多少钱？”（单价）或“每元能买多少千克？”（效率，本课不涉及），并列出算式18÷3=6（元）。教师紧接着追问：“你是根据什么数量关系来解决的？”引导学生回顾“总价÷数量=单价”这一基本数量关系式。这一环节旨在激活学生已有的除法经验，为后续寻找“单一量”做好铺垫。随后，教师继续出示问题：“照这样计算，买8千克同样的苹果需要多少钱？”并揭示课题：【高频考点】解决问题（二）——探究“归一问题”。通过将一步问题延伸为两步问题，制造认知冲突，激发学生探究新知的欲望。（二）自主探究，建构模型1.【难点】阅读与理解，尝试画图教师出示例8主题图及问题：“妈妈买3个碗用了18元。如果买8个同样的碗，需要多少钱？”引导学生进入“阅读与理解”环节。首先，学生独立默读题目，圈画出关键数学信息和问题。教师指名汇报，明确已知信息是“3个碗，18元”，所求问题是“买8个同样的碗需要多少钱？”重点引导学生理解“同样的碗”意味着每个碗的价钱不变，即【重要】“单价不变”，这是解决整个问题的核心前提。接着，教师提出核心学习任务：“题目中的信息和问题比较复杂，你能想个办法把它们清晰、简单地表示出来吗？可以画一画、写一写。”给学生留出充分的独立思考和时间，鼓励他们用自己的方式表征问题。教师巡视，收集有代表性的作品，如纯文字摘录、线段图、象形图等。最后，组织全班交流展示。教师将不同的表征方式投影出来，让学生对比评价：“你们觉得哪种方式能让人一眼就看明白信息和问题之间的关系？”在讨论中，引导学生体会用画图的方法（特别是线段图或方块图）能够直观地表示出数量关系。教师顺势在黑板板书出规范、简洁的示意图：18元┌──┬──┬──┐│3个│└──┴──┴──┘┌──┬──┬──┬──┬──┬──┬──┬──┐│8个│└──┴──┴──┴──┴──┴──┴──┴──┘？元此环节的设计意图是让学生在自主尝试中感受画图策略的价值，经历由具体文字到抽象图示的转化过程，为后续分析数量关系搭建可视化的脚手架。2.【核心】分析与解答，探寻思路在清晰理解题意后，进入“分析与解答”的核心环节。教师结合示意图，引导学生思考：“根据我们画的图，要解决‘买8个碗需要多少钱’这个问题，第一步必须先知道什么？”引导学生观察示意图，从图中可以直观地看出，8个碗的总价与3个碗的总价有直接关系，但它们之间没有倍数关系，因此无法直接计算。学生通过观察和讨论，能够发现必须先知道“一个碗多少钱”。教师顺势追问：“为什么要先求一个碗多少钱？这在我们学过的数量关系里叫什么？”引导学生将新知与旧知建立联系，明确这是为了求“单价”。接着，学生独立列式计算，教师巡视指导。学生完成后，组织汇报，可能会出现两种形式：分步计算：18÷3=6（元）6×8=48（元）综合算式：18÷3×8=6×8=48（元）教师引导学生分别说出每一步的含义：18÷3求的是“一个碗的价钱”（单价）；6×8求的是“8个碗的价钱”（总价）。对于列出综合算式的学生，教师追问：“在这个乘除混合的算式里，运算顺序是怎样的？”引导学生回顾“从左往右”的运算顺序。在学生明确了算理和算法后，教师小结：无论是分步还是综合，我们的思路都是一样的，都是先求出一个碗的价钱，再求出8个碗的价钱。我们把这种解题思路叫做“先求单一量，再求总量”。3.【重要】回顾与反思，验证结果问题解决后，进入“回顾与反思”环节，培养学生检验的习惯和能力。教师提问：“我们算出来是48元，这个结果对吗？怎样检验？”鼓励学生想出不同的检验方法。学生可能想到：用48元除以8个碗，看是否等于6元；或者用6元乘以3个碗，看是否等于18元。教师引导学生用逆推的方法检验：48÷8=6（元），6×3=18（元），结果与已知条件完全一致，说明解答正确。最后，师生共同回顾整个解题过程，总结解题步骤：一读（理解题意），二画（分析关系），三找（找单一量），四算（列式解答），五验（检验结果）。4.【高频考点】变式探究，深化模型教师改变问题，呈现变式：“我们还是用这些碗，还是18元买3个碗，现在老师有30元，能买几个同样的碗呢？”学生先独立尝试画图分析并解答。教师巡视，请学生上台展示交流。学生通过画图和分析，很快能想到第一步还是要求出“一个碗多少钱”（单价）：18÷3=6（元）。第二步，因为要求的是“30元里面有几个6元”，所以用除法：30÷6=5（个）。教师引导学生将这个问题与刚才的问题进行对比：“同学们，请仔细观察比较这两个问题，它们有什么相同的地方？又有什么不同的地方？”组织小组讨论，然后全班汇报。师生共同总结：相同点：第一步都是一样的，都要先求出“单一量”（一个碗的价钱）。不同点：第一个问题是求“买8个碗需要多少钱”，也就是求“几个单一量是多少”，所以第二步用乘法；第二个问题是求“30元可以买几个碗”，也就是求“总量里面包含几个单一量”，所以第二步用除法。教师在此基础上进行概念提升：像这样，第一步都是先求出“单一量”的问题，在数学上我们叫它“归一问题”。根据第二步求的不同，如果第二步是求“几个这样的单一量”，我们叫它【基础】“正归一”；如果第二步是求“包含几个这样的单一量”，我们叫它【基础】“反归一”。通过对比辨析，学生对“归一问题”的数学模型有了更清晰、更完整的认识。（三）分层练习，巩固应用为了帮助学生巩固所学，并能灵活应用模型解决问题，我设计了三个层次的练习：1.【基础】模仿练习课件出示教材第71页“做一做”第1题：“小林读一本故事书，3天读了24页。（1）照这种速度，7天可以读多少页？（2）照这种速度，全书64页，几天可以读完？”学生独立完成，指名板演。重点让学生说说是如何找到“单一量”（每天读的页数）的，以及为什么第（1）小题用乘法，第（2）小题用除法。此题旨在让学生在新情境中识别“归一问题”的结构，并区分“正归一”和“反归一”。2.【重要】综合练习课件出示教材第74页练习十五第7题：“买2个文具盒要用18元。照这样的价格，填写下表。”个数51112总价/元5472此题是对“归一问题”的逆向应用和拓展。学生需要先求出单价（18÷2=9元），然后根据“单价×数量=总价”和“总价÷单价=数量”的变式关系，分别求出不同数量的总价和不同总价的数量。此题不仅巩固了“归一”的思路，还沟通了单价、数量、总价三者之间的关系，发展了学生的推理能力。3.【难点】【热点】拓展练习课件出示：“3位同学去文具店买同一种笔记本，小明买了4本花了20元，小华买了7本需要多少钱？小军用35元能买几本？”此题没有直接给出笔记本的单价，需要学生自己从已知条件中提取出“单一量”。通过解决这个问题，进一步强化学生“先找单一量”的解题意识，感受模型应用的广泛性。（四）课堂总结，反思提升教师引导学生回顾本节课的学习历程：“同学们，今天我们研究了什么类型的问题？我们是怎样一步步解决这些问题的？你有哪些收获和体会？”学生畅所欲言，教师适时梳理总结：知识上，我们学习了“归一问题”，掌握了“先求单一量”的解题钥匙。方法上，我们学会了用画图来帮助我们理解题意、分析关系。思想上，我们体会了数学建模的过程，知道了生活中许多问题都可以归结为“归一问题”来解决。最后，鼓励学生在生活中去寻找、发现更多的“归一问题”，用数学的眼光观察世界。七、板书设计解决“归一”问题——先求单一量例8：买3个碗——18元变式：18元买3个碗买8个碗——？元30元能买几个？18÷3=6（元）18÷3=6（元）6×8=48（元）30÷6=5（个）18÷3×830÷（18÷3）=6×8