考研数学（数学三）模拟试卷471

考研数学(数学三)模拟试卷471

一、选择题(本题共8题，每题I”分，共8分。)

1、设f(x)是以3为周期的可导函数,且r(一1)=1,则

i/(2-3A)-/(2♦h)

A、一4

B、4

I

C、-4

1

D、不.

标准答案：C

知识点解析：注意r(x)也以3为周期，f(-I)=f(2),利用导数可求得极限

■黑J(2-3A)-/(2)/(2+h)-/(2)=-3/v(2)

-3Ah

"'(2)4故应选(。.

2、设函数f(x)在(-8,+8)内连续，其导函数y=Cx)的曲线如图所示，则f(x)有

C、个极小值点，•个极大值点，三个拐点・

D、一个极小值点，两个极大值点，三个拐点.

标准答案：C

知识点解析：由图可知，「(X)有两个零点:xi<0,x2>0,且在xi两侧f(x)由正

变为负，即f(x)先增后减，于是xi为极大值点；类似分析可知X2为极小值点•x=0

为r（x）不存在的点（第二类间断点），在x=o两侧均有「（x）vo,因此x=o不是极值

点.但在x=0两侧「（X）由减函数变为增函数，由此可断定（0,f（0））为曲线y=f（K）的

拐点.另外，除x=0点外，考察「（X）的增减性，还有两个点X3,X4，使F（x）在它

们的两侧改变增减性.因此这两个点也是曲线产f（x）的拐点.综合上述分析，应

选(C).

3、曲线，-3K的拐点的个数为

A、0个.

B、1个.

C、2个.

D、3个.

标准答案：D

知识点解析：

y=（，-3x）+冼求出/与广

2•7

/=-专（--3z）-T-3（/-1尸+2%（?-34）r

-T223

=-2（，-3X）[（x-1）-x（x-3x）]

-2

=-2（--3＜）-T（X2+1）=-2XT（X-3）*（，+i）.

由y=JQ-3x在（-8,+8）连续.尸不存在的点只有x=0,x=上有，而r"=0的点不存在.

且在z=上万两侧/变号/=0两侧,"也变号"（0.0）,（-6.0）,（3.0）均为y=万-3/

的拐点，再无其他拐点.因此，应选（D）.

4、下列级数中属于条件收敛的是

（A）£一喘T卜⑻£——・

©£高告吟・⑼1^）.

A、

B、

C、

D、

标准答案：D

知识点解析：(A),(B),(C)不是条件收敛.由

=(A)发散.由

其中Q甯收敛？！发散

其中，£看，£小均收敛.

(B)绝对收敛.由

(n+1)Jn♦2

=(C)绝对收敛.因此应选(D).

3«i+(a+2)X2+4小=0,

5x|♦ax♦(a♦-5)x1=0.

|2

5、a=-5延齐次万程生/一町+2与=0有非零解的

A、充分必要条件.

B、充分条件，但不是必要条件.

C、必要条件，但不是充分条件.

D、既不是必要条件又不是充分条件.

标准答案：B

知识点解析：根据克拉姆法则，当齐次方程组的系数矩阵是方阵时，它有非零解的

充分必要条件是系数矩阵的行列式值为

=(a+5)(a

一3).于是a=-5是⑴有非零解的充分条件，但不是必要条件.

6、n维向量a=(l/2,0....,0,1/2)T,A=E-4aaT,0=(1,1…，1)T,则A。

的长度为

I

A、R

B、G

C、n.

D、n2.

标准答案：B

知识点解析：Ap=(E-4aaT)p=p-4a(『0)=(3—4a=(—1,1,…，1,—*1)T,

BA/?||=R-

34

7、设X,Y为随机变量，P{XYW0}=5,P{max(X,Y)>0}=5则P{min(X,Y}<0}=

(A)J.(B).(C)~.(D)

，J•*

A、

B、

C、

D、

标准答案：D

知识点解析：__

设八=iKOl.e==4iuBA,

imax(X.y)>0|=4ufi=|min(X,K)W0]=.4U8.

于是P|min(X,r)501=P(AUB)=P(AB\JBAUAB)=P(ABUBA)+P(AB)

=W0|+1-P(AB)=P|XYwO1+1-P|max(X,r)>

01

3,44*

-亍=亍・

故应选(D).

I.i4^

f(x)=--=e.

8、设随机变量X的密度函数为2A则下列服从标准正态分布的

(A)Y=y(X+3).(B)卜=/-3)

(C)K=y(X-3).(D)y=」(X+3)

随机变量是我

A、

B、

C、

D、

标准答案：D

由于/(”)=

2A匹汽

可知X~N(-3,2),4=W(X+3)~N(O,1)

知识点解析：△°而(A),(B),o

三个选项都不符合，只有(D)符合，可以验证

EEX+3)=--^(—3+3)=0

DX=~

IGx2=1

即y=—(X+3)~N(O,1).

二、填空题(本题共6题，每题7.0分，共6分。)

9、n为给定的自然数，极限L0\〃

标准答案：e『.

知识点解析：此极限是产型未定

原式=limexp［，ln(之於士士二

=exp[lim*…二叫色

式.1一°”J其中大括号内的极限是。型未

定式，由洛必达法则，有

..ln(e*+e2*+•••+eM)-Inn..ex+2e21+…+ne”

lim--------------------------=lim------：-----------

7x…e*+e“+•••+e

1+2+…+n

2

于是原式=e§.

10、设f(x)=x2e'x在(0,+8)内有最大值1,则@=

2

标准答案:

知识点解析：因为f(x)在(0,+8)内可导，且取得最大值，所以其最大值必在f[x)的

__2

驻点处取得.由『(X尸2xeax+ax2eax=0知”=-1为f(x)在(0,+oo)内唯一的驻点，

->0,即a<0.

a

故又="…得…3

>0)=________.

11、反常积分几*+a

^-Ina.

标准答案：2。

知识点解析：

令4=atanf,则

u_jn__r

/l.nxdx=皿+0]…市二^=嘤♦fflncotudu

JoX2+a22aJ02aJo

=.ffintantdr二嘤.

2aJo2a

12、设平面区域D={(x,y)|x3gyq,—04},f(x)是定义在La,a](aNl)上的任

甚"啊

意连续函数，则。[(x+l)f(x)+(x-Df(-x)]dxdy=_________.

标准答案：0.

知识点解析:令F(x)=(x+l)f(x)+(x-l)f(-x)则F(-x)=(-x+l)f(—x)+(—x-

l)f(x)=-[(x一l)f(一x)+(x+l)f(x)]=-F(x)即F(x)为奇函数D[(x+l)f(x)+(x一

l)f(—x)]dxdy=f-i1[(x+l)f(x)+(x—l)f(一x)]dx/，2ydy=J，(1一x6)F(x)dx=0其中1

一x6为偶函数，F(x)为奇函数，因此被积函数为奇函数，在对称区间上的积分为

零.

■010-i5rl0O-irl0On4

A=1000500I1

oJL()JL01」

13,已知0030PMA',=

-010-

1/50-4/3

标准答案：。01/3-

知识点解析:

010]200-1roI0-

因为100=E,所以100二00

-00-00L001-

*10014100-

又011014

■001-■001-

ro10-1On0on

于是A=0005004

L00L003」L00

0000T「0101

A-1=014050100

L001」03」L001

1001r100-010-|010

01-401/50100=1/50-4/3

1」

00Lo01/3--00•001/3

14、设二维随机变量(X,Y)服从正态分布N(山卜i；o2,o),则Emin(X,

Y)=.

a

标准答案：h

x.y-|x-y|二I.」"I)

知识点解析：min{X,Y)=22'由题设X,Y独

立,则有Z=X—Y—N(0,2o2),于是

E|Z|=/11|!.-eT=—"dx

」>/2(r2RQJQ

，为「产d伟)号.

故£min|X,r|xy(EX+£r-E|Z|)二〃-|Z|="-金，

226

三、解答题(本题共9题，每题7.0分，共9分。)

15、抛物线y=x2上任意点(a,a2)(a>0)处引切线Li，在另一点处引另一切线L2，

L2与Li垂直，⑴求Li与L2交点的横坐标xi；(口)求口12与抛物线y=x?所围图

形的面积S(a)；(HI)问a>0取何值时S(a)取最小值.

标准答案：⑴抛物线y=x?在点(a,a?)处的切线为L]：y=a2+2a(x一a),即y=2ax—

a2.另一点(b,b?)处的切线为L2：y=b2+2b(x-b),即y=2bx—

由加与垂直=26=-6=-

b~7.2a4a它们的交点(xi，yi)满足

22

2a«|-a=2bxi-b,x(=

ba；

(H)L[,L2与y=x2所围图形的面

S(a)=J[x2-(2bx-62)Jdx♦J[x2-(2lax-a2)]dx

22

=J(x-6)dx♦/(x-a)dx=/(*1-6)，---(«|-a)、

积-少+/—)'.

由X|的表

达式知，xi一b=a-xi

5⑺泻(""尸若1。-会。2)卜_L(a+_L)’

T°.搦’(叫求导解坡值问

s«)=T(a+i)2('"h)

<0，0<a<委，

=+(。+"如-=0,a=L

4/2

>0.a>y

H.=a=4■时S(。)取最小值.

题.由2

知识点解析：暂无解析

fln/x2+X2dx

16、⑴求积分f(t)=J。(―"oo<t<+oo).(II)证明f(t)在(一8,+00)连续,

在t=0不可导.

标准答案：

(I)

[f1.22、I分部枳分1—22v1-y/1

/(/)=-Iln(x2♦£2)dx=====—xln(X2♦t)

2Jo/X1.o2Jo//j

=~ln(I+I2)-[-y^■--dx^2：-yln(!+/).•x+r-z,

2Jox”+〃2

=yln(l+?)-1+―!-----Ax=4~ln(1+/)-1♦tarctan-(f#0)

/(0)=[Iny/?dx=[Inxdx=xlnx

JoJ。

-^-ln(1♦l2)-1+urctan;(<#0)

因此/（，）=

-1(，=0)

(11)/0时他)与初等函数相同，故连续.又

limf(/)=lim[—ln(1+r)-11+limfarctan-=-I+0=-I=/(0)

7…I2J7‘故f⑴在

1=0也连续.因此f(。在Loo,十⑼连

续.

现考察lim"'二〃"=lim[^-ln(I+，2)♦arctan=0±=±

t-Ot7]fT

广.（0），广.（0）

广（0）不3.

知识点解析：暂无解析

-±_n3

17、设某企业生产一种产品，其成本C（Q）=3-16Q2+1OOQ+IOOO,平均收益

亓（。）"一5"。（@>0,0<b<24）,当边际收益MR=44,需求价格弹性Ep二历时

获得最大利润，求获得最大利润时产品的产量及常数a与b的值.

QR（Q）=aQ-^-bQ2

标准答案：收益函数R（Q尸2当取得最大利润时，边际收益等

于边际成本，即MR=MC.又MR=R，=a—bQ,于是44=CXQ）=2Q2—32Q+100,

即Q2-16Q+28=0.解得Qi=14,

Q2=2.

„d2R（l2C/八„d2CI”、nd2c

又—r=-AL<0n,--=4（>-32.—7'=24>0.­7=-24,

d。？d。？dOTQnisdQ-Q・2

d2Rd2C

故当Q=14时\"CPdQ?企业利润取极大

值.

由于MR=*(Q)=p(i彳)，即44=中-给，得P=82.

又A(Q)=P，于是，当Q=14时，有广2=Q-fX」，解将；=120,6=竽,

44=sa-6xl4t当

Q=2时，得b=38,不满足0<bV24的条件，故舍去.所以当产量Q=14口寸，企业

利润取极大值，也是最大值.

知识点解析：暂无解析

If，4-/一-也回

18、计算二重积分。其中D是由x2+y2=l的上半圆与x2+y2=2y的

下半圆围成的区域.

标准答案：因区域D关于y轴对称“-T为，禺函

/=2J，4-J一，（kdy

数.。，出对Di，D2引入极坐标

5={（，*）亳W"y,0.rW1}

020W8Wy,0<r<2sin。｝

J<kdy=J.dbj，4一Irdr=y-JJd-X•-i-dr2

=--JJ4-Jd(4-r2)

=TT(4-，)*|：=--告

,74-x2-y2dtdy=j；叫；，4-儿”-J；财-/0"/fT7rd(4-？)j

Di~.

=-//：［(4-4.3)+-8］d0

=--3*f(8cos，-8)d0=-

3Jo99

］=J(4-⑶宣-y-

19、设数列｛an｝,｛bn｝满足：=e"a"(n=l,2,3,…)，求证：⑴若aQO，则

收敛，则£g收敛.

bn>0；(U)^an>O(n=l,2,3,...),旧,

标准答案：⑴由an>0让bn>()o「-%>1OJ・>1'Q.•证明数列不等式

转化为证明函数不等式eX>l+x,(x>0).令f(x)=ex—(1+x),Mf(x)=ex-l>O(x

>0).又由f(x)在［0,+oo)连续=f(x)在［0,+8)单调上升=f(x)>f(O)=O(x>O)=eX

c

>l+x(x>0)=*一an>1,即bn>

0.

a

(U)设4>0,£。*收敛=lim4=0,】imbK=limln(e--aa)=0,其中lim(e*,-

aaIw-♦*ft-9——n—

4)=1.

为证£%.收敛，考察%与%的关系.

■■IQ.

勾ln(e'-)!n(e***-a-1+1)

-----------------------------------------------------------------------

c-aB-I।

--------------2-----------a.~彳。[〃-8),

a«/

其中ln[(e,-an-l)+1]-e***-an-1(n—♦ao)t

I-e-x-1..e*-I1•.!

‘叫2=*,m~~S=V*e-a-1~

»-*oxo2x2m2

于是由£4-a,收敛n£，收敛.

知识点解析：暂无解析

TT

20、设ai=(l,3,5,一1)La2=(2,7,a,4),a3=(5,17,一1,7).①若

ai，a2»a3线性相关，求a.②当a=3时，求与aj,a2，（13都正交的非零向量

04.③设a=3,04是与ai，。2，。3都正交的非零向量，证明⑴，。2，。3，04可表

示任何一个4维向量.

标准答案：①ai，012，a3线性相关，则r（ai，Q2»a.3)<

-125-12

371701

(<»I,a,a)=—>

235a-10a-10

-"!47■-06

3.

一3.②与a1，（12,013都正交的非零向量即齐次方程组

<|♦3*2+5*3-#4=0，

2«1+7X2♦3«j♦4X4=0,

5«|♦17X2-XJ+7X4=0的非零解，解此方程组:

I35-I]rl3500

2734Toi-7106

-517-17」Lo2-260JLQ010.

一r

解得O4=C(19,6,0,I)>c#0.③只用证明ai，a2,a3,04线性无关,此时

对任何4维向量a,有ai，（12，口3,（U，a线性相关，从而a可以用aai，口2，。3,

04线性表示.由①知，a=3时，ai，012，013线性无关，只用证明必不能用四,

a2，（13线性表示.用反证法，如果04能用a1，口2，〃线性表示，设

O4=C1a1+C2a2+C3tt3,则（04，a4）=（O4，C1aI+C2a2+C3H3）=C1（04»ai）+C2（a4»

a2）+c3（O4,a3）=0.得a4=0,与04是非零向量矛盾.

知识点解析：暂无解析

21、已知三元二次型XTAX的平方项系数都为0,a=（l,2,一1厂满足

Aa=2a.①求XTAX的表达式.②求作正交变换x=Qy,把x’Ax化为标准二次

型.

0ab-0<!/»'-1--2'

AaQc<a0c24,

L-2」得2a

标准答案：①设■bc0」则条件Aa=2a即•bc0---1■

一b=2,a一c=4,b+2c=一2,解出a=b=2,c=一2.此二次型为4xiX2+4xiX3—

A-2-2

IAE-A|=-2A2=(A-2尸(入+4).

4x2X3.②先求A特征值-22A于是A

的特征值就是2,2,-4.再求单位正交特征向量组属于2的特征向量是（A—

--222-1-1-r

A-2E2-2-2000

2E）x=0的非零解.■2-2-2-000得(A—2E)x=0

的同解方程组:XI■X2—X3=0.显然仇=（1，I，是一个解，设第二个解为

p2=（l>一1，c）T（这样的设定保证了两个解是正交的!），代入方程得c=2,得到属

于特征值2的两个正交的特征向量p],p2.再把它们单位化：

记功=。|/|向11=乐，W=氏/|见II=y/^2--住什一曰曰

26属于一4的特征向量是

（A+4E）x=0的非零解.求出饱=（1，一1，一1）T是一个解，单位化：

记“角/血II;冬3・则川…，下是A的单位正交特征向量组，特征值依

次为2,2,-4.作正交矩阵Q=（ni，碓，邛），则Q/AQ是对角矩阵，对角线上

的元素为2,2,一4.作正交变换x二Qy,它把f（x]，X2，X3）化为—

4y3.

知识点解析：暂无解析

22、设甲袋中有9个白球，1个黑球；乙袋中有10个白球.每次从甲、乙两袋中

各随机地取一球交换放入另一袋中，试求：⑴这样的交换进行了3次，黑球仍在

甲袋中的概率P3；（II）这样的交换进行了n次，黑球仍在甲袋中的概率pn；

标准答案