极点极线基础知识

一、极点与极线的定义

定义1（代数定义）已知圆锥曲线「疝+02+2m+24+F=0,则称点P（x。,比）和直线

/:4%》+0,0）+。（戈+工0）+七（歹+%）+尸=0是圆锥曲线「的一对极点和极线.

事实上，在圆锥曲线方程中，以替换以空替换x（另一变量y也是如此），

即可得到点P（x。,%）的极线方程.

特别地：（1）对于椭圆］+2=1,与点尸（%,%）对应的极线方程为苦+等=1；

（2）对于双曲线］一4=1,与点尸a。）。）对应的极线方程为警—罟=1；

aoab

（3）对于抛物线/=2px,与点P（x。,%）对应的极线方程为％y=p（&+x）.

定义2（几何定义）如图1,P是不在圆锥曲线上的点，过尸点

引两条割线依次交圆锥曲线于四点瓦厂,G,H,连接EHIG交于点

N,连接EG,尸H交于点则直线为点尸对应的极线.

若尸为圆锥曲线上的点，则过尸点的切线即为极线.

由图1可知，同理?”为点N对应的极线，PV为点”所对应

的极线.称为自极三点形.若连接皿交圆锥曲线于点48,则尸4尸B恰为圆锥曲线的两

条切线.

二、极点与极线的基本性质、定理

定理1（1）当P在圆锥曲线「上时，其极线，是曲线「在尸点处的切线；

（2）当户在「外时，其极线/是曲线「从点尸所引两条切线的切点所确定的直线

（即切点弦所在直线）；

（3）当尸在厂内时.其极线/是曲线F过点尸的割线两端点处的切线交点的轨迹.

定理2（配极原则）

（1）点尸关于圆锥曲线1的极线p经过点00点。关十1的极线g经过点尸;

（2）直线夕关于「的极点尸在直线g上＜=＞直线g关于「的极点。在直线p上.

由此可知，共线点的极线必共点；共点线的极点必共线.

特别地：圆锥曲线的焦点与其相应的准线是该圆锥曲线的一对极点与极线.

（1）对于椭圆W+《=1而言，右焦点产（c,o）对应的极线为学+字=1,即戈=《，恰

ababc

为椭圆的右准线.对于椭圆W+g.=l而言，点”（见0）对应的极线方程为X=4；

abm

（2）对于双曲线］-《二1而言，点”（见0）对应的极线方程为x二三;

abm

（3）对于抛物线V=2p戈而言，点Af（见0）对应的极线方程为x=

定理3下面再给出与圆锥曲线的极点和极线有关的性质.

22

性质1如图，己知点力是椭圆］x+，v=1（。＞6＞0）上任一点，极点

ab

尸（f,0）（p|va,|"wcJw0）,相应的极线x=f.椭圆在点力处的切线与极线

x=4交于点N,过点N作直线4P的垂线卬，垂足为则直线恒

过X轴上的一个定点。，且点”的轨迹是以尸。为直径的圆（点。除外）.

22

性质2如图，已知点4是双曲线x2-，v上任一点，极点

ab

2

P（/,0）（/＞a"|wc）,相应的极线x=9.双曲线在点4处的切线与极线

2

%=生交于点N,过点N作直线/尸的垂线垂足为则直线⑷恒

t

过X轴上的一个定点0,且点”的轨迹是以尸0为直径的圆（点0除外）.

2

性质3如图，已知点力是抛物线y2=2pMp>0）上任一点，极点尸（几0）

相应的极线为x=-/.抛物线在点力处的切线与极线、=-/

交于点N,过点N作直线力尸的垂线上W,垂足为则直线上W恒过X

轴上的一个定点0,且点M的轨迹是以尸。为直径的圆（点0除外）.

定理4如图，设圆锥曲线「的一个焦点为尸，与尸相应的准线为/.

（1）若过点尸的直线与圆锥曲线「相交于A1,N两点，则「在

两点处的切线的交点。在准线/上，且尸。_LMM；-4—OF\V-

（2）若过准线/上一点。作圆链曲线「的两条切线，切点分别为

则直线MV过焦点F,且尸。_LMN：

（3）若过焦点厂的直线与圆锥曲线T相交于跖N两点，过尸作尸。_LMV交准线/于0,

则连线QVCQN是圆锥曲线「的两条切线.

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定理5设椭圆三+彳=1（。>6>0）的一个焦点为产，相应的准线为/,过焦点厂的直线交

椭圆于45两点，C是椭圆上任意一点.直线C4,圆交准线/于A/,N两点，则以皿为直径

的圆必过F.

三、历年高考题手

【例1】（2011年四川高考理数21题第（2）问）如图，椭圆有两顶点/（-1,0）、可修

3（1,0）,过其焦点产（0,1）的直线/与椭圆交于C,。两点，并与x轴交于点P.直线、、

与直线80交于点。.当点尸异于45两点时，求证：5R而为定值.r

【例2】（2010年高考全国卷I理数21题第（1）问）已知抛物线。:"=公笊

的焦点为F,过点K（-1,0）的直线/与C相交于48两点，点N关于x轴的1

3

对称点为。.证明：点尸在直线80上.

【例3】（2010江苏卷文理18）在平面直角坐标系xQy中，如图，已知椭圆

二十《=1的左右顶点为45,右焦点为产.设过点TGM的直线。4,窃与此

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椭圆分别交于点M（国,必）川（工2，%），其中机＞0,必＞0,必＜0.设，=9,求证

直线JIW必过x轴上一定点（其坐标与加无关）.

【例4】（2012年北京卷19）已知曲线。:（5一W）/+（加一2）/=8（次wK）

（1）若曲线。是焦点在x轴上的椭圆，求机的取值范围.

（2）设桃=4,曲线。与y轴交点为（点Z位于点5的上方），直线y

于不同的两点直线y=l与直线W交于点G.求证：4G,N三点共线.

【例5】（2012年福建卷理19）如图，椭圆石：“；+?：=1（。＞6＞0）的左焦点为1

ab

F29离心率。二;，过百的直线交椭圆于43两点，且&43写的周长为8.

（1）求椭圆£的方程.（2）设动直线7:y=京+加与椭圆E有且只有一个公

共点尸，且与直线》二4相交于点。.试探究：在坐标平面内是否存在定点”，

/

使得以尸。为直径的圆恒过点M?若存在，求出点M的坐标；若不存在，说

明理由.

【例6】（2006年全国卷H理21）已知抛物线一=外的焦点为尸，48是抛物线

且於二屈U＞0）,过4"两点分别作抛物线的切线，并设其交