考研数学二（解答题）模拟试卷140

考研数学二(解答题)模拟试卷140

一、解答题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)

'abbb'

babb

I

bbab

1、求bba」的秩。

标准答案：将矩阵A用初等变换化为行阶梯形矩阵。

abbb-

%-nb-aa-b00

Ai=2,3,4,

b-a0a-b0

-b-a00a-b-

a+36bbb

。。e,♦J

♦0a-b00=凡

000

-000a-b」⑴当a=b=0时，R(B)=0=>J

R(A)=0；(2)当a与b至少有一个不为零时①a+3b的且a—b#)时，R(B)=4=＞」

R(A)=4；②a+3b=0,但a—bMO时，R(B)=3=/R(A)=3；③a+3屏0,但a—b=O

时，R(B)=l=*R(A)=lo

知识点解析：暂无解析

..tanx-

学cosx•ln(tanx)“

2、求极限xs

标准答案：由洛必达法则可知

..tan#-&sin%..1tanx-^sinx_set^x-Jlcosx_

lim-------------r=hm---,hm-r-y----<-一。lim2~n0

X_zcosx•In(tanx)cosxIn(tanx)sec./

tanx

知识点解析：暂无解析

3、设y=f(x)可导，且y竽0.(I)右已知y=f(%)的反函数(=(p(y)可导,试由复合

d2x

函数求导法则导出反函数求导公式；(II)若又设y=fG)二阶可导，则打二

标准答案：(I)设y=f(：()的反函数是％=(p(y)，则反函数的导数可由复合函数求导

法则求出：由y=f((p(y)),两边对y求导得

irx-1

了,2

/(x)arctanx,|xIW1,

ITx•¥\

4W-1

42'

M)’1

所以广♦⑴=(f+=---

j2

1

/'_(I)=(arctanx)||L

nv

£

/'♦(-1)=(arctanx)'=---------

1+x%=-I2

1

=T,

因此广⑴=广（-1）=y.

（口）

57=^(7)=£(7)^=-匚

知识点解析：暂无解析

Y+工2—cos2z

4AOz(e'—1)

标准答案：因为当无一0时，

—cos2x=(八+，—1)+1—cos2x〜+J(2z)2=,x(ex—1)〜x2,

lim+J?2—cos2z_5_

所以…z(e*-D2*

知识点解析：暂无解析

5、求下列曲线的曲率或曲率半径：（I）求y二Inx在点（1,0）处的曲率半径.（U）求

x=t-ln（l+r），y=arctant在t=2处的曲率.

业42臼

标准答案：（I）先求d—d7,然后代公式：凶于是，在任意点x>0处曲率为于

是曲线在点（1,0）处的曲率半径p--23Z（H）利用由参数方程确定的函数的求导

法则，得于是所求曲率为

知识点解析：暂无解析

-iir

121

6、设3阶矩阵A可逆，且A」=L13」A*为A的伴随矩阵，求(A*)」.

-5-2-r

(A*)-i==IA-1I(A-1)-1=-220.

标准答案：L-l01J或利用(A)

1(A).

知识点解析：暂无解析

12x

arctan，■“

7、证明函数恒等式arctanx=21-x2,xG(-l,1).

12x

1MMarctan---------

标准答案：令f(x)=arctanx,g(x)=21-x2,要证f(x)=g(x)当xE(-l,1)时成

立，只需证明：l%x),g(x)在(・1,1)可导且当x6[・l,1)时r(x)=g<x)；2。山

xow(・l,1)使得f(xo)=g(xo).由初等函数的性质知f(x)与g(x)都在(-1,1)内可导,

计算可得即当xW(-L1)时f(x)=g,(x).又f(O)=g(O)=O,因此当xW(-L1)时

f(x)=g(x),即恒等式成立.

知识点解析：暂无解析

8、设函数f(x)在区间[0,a]上单调增加并有连续的导数，且f(0)=0,f(a尸b,求

证：f()af(x)dx+f()bg(x)dx=ab,其中g(x)是f(x)的反函数.

af(a)

标准答案：令F(a)=fof(x)dx+Jog(x)dx-af(a),对a求导得FXa)=f(a)+g[f(a)]f(a)

—af(a)—f(a),由题设g(x)是f(x)的反函数知g[f(a)]=a,故F，(a尸0,从而F(a)为常

数.又F(0)=0,故F(a)=0,即原等式成立.

知识点解析：暂无解析

9、设函数f(%)在区间[O,a]上单调增加并有连续的导数，且f(0)=0,f(a)=b，求

证：J()%C)d%+J()bg(%)d%=ab,其中g(x)是敢)的反函数.

标准答案：令F(a)=Joaf(%)dx+Jof(a)g(%)d%—af(a),对a求导得P(a)=f(a)+

g[f(a)]f(a)-af(a)-f(a),由题设g(%)是f(%)的反函数知g[f(a)]=a,故P(a)=O,从

而F(a)为常数.又F(0)=0,故F(a)=O,即原等式成立.

知识点解析：暂无解析

azi+zz-13=1,

工1—小+工3=b,

10、讨论方程组2人I2斗+33=2的解的情况,在方程组有解时求出其解，其

中a,b为常数.

a一1

1一11

标准答案：D=22b=-(a+l)(b+2).(1)当*1,br-2时,因为D，0,所以

方程组有唯一解，由克拉默法则得口(2)当a=-l,屏-2时，当屏-1时，方程组

无解当b=l时，方程组的通解为X=(k为任意常数).(3)当b=2时，当

a=l时方程组的通解为X=(k为任意常数).当今1时，显然r(A尸2r=3,方程组无

解.

知识点解析：暂无解析

11、求曲线x3—xy+y3=l(xZ0,丫羽)上的点到坐标原点的最长距离与最短距离。

标准答案：构造函数L(x,y尸x2+y2+X(x3—xy+y3—1),令

r包

■

-=2x+A(3x2-y)=0,

lIax

dr

1<X34

I=2y+A(3/-x)=0,

一叶+寸=1,得唯一驻点x=|,丫=|,即Mi(i,I)。考虑边界上的

点，M2(0,1),M3(l,0),距离函数f(x,y尸&+:在三点的取值分别为f(l,

1)=^,f(0,1)=1,f(l,0)=1,因此可知最长距离为次，最短距离为1。

知识点解析：暂无解析

12、已知(2,1,1,1),(2,1,a,a),(3,2,1,a),(4,3,2,1)线性相关,并

且存1,求a.

标准答案：这4个向量线性相关。以它们为行(或列)向量构成的4阶行列式为

211121112101

2\aa00a-1a—1000a-1

321a321a321-aa

432143214311

210

=(。T)321-a

431

010

1)-121-a=(a-1)(2。-1),

0.-231得a

=1/2.

知识点解析：暂无解析

13、交换累次积分I的积分次序:

f*flf(z,y)dy+f(x,y)dy.

标准答案：由累次积分I的积分.上、下限容易写出其对应的二重积分的积分区域

Di=((/,»)0&y<yJ2,04l41),

D=D1UD2，其中Di=CI，9-公，1(/43).显然，平

2

面区域D的边界曲线为抛物线‘=-2x”',上半圆弧》二，9一"与直线y=o,则

Di=!(x9y)|y/2y《工41,04

Di，D2也可以写为"=((]，"I14，9—一,04y&2⑨.

于是，累次积分交换积分次序后为

(x,y)dr+/(x,^)dx.

o

知识点解析：暂无解析

C)为正定矩阵，令p=(ET

设C='〃D'[OE1

14、求MCP；

(f

标准答案：因为C=\BD,为正定矩阵，所以AT=A,DT=D,PTCP=

(EO)/ABT\/EO)

jR41E八5D八OE)，OD-BA1Bl'

知识点解析：暂无解析

15、证明:D・BA/BT为正定矩阵.

标准答案：因为C与

,AO\/AO

,T合同，且C为正定矩阵•所以八■OA_1,„T

loD-BA\oD-BAB为正定矩阵,

故A与D-BA/BT都是正定矩阵.

知识点解析：暂无解析

16、设A是n阶实矩阵，有A4=忒，ATq=1.iq,其中入，p是实数，且¥|1,自，rj是

n维非零向量，证明：。n正交.

标准答案：A炉忒，两边转置得8人丁=武丁，两边右乘中得已\T片状',

三1卬=故丁中(入一N)JI=O,以旧故口尸。，《，n相互正交.

知识点解析：暂无解析

-.4x+npnlim(*+vZl+%)'

17、求极限ip

标准答案；由洛必达法则可知

所以

abm-4--.-J-i

原式

知识点解析•：暂无解析

18、试确定方程x=aeX(a>0)实根的个数。

标准答案：将己知方程变形为xe"—a=0,令f(x)=xe"—a,x>0,则r(x)=e*—

xe-x=(l-x)e-x,由F(x)=O,解得x=l,因此当xW(O,1)时f(x)>0,即f(x)单调递

增;当xW(l,+oo)时f(x)VO,即f(x)单调递减。所以x=l是f(x)的最大值,且

1/(1)=~­«c,Jim/(x)--a<0,a<!

e又因为f(0)=—aV0,i",所以①当e时f⑴〉

0,原方程有两个实根；②当一©时,f([)=0,原方程只有一个实根；③当

时,f(l)V0,原方程无实根。

知识点解析：暂无解析

(1)*明J尸(1-x)-(Lr=

(2)利用上述等式计算工(1一上产1匕|

19、设m,n为正整数r求一.(一『)出・

标准答案：

解：(1)设r-=1-u.dx——dw

fjr"(1―]/匕—一，(1—«|x"(1-x)"dj-

(2)[(1—J-)5(xdr=|i'(1j)<lr』[(x"-x')<lr-±3

JoJ。