高中数学：立体几何答案

参考答案

1.(1)证明见解析；(2)y.

【分析】

(1)根据线面垂直的性质和判定可得证；

(2)运用二面角的向后求解方法可求得答案.

【详解】

(1).四棱柱A8CQ-ABCQ是直四棱柱，平面ABCD

QBDu平面A8C。，..A4JLB。.

在四边形48C。中，\AB=AD,BC=CD,:.ACrBD.

又zcnAA=A,，平面MGC.

(2)如图，连接8Q,记ACC3£>=O,连接OQ,则。8J•平面A4CZ),

且0«=仅=2.

以0为坐标原点，分别以OA,0B,。。所在直线为x轴、)，轴、z轴建立空间直角坐标系，

则A(X/5,0,0),4(8,0,23B(O,1,O),。(0,—1,2).

.♦.A6=(-01.0),BD1=(0,-2.2),48=(-61,-2).

设平…的法向量为.―,则｛:篇加反葭]

取王=1,则y=G，马=75,.•・，〃=(1.66)是平面样。I的一个法向量.

设平面A'A的法向量为垃=小,力*2)，则,"黑一?即，及"："-。，

v

」[nBD.=0,[-2y2+2z2=0.

取工=1，贝Uy2=f/^，z?=—所以”=是平面48£>]的一个法向量.

..m-n1-3-35

二cos(〃i,n)=--------=-T=—产

Im||n|>/7x>/77

由图知，二面角A-BA-A为锐角，二所求二面角的余弦值为I

2.(7)证明见解析；(//)正.

6

【分析】

(/)由题易知Af_L8C,AE，进而得AEJ_平面8/CG，故平面AEF±平面片BCC,；

(//)由(/)知A£_L4C,AE±EF,故得N/EC为二面角/；—A£—C的平面角为45。，进

而得W=EC=1,再计算体积即可.

【详解】

(/)证明：)几何体是直棱柱，..・84_1底面ABC,A£u底面ABC,••.AEJLBq,

「直三棱柱ABC-A4G的底面是边长为2的正三角形，E1是8。的中点，.•.AE_L8C,

又BC8q=8,BC、平面旦8CG，

.•.AE_L平面妫8CG，

丁AEu平面AE/,

・•・平面平面48CG：

(//)解：由(/)知，A£_L平面用8CG，则4石_LBC,AELEF,

可得N/EC为二面角尸—AE—C的平面角为45。，

在mVFCE中，可得F、C=EC,

■等边三角形A8C的边长为2,

:.AE=6,CE=CF=1,

则三棱锥尸-4EC的体积V=』x』xlx石xl=走.

326

3.(1)证明见解析；(2)[

【分析】

(1)利用勾股定理逆定理计算证明AA_LA。，AB上BP,进而利用线面垂直判定定理证得

AB平面BPC,从而ABLCP,在计算证得AD1.DP,得至I」AD_L平面PCD,从而ADA.CP,

证得PC_L平面人BCD；

(2)以CD,CB,C尸所在的直线为x,z轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量计

算求解.

【详解】

(1)因为A8=AO=4,8。=4&，所以AB2+4)2=BO2,所以

又因为A8CD为平行四边形，所以48J.8C,ADLDC,

因为48=4,BP=4五,PA=4&,所以人4+8尸=4尸，所以

因为P8c8c=8,所以A8_L平面6PC,所以A8_LCP,

因为4)=4,QP=4&，PA=4百，所以AD'OQ'A产，所以仞_LOP,

因为PDcOC=O,所以AO_L平面PCO,所以AO_LCP,

因为AOcA3=A,所以PCJ•平面ABC。.

(2)由(1)知，CD,CB,CP两两垂直，分别以CO,CB,CP所在的直线为工，九z

轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

在三角形P8c中，PC=>IPB2-BC2=4*

则A(4,4,0),5(0,4,0),C(0,0,0),£)(4,0,0),七(0,20),40,0,4),

所以。石=(-4,2,0),

因为"

=2,DF=-DE=0AF=AD+DF=

FE35??/

PA=(4,4,-4),

设平面PAF的一个法向量为m=（x,y,z）,

816八

rim-AF=0—x-----y=0

则即《55'

nrPA=0

4.r+4v-4z=0

令y=l,得工=一2,z=-l,于是取m=(一2,1,-1),

又由（1）知，底面A8CZ）为正方形，所以

因为PCI平面48CQ,所以PC工BD,

因为AC-C=C,所以BQ_L平面ACP,

所以B。=（4,-4,0）是平面PAC的一个法向量,

则cose=辰刎BD）\=盟=看％=T，

设二面角尸-PA-C的大小为。,

所以二面角b-小—C的大小为9

6

4.（1）存在，证明见解析；（2）底.

6

【分析】

（1）利用线面判定定理记得4A〃平面ECG和4尸〃平面ECG，然后利用面面平行的判定

定理证得结论.；（2）建立空间直角坐标系，写出各点坐标及空间向量，设G（毛,%,%）,利

用共线求得点G坐标，然后设比'与平面EBG所成角为巴利用sin”卜os（EG,“结合空

间向量数量•积求得结果..

【详解】

解.：(1)存在，当点尸为线段的中点时，平面4477/平面ECG.

证明：在长方体A8C。-A/Ca中，AA.//CC,,AD//BC,.

又因为C£u平面ECG，平面瓦6,

所以例〃平面ECg.

又E为40的中点，尸为4G的中点,

所以AE〃bG，且AE=FC»

故四边形AEG厂为平行四边形，所以4"〃EC，

又因为EGu平面ECG，A/a平面ECG，所以A尸〃平面ECC.

又因为4尸「A4t=A,平面A产u平面4质尸，

所以平面AA/〃平面ECG.

(2)在长方体人BCO-ABCR中，以。为坐标原点，DA,DC,DR所在直线分别为x轴,

)'轴，Z轴建立空间直角坐标系。-勾，2,如图所示.

因为人0=2,M=4,所以A（2,0,0）,£（1,0,0）,即2,0）,C,（0,2,4）,4（2,0,4）,

所以EG=（-1,2,4）,EB=（l,2,0）,储二（0,0,4卜

设平面EBG的法向量为〃=(x,y,z),

n-EC.=0-x+25'4-4z=0

则），即

n-EB=0x+2y=0

令4=2,则y=T,z=h所以〃=(2,—1,-1),

因为AA=8AG,设G（N，%，4）,则（O,O,4）=81-2,%,2O）,

所以G（2,0,g）,则EG=|：l,O,g）.

设EC与平面EBC1所成角为。，

故EC与平面Eg所成角的余弦值为逅.

6

5.（1）证明见解析；（2）叵

5

【分析】

（1）取BC的中点0,连接AO、B0,可知8CJLAO,BC_LZX）,即可得到8C_L面AOQ,

从而得证：

（2）建立空间直线坐标系，利用空间向晟法求出线面角的正弦值；

【详解】

解：（1）取/3C的中点。，连接A。、B0,因为△4CO与A3。是全等的等边三角形，所

以BCJ.4O,BCLDO,因为A0cQ0=。，4O,OOu面A8,所以8CL面水儿），因

为ADu面A。。，所以BC_LAO

（2）因为平面A8C_L平面O8C,平面A8C平面08c=3C,AO±BC,所以A。_1_平

面£）区。，如图以。为坐标京点，建立空间直角坐标系，令BC=2,则A®，。，/）,。（百,0。），

C(O,1,O),«(O,-l,O),所以C4=(0,T6),/^D=(75,1,0),AQ=(6,O,—G),设面.

的法向量为〃=(乂)，,2),则/^所以，:‘厂。，令X=l,则、=-6，2=1，

7

'[fvAD=0[氐-氐=()

所以〃=(一6,1),设AC与平面ABZ?所成的角为0,贝！

.°CA.n卜1x(-6)+lx倒加

阿嗣「问可小+⑹+F5

6.(1)证明见解析：(2)叵

7

【分析】

(1)证明两个线线垂直即可；(2)建M空间直角坐标系求解

【详解】

(1)4弓=2直,46；=例=2,得AC；=A4：+AC：＜CJ_AG，

因为8CG为正三角形，所以叫G为正三角形.因为P为的中点.所以C.P1B.B,因

为Cg”B,所以C.PIC.C.

因为C/DAG=G，GRAGU平面AGP,

所以cc,1平面AGR

(2)取8C的中点。，由BCC1为正三角形知C01BC,易知AC1平面所以平

而ABC1.平面B、BCC「又C0u平面B、BCC

平面BCC.B,n平面"C=8C,所以C.O1平面ABC.

以。为坐标系原点.建立如图所示的空间直角坐标系,

则4(2,-1,0),B(0,l,0),G(0,0,扬,A(2,0,6),,引

A8=(—2,2,0),g=(0,T6)，G4=(2,0,0),C/=

X/

设平面A4G的法向量为〃=",)，,z)

[-2x+2y=0「r-r-

所以j+Q_0取z=l.则x=y=6,则〃=(、且x/5,1).

同理取平面AG。的法向量为>n=(0,1,G)

二「/\n-m2>/3际

所以cos(n,in)=-------=----T==--

''|/z|•|m|2x\/77

所以平面人8G与平面4ap所成锐二面角的余弦值为生

7

7.(1)证明见解析;(2)巫.

5

【分析】

⑴根据已知条件,先证明人用J■平面A4G，即可证明/喝_LAG；

(2)求解二面角，可以建立空间直角坐标系，转化为向量来处理.

【详解】

⑴证明：由题意得”=尤=8"=4,44=8,CC,=2,

B出，qc垂直于底面ABC,

AA_L4B,%1AB,BB,1BC,CC1±AC,

可得Ag=A4=4夜，所以+故

由8C=4,84=4,CC,=2,BB.1BC,CCX1BC,得B£=2芯.

又AC=46,由CG14C,得4G=2万，所以4及+8©：=4《，

故ABjG.

又ABCBG=B],因此八4_L平面A4G，

因为ACiU平面A4G，故Aq_LAG.

⑵如图，以AC的中点。为坐标原点，分别以射线08,0。为x,y轴的正半轴,

过点。作平行于区用旦向上的射线为z轴的正半轴，建立空间直角坐标系。-Q，z.

由题意知各点坐标如下：

A«）,—26,0）,B（2,0,0）,A（（），—2G,8）,

与（2,0,4）,G（0,26,2）,

因此丽=（2,26,0卜网=（0,0,4）,

ABt=（2,2^.4）.AG=（0.462）,

设平面ABB1的法向量〃=（x,y,z）,

所以卜即卜廿°，则〃十可,。）；

n-BB\=0[4z=0

同理可得，平面A4G的一个法向量〃?=（3x/3,l,-2V3）,

/\m-n-9+1V10

35""丽=两胡=一号，

故二面角B-ABf的余弦值为巫.

5

【点睛】

求解二面角常用向量法，利用公式COS(〃「〃2)二•^百(〃1,小分别为两平面的法向量)进行

求解，注意(“，小)与二面角大小的关系，是相等还是互补，需结合图形进行判断.

8.(1)证明见解析；(2)

【分析】

(1)若要证明线面垂直，只要证明该直线垂直于平面内的两条相交直线，结合图像利用线

面关系即可得解：

(2)建立空间直角坐标系，利用空间向量法，求出各个面的法向量，利用向量的夹角公式，

即可得解.

【详解】

连接EF,BD,

因为E尸是平行四边形A8CO的A8.C。的中点，

所以EF/"£＞且斯=AD=2

又PE=E,PF=3,所以E尸+P《2=p尸，所以E*LPE

从而AD上PE.

AP=AB

因为＜NPAQ=ND48,所以心必£＞三,840(S.AS),所以PD=BD

AD=AD

作6尸的中点M,连接。M,AM

所以，DMA.BP,AMA.BP,又DM=M

故8P，平面AQM,又A0=平面ADM,所以BP_LAD

乂P8u面PAB、PEu面PA8且PBcPE=P

所以A。_L平面以3；

(2)设AE=x,贝ijA3=AP=2x,

在中，COSNE48=(2X)+(2")要①，

22x-2x

(2V)V5

在"4E中，COSZPAB=>>②

2-2x-x

联立①②得：x=l,于是8SNPAB=0=>NP4B=90。，即A4_LA8.

建立如图所示的空间直角坐标系A-冷2,得B(2,0,0),P(0,0,2),C(2,2,0)

故8P=(-2,0,2),BC=(0,2,0),设〃=(x,y,z)是平面BPC的法向量,

n-BP=0-x+z=01x=z

所以

n-BC=O>*=0_y=0

取z=l得〃=。,0,1).又AP_LA。，AP1AB,ADC\AB=Af所以AP_L平面ABC。，

BDq平面ABCD,所以4匕LB。

XBDLAC,ACCAP=A,所以8。_1_平面APC,即3。=(—2,2,0),是平面APC的一个法向量.

所以cos(儿4少二一3

所以二面角8-0C—A的余弦值为

【点睛】

本题考查了立体几何的线面垂直的证明，考查了求二面角的大小，计算量较大，属于中档题，

本题的关键有：

(1)通过线面垂直得到线线垂直，从而得到面线面垂直；

(2)建系，求法向量，利用方程求法向量，精确计算，这是求二面角的关键.

9.（1）证明见解析；（2）叵.

15

【分析】

（1）由题意，先证明PO_LAC,PO1OB,从而可证明尸。1平面ABC,进而可证立面

E4C_L平面A8C；

（2）建立空间直角坐标系。―-求出所需点的坐标、向量坐标，进而求出平面PBC的法

向量〃、平面AMC的法向量用，最后根据二面角余弦值为85夕=卜0$<〃7,〃>|即可求解.

【详解】

解：（1）证明：如图，取AC的中点为0,连接80,P0.

VPA=PC,：.POLAC,

'：PA=PC=6,ZAPC=90°,

/.PO=AC=3\/2,同理BO=3&，又PB=6,

：-PO2+OB2=PB2，

，PO1OB,

VAC^OB=O,AC,08u平面ABC,

・・・P0_L平面ABC,又户。u平面尸AC,

:.平面PAC_L平面ABC；

（2）如图建立空间直角坐标系。-外z,贝IJA（3夜,0,0）,C（-372,0,0）,^（0,372,0）,

网0,0,3⑹，

••・昌=（3夜,3上,0）,CP=（372,0,372）,

•••三棱锥P—ACM和A—ACM的体积比为1:2,

JPM:BM=\:2,

・・.M仅,0,2码，

.••潴=（-3夜，血,2夜），

设平面P8C的法向量为〃=（乂），,z）,

（3&x+3忘y=01

则<f-l,令1=1,得〃=（1,一1,一1）,

[3V2x+3V2z=0

同理，求得平面AMC的法向量为〃?=（0,2,—1）,

所以所求二面角余弦值为cos0=Icos<私〃>|=普/=怨.

nn\15

10.（1）证明见解析；（2）业上

77

【分析】

（1）取OE中点G,连接FG交CE于点H,连接A”,证明BF7/人"后可得线面平行：

（2）取A。中点0,BC中点/,连接。石，O1,易知O/_LA£>,以OAO/,OE为羽轴

建立空间直角坐标，由向量法求线面角.

【详解】

（1）证明：取DE中点G,连接AG交CE于点〃，连接AH.

,?CF//DG,且DG=CF,

，四边形CQG户是平行四边形，・・・G/〃QC,H为GF中点,

又,：ABHCD,&CD=2AB,

Z.ABHHF,且=〃尸，

，四边形AM”是平行四边形，

・•・BF//AH,B/0平面ACE,A"u平面ACE,

:.8/7/平面ACE.

AB

（2）解：取4。中点0,8C中点/,连接OE,OI,易知0/_LAD,

VDE=AE，：.OE±AD,

ZCDE=ZCDA=-

2f

：.CD±AD,CDIDE,DEcAD=D,

，C£）_L平面ADE,

：.CD±OE,・,・OE_L平面A3CO.

VDE=AE=2>/5,AD=4,：.OE=4,

如图，以。为坐标原点建立空间直角坐标系。-个z,

则A（2,0,0）,C（-2,4,0）,E（0,0,4）,8（2,2,0）,F（-1,4,2）（DE=2CF）,

设平面BEF的法向量。=次,y,z）,

[n-EB=0（x+y-2z=0

则nl《，即nn《•，

n-EF=0x-4y+2z=0

取方=（6,4,5）,AC=（-4,4,0）,

设直线AC与平面BEF所成角为巴

/“\丽n-AC"方J154，即心。=等177A，

即直线4c与平面所所成角的正弦值为画.

77

【点睛】

方法点睛：本题考查证明线面垂直，考查求直线与平面所成的角，求线面角常用方法：

（1）定义法：作出直线与平面所成的角并证明，然后在直角三角形中计算可得；

（2）向量法：建立空间直角坐标系，由直线的方向向量与平面的法向量夹角的余弦的绝对

值等于直线与平面所成角的正弦值计算.

11.（1）/7=2；（2）证明见解析，体积为

【分析】

（1）由题意可得几何体叫表示上半球，球半径为4,从而有16-/-=12,进而可求出实数人

的值；

（2）由题意可得几何体叫为圆柱内挖去•个同底等高的圆锥，且该圆锥的对称轴与母线的

夹角为45.然后由祖咂原理可求得结果

【详解】

r24-y2+Z216

（1）｛.:“‘则几何体叱表示上半球，球半径为4.

z..O,

当z="时，x2+y2„16-A2,截面为圆面，则16-*=12,解得力=±2.

乂/?-0,所以"=2.

（2）设P（x,y,z）,则点尸到z轴的距离为d,由k+y2,,16,

即|OP|2-z2=x2+y2=16,即点。到z轴的距离为44.

所以己丁6'所表示的几何体为圆柱体.

0融4

由z2„X2+y2,即点〃到z轴的距离为d..因，

当1二2|时，点尸在以一直角边在z轴上的等腰直角三角形绕z轴旋转而成的倒圆锥面上.

z2^2+V216

所以Lu：,'所表示的几何体也为圆柱内挖去一个同底等高的圆锥•

0蜂4,

且该圆锥的对称轴与母线的夹角为45.

在叫中,平面“=〃所截的截面为圆，其面积为4（16-42）,

在吗中，平面z=〃所截的截面为圆环，在圆柱中的截面圆面积为164，

在圆锥中的截面圆面积为切?2,所以在1匕中截面面积为加（16-/产），

即z=/?截叱,1匕所得面积均相等，从而由祖咂原理知，叫，吗体积相等，

由叱为半球知其体积V=：x；;rx43=f;r.

【点睛】

关键点点睛：此题考查祖晅原理的应用，考查新定义，考查不等式与几何图形的关系，解题

的关键是正确理解新定义和祖眶原理，考查转化思想，属于中档题

12.(1)证明见解析；(2)存在点3,此时AB=1.

【分析】

(1)作CW//A4交A。于点连接PM，取PM中点N,连接4V,FN,根据题意证明

FN/iAE,B.FN=AE,即可证明四边形AE/W是平行四边形，得£F///W,所以证明跖//

平面尸AO;(2)以八氏八。,”所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，设加=",表

示出各点的坐标以及向量的坐标，求解平面PCO的法向量，结合平面七的法向量，代入

向量的夹角计算公式即可求解出A8的长度.

【详解】

证明：(1