随机进程课后习题

习题一

1.设随机变量x服从几何散布，即：P(X=k)=pq\k=0,1,2,…求X的特

点函数、EX及DX。其中0<〃<13=1-〃是已知参数。

2.(1)求参数为(p,b)的「散布的特点函数，其概率密度函数为

,2—>0

〃(»=，「(〃)b>o,p>o

0,x<0

(2)求其期望和方差；

(3)证明对具有相同的参数b的「散布，关于参数p具有可加性。

3.设X是一随机变量，F(x)是其散布函数，且是严格单调的，求以下随机变

量的特点函数。

(1)丫=〃/(*)+方,(。工0出是常数)；

(2)Z=lnF(X),并求E(Z")(k为自然数)。〃

4.设％,X2，...,X〃彼此独立，具有相同的几何散布，试求I的散布。

5.试证函数/“)=〃([_/)为一特点函数，并求它所对应的随机变量的散布。

，/、1

6.试证函数/⑺=11为一特点函数，并求它所对应的随机变量的散布。

7.设X1,X2，...,X〃彼此独立同服从正态散布N(a,/),试花n彳隹随机向量

~x=X

X，X2，...,x〃的散布，并求出其均值向量和协方差矩阵，再求'的概

率密度函数。

8.设X、Y彼此独立，且(1)别离具有参数为(m,p)及(n,p)的二项散布；12)

别离服从参数为(四力),(〃2，〃)的「散布。求X+Y的散布。

9.己知随机向量(X,Y)的概率密度函数为

-[l+xy(x2-/)],-1<x,y<\

P(x,y)=<4

0洪他

试求其特点函数。

10.已知四维随机向量(X1,X2，X3，X.p服从正态散布，均值向量为0,协方差矩

阵为，求EXXXXJ。

11.设Xi,X2和X3彼此独立，且都服从N(0,l),试求随机变量Y=XI+X2和

匕=X+X3组成的随机向量(Yl,丫2)的特点函数。

12.设Xi,X2和X3彼此独立，且都服从N(0,，)，试求：

(1)随机向量(X1,X2,X3)的特点函数；

(2)设.=X，S?=-+X2,53=XI+X2+X3,求随机向量⑸S,S3)的特

点函数；

(3)X=乂2-X和=X3-X2组成的随机向量(YLY2)的特点函数。

13.设(X1.X2.X3)服从三维正太散布N((),8),其中协方差矩阵为8:9/女3,且

巧1=%2=033=b?。试求£1(X；-O-2)(X；-O-2)(X；-CT2)]O

14.设X1,X2,…,X”彼此独立同服从正态散布N(O./)0试求

%=exp(-£x；)的期望。

1=1

Y

15.设X、Y是彼此独立同散布的N((),l)随机变量，讨论U=X?+”和v=勺勺

独立性。Y

16.设X、Y是彼此独立同服从参数为1的指数散布的随机变量,讨论U=X+V

Y

和V的独立性。

x+y

17.设二维随机变量(X,y)的概率密度函数别离如下，试求E(X|y=y)。

(1)P(x,y)=

。洪他

y<x

(2)P(羽》)=«

0,其他

18.设X、Y是两个彼此独立同散布的随机变量，X服从区间。1]上的均匀散布,

Y服从参数为X的指数散布。求(1)X与X+Y的联合概率密度函数;(2)D(X|Y=y)。

-n0n

19.设Xn,n=l,±1,±2,…是列随机变量，且X”~上1

其中K是正常数。试求：<nKn

(1)当K>1时，Xn几乎确信收敛于0；

(2)当K>2时,Xn均方收敛于0;

(3)当K>3时，Xn不均方收敛于0。

20.设X〃一^a,%—试证明X“士工一^々±0。

习题二(-]n

1.设X(i=1,2,3,…)是独立随机变量列，且有相同的两点散布11，令

r(o)=o,y(m=£x,.,试求：

(1)随机进凰Y(n),n=0,1,2,…｝的一个样本函数；

(2)P[Y(l)=k]及P[Y(2)=k]之值;

(3)P[Y(n)=k]；

(4)均值函数；

(5)协方差函数。

2.ViX(r)=Acos(ot-Bsincot,其中A、B是彼此独立且有相同的NQ,。?)散布

的随机变量，”是常数，，£(YO,8),试求：

(1)X⑴的一个样本函数；

(2)X(l)的一维概率密度函数；

(3)均值函数和为"差函数。

3.设随机进程XQ)=Z(匕85。/+2凶11%1)/20。其中匕马,...,工，

hi

Z„z2，…,Z〃是彼此独立的随机变量，且KZ〜N(0,q2)次=1,2,...,〃。

(1)求｛X(t)｝的均值函数和相关函数；

(2)证明｛X(t)｝是正太进程。

4.设｛卬"),d0｝是参数人的Wiener进程，求以下进程的均值函数和相关函数:

(1)x(r)=w2(0,/>0；(2)X(r)=rlV(-),/>0；

-,2

(3)X(r)=cW(cr),r>0；(4)%(/)=w(/)-zVV(/),0<r<1o

5.设抵达某商店的顾客组成强度为4的Poisson流，每一个顾客购买商品的概

率为p,且与其他顾客是不是购买商品无关，假设｛丫(/)"之()｝是购买商品的顶客

流，证明｛丫⑺,/>0)是强度为九〃的Poisson流。

6.在题5中，进一步设｛Z(l)"20｝是不购买商品的顾客流，试证明｛V⑺/20｝

与｛Z(r),r>0｝是强度别离为4〃和A(l-p)的彼此独立的Poisson流。

7.设｛乂⑺JN0)和｛愀⑺/之。｝别离是强度为4和办的独立Poisson流。试证

明：

(1)｛2+N2(t\t>0｝是强度为4+%的Poisson流；

(2)在｛N«)/20｝的任一抵达时刻距离内，｛乂()此0｝恰有k个时刻发

生的概率为

PA=J[•(/?=

4+44+4

(2)=其中卬⑺是参数为1的Wiener进程；

(3)X(/)=W2(/),/>0,其中W⑺是参数为$2的wiener进程。

6.均值函数为〃?,⑺=5sin/、相关函数为Rr(s,f)=3e«5«s尸的随机进程

输入微分电路，该电路输出随机进程yQ)=x'«),试求y(r)的均值函数、相关

函数、X。)与y(。的相互关函数。

7.试求第3题中可积进程的如下积分：

y(r)=-iX(u)du,Z(r)=-「"X(”)d〃

小/J,

的均值函数和相关函数。

8.设随机进程X(/)=V*cos2],其中V是均值为五、方差为1的随机变量,

试求随机进程y(r)=1X(s)ds的均值函数、相关函数、协方差函数与方差函数。

9.设｛W⑺是参数为$2的wiener进程，求以下随机进程的均值函数和相

关函数。

(1)X(r)=£w)rfy,r>0；

(2)XQ)=[sW(s)d用之0；

(3)X(z)=£+/[W(5)-VV(r)kZy,r>0o

10.求一阶线性随机微分方程

X'⑺+〃X⑺=0/20

[a>0)

X(0)=X。

的解及解的均值函数、相关函数及解的一维概率密度函数，其中X。是均值为0、

方差为『的正态随机变量。

11.求一阶线性随机微分方程的解及解的均值函数、相关函数。

YXt)=X(t\tela.b\

>0)

y(q)=匕

其中X。)是一已知的二阶均方持续进程，匕是与X。)独立的均值为rn,方差为

$2的随机变量。

r（0+«y（r）=X（ar>0

⑵3>o）

丫（。）=%

其中X(/)是一已知的均值函数为“(，)=sin/、相关函数为

&GJ)=>0)的二阶均方持续进程。

习题四

I.设随机进程X(/)=Acos(g/+€>),其中A具有Rayleigh散布，即其概率密

度函数为

X尤.

〃。)=/呻(一方2%〉0)

0,x<0

式中。服从区间。21］上的均匀散布，且A、。彼此独立，试研究X是不是为

平稳进程。

2.设X是一平稳进程，且知足X(1)=X(/+T),称X为周期平稳进程，T为具

周期，试证X的相关函数也是以T为周期的周期函数。

3.设X、Y是两个彼此独立的实平稳进程，试证明ZQ)=XQ)+yQ)也是平稳

进程。

4.设(X()-8<f<+8｝是n阶均方可微的平稳进程，证明

｛是平稳进程，且R*、(r)=(-1)”/?¥“)”)。

5.设｛X(n)｝是一均值为0的平稳时刻序列，证明：

(1)Z(〃)=4X(〃)+BX(〃一机)仍是一平稳时刻序列；

(2)假设数列｛A(n)｝绝对收敛，即£闻<小，那么

火=70

8

Z(〃)=Z&X5-幻仍是一平稳时刻序列；

(3)若｛X(n)｝是一白噪声，试求Z(〃)二力&X(〃—幻的相关函数及其谱函

k=0

数。

6.设X⑴是雷达在t时的发射信号，遇目标返回接收机的微弱信号是

aX(〃-臼)马是信号返回时刻，由于接收到的信号老是伴有噪声的，记

噪声为N(t),于是接收机接收到的全信号为：y(7)=aXQ—i)+NQ),假设X、

Y是平稳相关的平稳进程，试求RxyOO；进而，假设N⑺的均值为0,且与X")

彼此独立，试求Rxy“)。

7.设乂心=《110/,其中。是服从区间［0,2万］上的均匀散布的随机变量，试证:

(1)｛Xn9n=0,±1,±2,...｝是一平稳时刻序列;

(2)｛XQ),-<十8｝不是平稳进程。

8.设｛X(f),—8</<+8｝为零均值的正交增量进程，E|X⑺一X(s)f="N，

试证丫(/)=X⑺一XQ-1)是一平稳进程。

9.设｛XQ)"N0｝是平稳进程，均值加x=。，相关函数为Rx«)，假设

(1)

J-忖，忖<1

(2)R(r)=

x［(),其他

令y«)二、J：X(s)ds,T是固定的证书，别离计算｛丫⑺/20｝的相关函数。

10.设平稳进程｛XQ)JNO｝的相关函数为Rx«)='e-刚—一咖，那个地址

13a

为常数。

(1)判定X是不是为均方可导，说明理由；

(2)计算园苑X'Q+r)｝和E｛XXf)X\t+r)｝o

11.设宽平稳进程｛y“)j£(YO,+8)｝的自相关函数为0«)=/忖，对知足随机

微分方程X'Q)+x")=y(r)的宽平稳进程解｛x(。/G(―%内))｝o

(1)求x的均值函数、自相关函数和功率谱密度；

(2)求x与Y的相互关函数和互功率谱密度。

12.设｛XQ)/20｝是均值为()的平稳的正态进程，且二阶均方可导。求证：对

任意t>(),X")与X'。)彼此独立，但X")与X"⑺不独立，并求Rxx«，/+z)。

13.设｛XQ)/N0｝是均方可导的实平稳的正态进程，相关函数为/?«),求其导

数进程｛X'Q）"NO｝的一维、二维概率密度函数。

14.已知平稳进程的相关函数

2a

（1）Rx（r）=<re~^cosfir,（a>0）

（2）&《）=b%一明（1+〃忖）,（。>0）

2

(3)Rx(r)=cre-叫cos(3T+-^sin例r|],(a>0)

求谱密度。

15.已知平稳进程（参数持续）的谱密度

</?

(1)Sx(⑼=,

0、其他

b\a<\cc\<2a

(2)Sx(①)=,11(6Z>0)

0、其他

(3)%3=£缶,（4'%为正数）

求相关函数和平均功率。

16.设X、Y是两平稳相关进程，且四X（r）］=ETy（，）］=（）,Rx（T）=RY（T）f

Kxy（z）=—0r（T），试证2。）=*«）<：05%+丫（，川11%也是平稳进程。又假

设X、Y的谱密度函数存在，利用X、Y的谱密度及互谱密度表出Z的谱密度。

17.设XQ）=cos（&+O）,其中G>0为常数，。是特点函数为f（t）的实随机变

量，证明X为平稳进程的充要条件为f（l）=f（2）。

18.设X为平稳正态进程，F［X（r）］=0,R«）是其相关函数，试证

y“）=sgn［X（，）］是一平稳进程，且其标准相关或数为

Ry⑺—2aresin^

。丫（7）=

Ry(0)一乃R(0)

19.设｛X«）,-8<f<8｝是一平稳进程，S（⑼为其谱密度函数，试证：对任意

的h>0,y（f）=X（r+A）-X。）是平稳进程（即平稳进程具有平稳增量），并求Y

的谱函数。

20.设｛X⑺是均值为0、相关函数为《«）的实正太平稳进程，证

明X2(/)也是平稳进程，并求其均值及相关函数。

21.设二阶进程｛XQ),—8<，V8｝的均值函数为©X«)]=a+/r,相关函数为

R(S/)=”4T,其中a>£>4>0都是常数。证明丫(，)=*。+1)-乂«)是一

平稳进程，并求其均值及相关函数。

22.设｛X.,〃=0,±l,±2,…｝是白噪声序列,试证明

y(/z)=—[X(A2)+X(n-1)++X(/t-m+1)]

m

是平稳时刻序列，并求其相关函数及谱密度。

23.设｛乂(〃),〃=(),±1,±2,...｝为均方持续的平稳过称，具有谱密度S3),试证:

对每一个△>0,｛X(〃A),〃=0,±l,±2,...｝是平稳序列，并用S(。)表出

｛X(必),/1=0,±1,±2,...｝的谱密度。

24.设J、〃是两个相互独立的实随机变量，琢=。,。4=1，〃的散布函数是

F(x),试证明：2(/)=彳3切为平稳进程，且其谱函数确实是b(0)。

25.设｛X(1),-oo</<+oo｝是均方可导的平稳进程，S(⑼是其谱密度，试证

(1)y(，)=「H"i)X(s)ds,(夕>(),常数)

JTJU

「

(2)Z(/)=「e—W")mo"-s)x(s)ds,(a〉OQ>0均常数)

Jfco

均为平稳进程，并求他们的谱密度。

26.设Y是均方二次可导的平稳进程，X是均方持续的平稳进程，且知足：

F(r)+/?m+^y(r)=X(r)

利用X的谱函数表示Y的谱函数及X与Y的互谱函数。

27.己知如下图的系统，其输入X为一零均值的平稳的正太进程，通过实验测

得Z的功率谱密度为

Sy(①)=7l6(cd)+—-----―S------------

z(疗+>)(苏+1)

(1)试证Y也为平稳的，且Ry⑺=R；(0)+2R；⑺；

(2)利用(1)的结论别离求X和Y的自相关函数与功率谱密度。

Y(t)

X(t)o------->(・)2---------------->h(t)=e-lU(t)----->o-Z(t)

题27图

28.设线性时不变系统的脉冲响应以。=。⑺exp(一中),其中->0为常数，

U⑺为单位阶跃函数，系统的输入X是自相关函数为

Rx(r)=exp［-cz|r|］,(a>0)的平稳进程。试求：

(1)系统输入与输出的相互关函数。

(2)输出的功率谱密度和自相关函数。

29.设随机进程X。)=Acos/+Bsinf,-8<，<+8,其中A和B是彼此独立

的零均值随机变量，且。(A)=O(3)=/。试研究X的均值函数和相关函数是

不是具有各态历经性。

30.设随机进程X(/)=Acos(。/+0),-8</<+8,具中A、g是彼此独立的随

机变量，旦。服从区间［0,2划上的均匀散布。试研究X的均值函数和相关函数

是不是具有各态历经性。

31.设随机进程X(1)=Acos(0/+€)),-8</v+oo,其中40、。是彼此独立

的随机变量，其中A的均值为2,方差为4,且。服从区间［-乃，乃］上的均匀散

布，口服从区间(-5,5)上的均匀散布。试研究X的均值函数和相关函数是不是具

有各态历经性。

32.设平稳进程的期望为m,自相关函数为R(r),协方差函数为C«)。

(1)假设J：|C(7)W/v+8,试证明X的均值各态历经；

(2)假设C(0)<+8,且当忖―8时，C(r)->0,试证明X的均值各态

历经。

33.设平稳进程X=｛XQ),-8V/<+8｝的均值%=0,相关曲数

Rx(r)=4"附(1+。忖),(q>0),其中A、a是常数。问X的均值是不是具有各

态历经性。

习题五

1.设｛U〃,〃=1,2,...｝是彼此独立的随机变量序列，试问以下的｛乂〃,〃=1,2,...｝是

不是是马氏链，并说明埋由：

（i）xn=u、+a+...+un；

（2）X〃=（a+U2+...+U〃）2。

2.。〃,〃=1,2,...｝是随机差分方程七二夕乂,1+/”的解，其中。是已知常数，

Xo=O,而｛&〃=1,2,...｝是独立同散布的取可数值的随机变量。试证明

｛X〃,〃=l,2,...｝是马氏链。

3.有两个状态0和1的马氏链｛X”,〃=l,2,...｝,其状态转移概率矩阵为

p_PooPoi

IPioP\\)

试证：

⑴当加0G时,有

1p-Pn1_〃00I(加+为-1)〃1-〃00-(1-〃00)

2-〃00-〃1V-PnAx)>2-〃00一〃II1一(1一四|)[~P\\)

2_RX)_PII

(2)专门地，当Poo=Pii=P，4=1-〃时芍

(11；一；（〃一夕）"

；一；(p-q)”

\LL，，/

（3）试求概率P｛X0=1|X]=1｝。

4.有三个黑球和三个刍球，把这六个球任意等分给甲、乙两个袋中，并把甲袋

中的白球数概念为该进程的状态，那么有四种状态：0,123。现每次从甲、乙袋

中各取一球，然后互彼此换，即把从甲袋中掏出的球放入乙袋，而把从乙袋中掏

出的球放入甲袋，通过n次互换进程的状态记为Xn。试问进程是不是是马氏链？

若是是，试计算其一步转移概率矩阵。

5.设一个有三个状态的马氏链，其状态转移概率为

'Pi10、

P=（）p2%

0

其中〃,•+0=1,1=123°试求首达概率总）和£；”,〃=1,2,3c

•

与加1由衣，〕、刘r

<0.600000.4)

00.6000.40

0.10.10.10.10.50.1

P=

00.20.20.40.20

00.2000.80

,0.400000.6,

1).6000.40、

。/21/200、

00.6000.4

1/31/31/30

P=00.20.600.2T=

1/41/41/41/4

0.4000.60

U/41/41/41/4,

、00.2000.8；

(1)试对S进行分竺3并说明各状房加类型；

(2)求平稳散布，f匚平稳散布是不是滩一?什么缘也1?

(3)求P(X(〃+2)=1|X(〃)=O),尸{X(〃+2)=2|X(〃)=0}

7.试讨论齐次马氏链的平稳概率的存在性和唯一性问题，假设存在，如何求出

其所有的平稳概率？并举例说明。

8.考虑一个状态为0,1,2,…的马氏链，其状态转移概率为

88

/力=PigPi=l，£iPiV8,Pg=l,iN1

?=O/=O

试证明此马氏链是不可约、非周期、正常返的，并求其平稳概率。

9.假定今天下雨，那么明天仍下雨的概率为a,而若是今天不下雨，那么明天

下雨的概率为夕，试求下雨的极限概率。

10.考虑一个有平稳概率多的不可约非周期马氏链，设其初始散布为《，记

Qij=P{X.=j\X.=i]

那么Q可看做为一个马氏链的转移概率矩阵，试证明：

Qf=P{X.=j\Xn=i]

11.设有两个相同部件，工作时的寿命均服从参数为2的指数散布，储蓄时的寿

命均服从参数为a的指数散布。开始时一个部件工作，一个部件储蓄，当工作部

件失效时当即进行修理，修理时刻服从参数为〃的指数散布；当一个部件在修理

时，假设另一个也失效，那么等待先修理者修理完毕后当即进行修理.；当一个失

效部件修理完毕时，假设另一个部件正在工作，那么做储蓄，不然当即开始工作。

试求t时有部件工作的概率。

12.设N（t）是率为7的Poisson进程，匕是独立同散布取整数值的随机变量序列,

N（t）

X（，）=Z匕

;:=1

试证：

（1）X⑴是一马氏进程；

（2）求X⑴的数学期望和自相关函数。

13.设有两个串行微处置器（加「历2）和两个缓冲器（£,g）组成如题13图所示

的系统。请求抵达后依次通过，叫和的处置；每一个周期有一个请求抵达

的概率为p,没有请求到的概率为1-〃；抵达的请求寄存在片中层的容量

别离为N1和N2（包括处置器正在处置的请求）。请求的抵达与在及上的

处置时刻彼此独立。试成立描述上述系统的马尔可夫链模型，其稳态散布是不是

存在？如存在，试求出其稳态散布。

请求------.....-—一离去

>B]----M]：------->B2>M2->

题13图

14.考虑一出租汽车站，其出租汽车到站和顾客到站别离按率为4.和4.的独立

泊松散布进程进行（其中乙<4）。一辆出租车来到，不管出租车队伍多长都得

等待，而一个顾客来到时仅当等待的顾客数不超过2时他才等待。假设时刻足够

长后系统达到平稳状态，试求等待出租车的平均顾客数和一个顾客来到时不需要

等待就能够坐上出租车的概率。

15.试述离散时刻马氏链与持续时刻马氏进程间的联系及其相同点和不同点（从

状态分类，极限情形等来讨论）。

16.考虑具有k个通道的互换机，若是所有k条线都被占用，那么一次呼唤来到

时就被丢失了，呼唤规律服从比率为4的泊松进程，呼话的长短具有平均值为

1/4的独立指数散布的随机变量。试求在系统达到平稳时一次呼唤来到时被丢失

的概率。

17.设X⑺为有7个状态的时齐马氏进程，其状态转移强度矩阵Q如下所示，

其中的*号表示非冬值，试说明各状态的类型和周期。

**00000、

0**0000

*0*0000

()00**00

000**00

00000*0

*******

18.假设在例中的两个部件不同型，即它们的寿命散布和修理时刻散布都是不相

同的，但都是指数散布，试研究现在的系统。

19.设某金工车间有M台车床，由于常常需要测量和调换刀具等缘故，各车床

老是时而停止，时而工作。假定在时刻t时，一台车床正在工作，但在时刻，+4

时停止工作的概率为/△/+“△/）；再假定在时刻t时，一台车窗不工作，而在

时刻/+Af时这台车床在工作的概率为九V+。。/）；而且各车床的工作情形是彼

此独立的，若是用N⑺表示时刻t正在乍的车珠数。

（1）说明N⑺是一齐次马尔可夫进程；

（2）求出它的平稳散布：

（3）专门当"=10,2=60,4=30时，求出在平稳状态时有一半以上车床

在工作的概率。

20.试证明参数为几（＞0）的泊松进程｛NQ）/N0｝是一个时刻t持续状态离散的马

尔可夫进程。

21.对M/M/K排队系统，记N⑺表示此系统在t时的队长，要求:

（1）说明N⑺是一个生灭进程，并写出其Q矩阵；

（2）列出柯尔莫哥洛夫微分方程，并研究其平稳散布的存在性和计算问题。

习题六

I.在例6.2.3中，若是假定报酬，不是在第n次更新时刻7；时一次性取得，而

是在中持续地、一点一点地取得的，试证明命题中的结论仍成立。

2.试写显现时寿命£的散布函数及其极限。

3.试写显现时寿命£和剩余寿命匕的联合散布函数及其极限。

4.试对Poisson进程而言，求显现时寿命人和剩余寿命匕的联合散布函数和它

们各自的散布函数。

5.试举例说明期望总寿命E/3t大于期望更新距离时刻EXtlo

6.试证明以下结论：

对常返状态i,假设在(*1)中正常返且由。％//〃〉0,，左£6；}>0,那么

i在X中正常返且为<8，V/£C,.；反过来，假设i在X中正常返且

sup{〃而IPjk>q,j,keCf}<co,那么i在(X,T)中正常返。

7.记X,N⑺+i为包括t的更新距离长度，试证明

P{XN(l)+l>x]>l-F(x)

并对Poisson进程计算P[X>x]o

8.试证明下式：

£{|NQ)「}=m(7)+(/一s)cbn(s)

9.对一个更新散布为非格的更新进程，试证明以下两式：

=乙«)+「[1一Fe{t-x)]dm{x)

〃)°

,、tEX；i

rlimm(t)---=----7T-1

一〃2//2

10.设有一个进程，它有三个状态；一、二、3,其状态转移是1-2—3-1的循

环形式，在状态一、二、3处的停留时刻别离服从散布函数"、鸟、瑞，试求

limP{过程在时处于状态i},i=1,2,3

f->oo

以此，试求n个状态的类似问题。

II.有一个计数器，粒子的抵达服从距离散布为F的更新进程，计数器每记录一

个粒子后锁住一段固按时刻L,在此期间，它不能记录任何抵达的粒子。试求从

锁住终止到下一个粒子抵达的时刻长度的散布函数。

12.设顾客接踵抵达一个汽车站形成一个均值为"的更新进程，当有N个顾客

时就发出一辆汽车。假定汽车站需给停留在汽车站的每一个顾客以率4支付费

用。需研究汽车站在长期运行下单位时刻的费用。

13.设某更新进程的更新密度为

pe-p(x-S}x>8

/(0=