辽宁省2025届高三上学期8月月度质量监测暨第零次诊断测试数学试卷（含解析）

辽宁省2025届高三上学期8月月度质量监测暨第零次诊断测试数学试卷本试卷满分150分考试时间120分钟注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填（涂）写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答在试卷上无效。3.非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；不准使用铅笔和涂改液。4.考试结束后，将试卷、答题卡和草稿纸一并交回。第I卷选择题(共58分)一、单选题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的)1．已知集合，，.则P的子集共有(

)A.1个 B.2个 C.3个 D.4个2．已知复数，则(

)A. B. C.2 D.3．椭圆的焦点的坐标为(

)A., B.,C., D.,4．把14个相同的球全部放入编号为1、2、3的三个盒内,要求盒内的球数不小于盒号数,则不同的放入方法种数为()A.36B.45C.72D.1655．如图是一个圆台的侧面展开图，若两个半圆的半径分别是1和2，则该圆台的体积是(

)A. B. C. D.6．若函数为R上的奇函数，且当时，，则(

)A.-4 B.-3 C.-2 D.-17．已知数列满足，，则数列的前100项的和是(

)A. B. C. D.8．声音是由物体振动产生的声波，我们听到的声音中包含着正弦函数．若某声音对应的函数可近似为，则下列叙述正确的是(

)A.为的对称轴 B.为的对称中心C.在区间上有3个零点 D.在区间上单调递增二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)9．给出下列说法，其中正确的是()A.数据0，1，2，4的极差与中位数之积为6B.已知一组数据，，，的方差是5，则数据，，，的方差是20C.已知一组数据，，，的方差为0，则此组数据的众数唯一D.已知一组不完全相同的数据，，，的平均数为，在这组数据中加入一个数后得到一组新数据，，，，，其平均数为，则10．已知直线l经过抛物线的焦点，且与C交于A，B两点，以线段为直径的与的准线相切于点，则()A.直线l的方程为 B.点D的坐标为C.的周长为 D.直线与相切11．已知函数,e是自然对数的底数,则(

)A.的最大值为B.C.若,则D.对任意两个正实数,,且,若,则第II卷非选择题(共92分)三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)12．若a为锐角，，则__________.13．若向量，，则在上的投影向量为__________________________．14．在三棱锥中，已知，，，平面平面，且，则以下结论正确的是____________（填序号）．①②平面平面③三棱锥的体积为④三棱锥的外接球的表面积为四、解答题(本大题共5小题，共77分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．（13分）有4名同学下课后一起来到图书馆看书,到图书馆以后把书包放到了一起,后来停电了,大家随机拿起了一个书包离开图书馆,分别计算下列事件的概率．(1)恰有两名同学拿对了书包；(2)至少有两名同学拿对了书包；(3)书包都拿错了．16．（15分）如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上的点，过点C的直线VC垂直于圆O所在平面，D，E分别是VA，VC的中点.求证：(1)平面；(2)平面17．（15分）已知函数.(1)若，求函数的极值；(2)若直线与曲线相切，求实数的值.18．（17分）已知双曲线C与双曲线有相同的渐近线，且过点.(1)求双曲线C的标准方程；(2)已知点，E，F是双曲线C上不同于D的两点，且，于点G，证明:存在定点H，使为定值.19．（17分）记无穷数列的前n项中最大值为，最小值为，令(1)若，请写出的值；(2)求证:“数列是等差数列”是“数列是等差数列”的充要条件；(3)若,,求证:存在，使得，有参考答案1．答案：D解析：因为集合，，所以，所以集合P的子集为，共四个.故选：D2．答案：A解析：由，可得，故选：A3．答案：D解析：在椭圆中,,,则,易知该椭圆的焦点在y轴上,因此,椭圆的焦点的坐标为,.故选：D.4．答案：B解析：根据题意,先在14个球种取出1个球放到编号为2的盒子里,再取出2个球放在编号为3的盒子里,此时只需将剩下的11个球,分为3组,每组至少一个,分别放到三个盒子里即可;将11个球排成一列,排好后,有10个空位,在10个空位中任取2个,插入挡板,有种方法,即有45种将11个球分为3组的方法,将分好的3组对应3个盒子,即可满足盒内的球数不小于盒号数,则盒内的球数不小于盒号数的放入方法有45种,故选:B.5．答案：B解析：如图，设上底面的半径为r，下底面的半径为R，高为h，母线长为l，则，，解得，，又，，设上底面面积为，下底面面积为，所以圆台的体积.故选：B.6．答案：D解析：因为函数为R上的奇函数，所以，又当时，，所以，所以，故选：D.7．答案：A解析：，，且，所以数列是首项为2，公差为1的等差数列，所以，即，.故选：A8．答案：D解析：，，.故A选项错误；而.故B选项错误；又，令得，所以该函数在区间内有4个零点，故C选项错误；而，由得，可知在区间上单调递增.选D.9．答案：ACD解析：对于A，极差为，中位数为，所以极差与中位数之积为，A对；对于B，根据方差的性质可知，数据，，，的方差是，B错；对于C，由方差，可得，即此组数据众数唯一，C对；对于D，，，，D对.故选：ACD10．答案：AC解析：A选项，依题意，抛物线C的准线方程为，即，所以，即抛物线C的方程为，则抛物线C的焦点为.设直线l的方程为，，，联立消去x整理得，恒成立，则，，则，，又因为线段为的直径，与C的准线相切于点，所以，整理得，即，即，解得，所以直线l的方程为，所以A正确；B选项，因为垂直于准线，且，所以点D的纵坐标为，代入直线l的方程，即，解得，可得点，所以B错误；C选项，根据抛物线的定义可得，所以的半径为，所以的周长为，所以C选项正确；D选项，圆心到直线的距离为，所以直线与相交，不相切，所以D错误.故选：AC.11．答案：ABD解析：由题意得,则,当时,,递增,当时,,递减,故,故A正确;由于,由于当时,递减,故,即,,即,因为,故,,即,故,故B正确;因为,即,,设,,由于当时,递增,当时,递减,故,单调减函数,故,即,由于,不妨设,则,即,故C错误;对任意两个正实数,,且,若,不妨设,即,设,则,,则,,而,设,令,则,即,为单调增函数,故,即成立,故,故D正确,故选:ABD.12．答案：解析：因为,,a为锐角，所以，则.故答案为：.13．答案：解析：因为，，所以,在上的投影向量为，故答案为：14．答案：①②③④解析：因为，，所以，所以，因为平面平面，平面平面，，所以平面，，又平面，所以平面平面，所以①②正确；进一步三棱锥的体积为，所以③正确；设三角形的外心为F，过F作平面，则三角形的外接圆的半径为，设O为三棱锥外接球的球心，则，，所以，所以，解得，所以外接球的半径为，所以三棱锥的外接球的表面积为，所以④正确．故答案为：①②③④.15．答案：(1)(2)(3)解析：(1)设4名同学的书包分别为A,B,C,D,4名同学拿书包的所有可能可表示为,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,共有24种情况．恰有两名同学拿对了书包包含6个样本点,分别为,,,,,,故其概率为．(2)至少有两名同学拿对了书包包含7个样本点,分别为,,,,,,,故其概率为．(3)书包都拿错了包含9个样本点,分别为,,,,,,,,,故其概率为．16．答案：(1)证明见解析(2)证明见解析解析：(1)因为D,E为的中点，可得，又因为平面，平面，所以平面.(2)因为为直径，点C是上的点，所以，又因为垂直于所在的平面，且在所在的平面内，所以，又因为，所以、，又由且平面，所以平面.17．答案：(1)极大值为；极小值为；(2).解析：(1)当时，，则定义域为，；当时，；当时，；在，上单调递增，在上单调递减；的极大值为；极小值为.(2)假设与相切于点，，，即，又，，即；令，则，当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减，，即有唯一解：，，解得：.18．答案：(1)；(2)证明见解析.解析：(1)依题意，设双曲线C的方程为，而点在双曲线C上，于是，双曲线C的方程为，即，所以双曲线C的标准方程为.(2)当直线斜率存在时，设直线的方程为：，设，由消去y并整理得，有，且，即且，有，又，，由，得，整理得，于是，化简得，即，解得或，均满足条件，当时，直线的方程为，直线过定点，与已知矛盾，当时，直线的方程为，直线过定点；当直线的斜率不存在时，由对称性不妨设直线的方程为：，由解得或，因此点E,F的横坐标有，即直线过定点，综上得直线过定点，由于，即点G在以为直径的圆上，H为该圆圆心，为该圆半径，所以存在定点，使为定值.19．答案：(1)，，，；(2)见解析；(3)见解析.解析：(1)因为，所以，，，所以，，，(2)（充分性）当数列是等差数列时，设其公差为d当时，，所以，所以，，当,，所以，所以，当是，，所以，所以，综上，总有所以，所以数列是等差数列（必要性）当数列是等差数列时，设其公差为d因为，根据，的定义，有以下结论：，，且两个不等式中至少有个取等号当，则必有，所以，所以是一个单调递增数列，所以，，所以所以，即为等差数列当时，则必有，所以所以是一个单调递减数