2017-2026十年高考数学专项汇编专题34 解答题压轴题综合（五大考点179题）（学生版）

1

专题34解答题压轴题综合

（五大考点，179题）

考点分类十年考情（2017-2026）命题规律

2026全国二卷、2026天津、2026

北京、2026上海、2025全国一卷、

2025天津、2025北京、2024新

课标Ⅰ、2024天津、2024北京、

2023北京、2023全国甲、2023

全国乙、2023天津、2023新课标

Ⅱ、2022天津、2022浙江、2022

新高考Ⅱ、2022全国甲、2022全

1.全卷通用核心压轴大题，各省

国乙、2022北京、2022新高考

份历年必考，区分度最高。

Ⅰ、2021天津、2021浙江、2021

2.设问分层递进，第一问基础计

考点01导数及其新高考Ⅱ、2021全国甲、2021全

算，后两问综合证明与参数范围。

应用国乙、2021新高考Ⅰ、2020天津、

3.以指对、三角复合函数为主，

2020浙江、2020海南、2020全

常用构造函数、隐零点、放缩法解

国Ⅲ、2020全国Ⅰ、2020全国

题。

Ⅱ、2019江苏、2019天津、2019

浙江、2019全国Ⅰ、2018江苏、

2018北京、2018全国Ⅲ、2018

浙江、2018全国Ⅰ、2018全国

Ⅱ、2018天津、2017天津、2017

山东、2017浙江、2017全国

Ⅲ、2017全国Ⅰ、2017全国

Ⅱ、2017江苏

1.上海卷特色压轴题型，新高考

2026全国一卷、2026上海、2025地区逐年增多。

考点02函数及其上海、2024上海、2023上海、2.题干自定义全新函数、集合、

性质2022上海、2021上海、2020江变换规则，以逻辑证明为主。

苏、2017上海3.重阅读理解与严谨推理，复杂

计算较少。

2026全国二卷、2026全国一卷、1.解答次高频压轴，椭圆、抛物

2026北京、2026天津、2026上线考查频次最高。

海、2025天津、2025上海、20252.固定考标准方程、直线联立，

考点03圆锥曲线

全国一卷、2024上海、2024全国考查定点、定值、面积、存在性。

甲、2024新课标Ⅱ、2023上海、3.计算量大，核心工具为韦达定

2023全国甲、2023全国乙、2023理、坐标代换。

1

新课标Ⅰ、2023新课标Ⅱ、2022

上海、2022浙江、2022新高考

Ⅱ、2022全国甲、2022全国乙、

2021天津、2021上海、2021全

国甲、2021全国乙、2021新高考

Ⅰ、2021新高考Ⅱ、2020上海、

2020北京、2020山东、2020全

国Ⅲ、2020全国Ⅰ、2019江苏、

2019上海、2019天津、2019全

国Ⅲ、2018北京、2018全国

Ⅰ、2018浙江、2017上海、2017

山东

2026天津、2026北京、2025天

津、2024新课标Ⅰ、2024北京、

2024天津、2024新课标Ⅱ、2023

1.北京、上海、江苏高频压轴，

北京、2023上海、2023天津、

全国卷偶尔作为最后一题。

2022天津、2022上海、2022北

2.分常规等差等比、新定义数列

考点04数列京、2021天津、2021北京、2021

两类，多小问层层递进。

上海、2020上海、2020天津、

3.侧重递推变形、计数、不等式

2020北京、2020浙江、2019江

归纳证明。

苏、2019天津、2019上海、2018

江苏、2017山东、2017浙江、

2017北京

1.新高考近年创新压轴，逐步替

代部分导数压轴位置。

2025全国二卷、2024新课标

2.题干情境化，结合体育、生物、

考点05概率统计Ⅱ、2021新高考Ⅱ、2020江苏、

试验等真实背景。

2019全国Ⅰ

3.核心考查分布列、期望、递推

型概率，兼顾实际含义解释。

考点01导数及其应用

fxxexaxbyfx0,f0

1.（2026·全国二卷·高考真题）已知函数，曲线在点处的切线方程为

y2x1．

(1)求a，b；

fxmfxm

(2)当x0时，，求m的取值范围；

1

fkxfkx2fk

(3)当x0时，，求k的最小值．

2

f(x)exsinx

2.（2026·天津·高考真题）已知3．

(1)求曲线yf(x)在点(0,f(0))处的切线方程；

1x

x,f(x)1

(2)当3时，证明3；

1111

f()f()f()f()(n1)a

*

(3)求实数a的最大可能值，使得123n对任意的nN都成立．

fxx2mx4enx1nZyfx1,f1

3.（2026·北京·高考真题）设函数，曲线在点处的切线

22

方程为4xeye80．

(1)求m，n的值；

fx

(2)求的极值点个数；

ykx1k0fx

(3)求与交点个数．

fxsinx0,0π

4.（2026·上海·高考真题）已知函数.

π

f0

fx

(1)当2，12，求函数在x0处的切线方程；

2

fxfxx0,2026π

(2)若函数的最小正周期为3π，且2在上恰好有1351个解，求的取值范围.

π

0,

5.（2025·全国一卷·高考真题）（1）求函数f(x)5cosxcos5x在区间4的最大值；

（2）给定(0,π)和aR，证明：存在y[a,a]使得cosycos；

（3）设bR，若存在R使得5cosxcos(5x)b对xR恒成立，求b的最小值．

fxax(lnx)2

6.（2025·天津·高考真题）已知函数

fx1,f1

(1)a1时，求在点处的切线方程；

fxx,x,xxxx

(2)有3个零点，123且123.

（i）求a的取值范围；

4e

lnx2lnx1lnx3

（ii）证明e1．

1

ln1x

1,,f00fxl

7.（2025·北京·高考真题）已知函数f(x)的定义域是，导函数1x，设1是

yfx

曲线在点A(a,f(a))(a0)处的切线．

(1)求f(x)的最大值；

l

(2)当1a0时，证明：除切点A外，曲线yf(x)在直线1的上方；

2ax2x1

llllxxxx

(3)设过点A的直线2与直线1垂直，1，2与x轴交点的横坐标分别是1，2，若a0，求21的

取值范围．

x

f(x)lnaxb(x1)3

8.（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数2x

(1)若b0，且f(x)0，求a的最小值；

(2)证明：曲线yf(x)是中心对称图形；

(3)若f(x)2当且仅当1x2，求b的取值范围．

fxxlnx

9.（2024·天津·高考真题）已知函数．

yfx1,f1

(1)求曲线在点处的切线方程；

fxaxxx0,

(2)若对任意成立，求实数a的值；

1

x,x0,1fxfxxx2

(3)若12，求证：1212．

fxxkln1xk0

10.（2024·北京·高考真题）设函数，直线l是曲线yfx在点t,ftt0处

的切线．

fx

(1)当k1时，求的单调区间.

0,0

(2)求证：l不经过点.

At,ftt0C0,ftO0,0ySS△

(3)当k1时，设点，，，B为l与轴的交点，ACO与ABO分别表示

2S15S

ACO与ABO的面积．是否存在点A使得△△ACOABO成立？若存在，这样的点A有几个？

（参考数据：1.09ln31.10，1.60ln51.61，1.94ln71.95）

3axb

11.（2023·北京·高考真题）设函数f(x)xxe，曲线yf(x)在点(1,f(1))处的切线方程

为yx1．

(1)求a,b的值；

1

(2)设函数g(x)f(x)，求g(x)的单调区间；

(3)求f(x)的极值点个数．

1

fxaln1x

12.（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数x．

yfx1,f1

(1)当a1时，求曲线在点处的切线方程．

fx0,

(2)若函数在单调递增，求a的取值范围．

sinxπ

fxax2,x0,

13.（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数cosx2．

fx

(1)当a1时，讨论的单调性；

fxsinx0

(2)若，求a的取值范围．

sinxπ

f(x)ax3,x0,

14.（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数cosx2

(1)当a8时，讨论f(x)的单调性；

(2)若f(x)sin2x恒成立，求a的取值范围．

1

f(x)aln(1x)

15.（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数x.

1,f1

(1)当a1时，求曲线yfx在点处的切线方程；

1

yf

(2)是否存在a，b，使得曲线x关于直线xb对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由.

fx0,

(3)若在存在极值，求a的取值范围.

11

fxlnx1

16.（2023·天津·高考真题）已知函数x2．

yfx

(1)求曲线在x2处的切线斜率；

fx1

(2)求证：当x0时，；

51

lnn!nlnnn1,nN*

(3)证明：62．

1

17.（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）（1）证明：当0x1时，xxsinxx；

fxcosaxln1x2fx

（2）已知函数，若x0是的极大值点，求a的取值范围．

fxexasinx,gxbx

18.（2022·天津·高考真题）已知a，bR，函数

yfx0,f0

(1)求曲线在处的切线方程；

yfxygx

(2)若曲线和有公共点，

（i）当a0时，求b的取值范围；

22

（ii）求证：abe．

e

f(x)lnx(x0)

19.（2022·浙江·高考真题）设函数2x．

(1)求f(x)的单调区间；

x,fx,x,fx,x,fx

(2)已知a,bR，曲线yf(x)上不同的三点112233处的切线都经过点(a,b)．证

明：

1a

0bf(a)1

（ⅰ）若ae，则2e；

2ea112ea

0ae,xxxe6e2xxa6e2

（ⅱ）若123，则13．

（注：e2.71828是自然对数的底数）

axx

20.（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知函数f(x)xee．

(1)当a1时，讨论f(x)的单调性；

(2)当x0时，f(x)1，求a的取值范围；

111

ln(n1)

222

(3)设nN，证明：1122nn．

1

f(x)ax(a1)lnx

21.（2022·全国乙卷·高考真题）已知函数x．

(1)当a0时，求f(x)的最大值；

(2)若f(x)恰有一个零点，求a的取值范围．

1

32x,fx

22.（2022·全国甲卷·高考真题）已知函数f(x)xx,g(x)xa，曲线yf(x)在点11处的切

线也是曲线yg(x)的切线．

x1

(1)若1，求a；

(2)求a的取值范围．

ex

fxlnxxa

23.（2022·全国甲卷·高考真题）已知函数x．

fx0

(1)若，求a的取值范围；

fxx,xxx1

(2)证明：若有两个零点12，则12．

fxln1xaxex

24.（2022·全国乙卷·高考真题）已知函数

yfx0,f0

(1)当a1时，求曲线在点处的切线方程；

fx1,0,0,

(2)若在区间各恰有一个零点，求a的取值范围．

x

25.（2022·北京·高考真题）已知函数f(x)eln(1x)．

(1)求曲线yf(x)在点(0,f(0))处的切线方程；

(2)设g(x)f(x)，讨论函数g(x)在[0,)上的单调性；

(3)证明：对任意的s,t(0,)，有f(st)f(s)f(t)．

x

26.（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知函数f(x)eax和g(x)axlnx有相同的最小值．

(1)求a；

(2)证明：存在直线yb，其与两条曲线yf(x)和yg(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交

点的横坐标成等差数列．

x

27.（2021·天津·高考真题）已知a0，函数f(x)axxe．

（I）求曲线yf(x)在点(0,f(0))处的切线方程：

1

（II）证明f(x)存在唯一的极值点

（III）若存在a，使得f(x)ab对任意xR成立，求实数b的取值范围．

fxx1exax2b

28.（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知函数．

（1）讨论f(x)的单调性；

（2）从下面两个条件中选一个，证明：f(x)只有一个零点

1e2

a,b2a

①22；

1

0a,b2a

②2．

fxaxbxe2(xR)

29.（2021·浙江·高考真题）设a，b为实数，且a1，函数

fx

（1）求函数的单调区间；

2fx

（2）若对任意b2e，函数有两个不同的零点，求a的取值范围；

blnbe2

xx

4fxx,x,xx221

（3）当ae时，证明：对任意be，函数有两个不同的零点1221，满足2eb.

(注：e2.71828是自然对数的底数)

fxlnaxyxfx

30.（2021·全国乙卷·高考真题）设函数，已知x0是函数的极值点．

（1）求a；

xf(x)

g(x)

gx1

（2）设函数xf(x)．证明:．

xa

f(x)x(x0)

31.（2021·全国甲卷·高考真题）已知a0且a1，函数a．

fx

（1）当a2时，求的单调区间；

（2）若曲线yfx与直线y1有且仅有两个交点，求a的取值范围．

32

32.（2021·全国乙卷·高考真题）已知函数f(x)xxax1．

fx

（1）讨论的单调性；

（2）求曲线yfx过坐标原点的切线与曲线yfx的公共点的坐标．

fxx1lnx

33.（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知函数.

1

fx

（1）讨论的单调性；

11

2e

（2）设a，b为两个不相等的正数，且blnaalnbab，证明：ab.

3

34.（2020·天津·高考真题）已知函数f(x)xklnx(kR)，f(x)为f(x)的导函数．

（Ⅰ）当k6时，

（i）求曲线yf(x)在点(1,f(1))处的切线方程；

9

g(x)f(x)f(x)

（ii）求函数x的单调区间和极值；

fxfxfxfx

1212

k3x1,x2[1,)x1x22xx

（Ⅱ）当时，求证：对任意的，且，有12．

fxexxa

35.（2020·浙江·高考真题）已知1a2，函数，其中e=2.71828…为自然对数的底数．

（Ⅰ）证明：函数yfx在(0，)上有唯一零点；

yfx(0，)

（Ⅱ）记x0为函数在上的零点，证明：

（ⅰ）a1x02(a1)；

x0

（ⅱ）x0f(e)(e1)(a1)a．

x1

36.（2020·海南·高考真题）已知函数f(x)aelnxlna．

1,f1

（1）当ae时，求曲线yfx在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；

fx1

（2）若不等式恒成立，求a的取值范围．

11

3

37.（2020·全国III卷·高考真题）设函数f(x)xbxc，曲线yf(x)在点(2，f(2))处的切线与y轴垂

直．

（1）求b．

（2）若f(x)有一个绝对值不大于1的零点，证明：f(x)所有零点的绝对值都不大于1．

x

38.（2020·全国I卷·高考真题）已知函数f(x)ea(x2).

（1）当a1时，讨论f(x)的单调性；

（2）若f(x)有两个零点，求a的取值范围.

1

x2

39.（2020·全国I卷·高考真题）已知函数f(x)eaxx.

（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；

1

（2）当x≥0时，f（x）≥2x3+1，求a的取值范围.

40.（2020·全国II卷·高考真题）已知函数f（x）=2lnx+1．

（1）若f（x）≤2x+c，求c的取值范围；

f(x)f(a)

（2）设a>0时，讨论函数g（x）=xa的单调性．

41.（2020·全国II卷·高考真题）已知函数f(x)=sin2xsin2x.

（1）讨论f(x)在区间(0，π)的单调性；

33

f(x)

（2）证明：8；

3n

n

（3）设n∈N*，证明：sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤4.

42.（2019·江苏·高考真题）设函数f(x)(xa)(xb)(xc),a,b,cR，f'(x)为f（x）的导函数．

（1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值；

（2）若a≠b，b=c，且f（x）和f'(x)的零点均在集合{3,1,3}中，求f（x）的极小值；

4

a0,0b1,c1

（3）若，且f（x）的极大值为M，求证:M≤27．

x

43.（2019·天津·高考真题）设函数f(x)lnxa(x1)e，其中aR.

fx

（Ⅰ）若a0，讨论的单调性；

1

0a

（Ⅱ）若e，

fx

（i）证明恰有两个零点

xfxxfxxx3xx2

（ii）设0为的极值点，1为的零点，且10，证明01.

44.（2019·浙江·高考真题）已知实数a0，设函数f(x)=alnxx1,x0.

3

a

（1）当4时，求函数f(x)的单调区间；

1x

x[2,)f(x),

（2）对任意e均有2a求a的取值范围.

注：e2.71828...为自然对数的底数.

1

xfx

45.（2019·天津·高考真题）设函数f(x)ecosx,g(x)为的导函数.

fx

（Ⅰ）求的单调区间；

x,f(x)g(x)x0

（Ⅱ）当42时，证明2；

2n,2n

x

（Ⅲ）设n为函数u(x)f(x)1在区间42内的零点，其中nN，证明

e2n

2nx

2nsinxcosx

00.

46.（2019·全国I卷·高考真题）已知函数f（x）=2sinx－xcosx－x，f′（x）为f（x）的导数．

（1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；

（2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．

x1

fxlnx

已知函数x1.

（1）讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；

yex

（2）设x0是f(x)的一个零点，证明曲线y=lnx在点A(x0，lnx0)处的切线也是曲线的切线.

47.（2019·全国I卷·高考真题）已知函数f(x)sinxln(1x)，f(x)为f(x)的导数．证明：

(1,)

（1）f(x)在区间2存在唯一极大值点；

（2）f(x)有且仅有2个零点．

fx,gxfx,gxxR

48.（2018·江苏·高考真题）记分别为函数的导函数．若存在0，满足

fxgxfxgxxfxgx

00且00，则称0为函数与的一个“S点”．

fxxgxx22x2

（1）证明：函数与不存在“S点”；

fxax21gxlnx

（2）若函数与存在“S点”，求实数a的值；

bex

fxx2agxfxgx

（3）已知函数，x．对任意a0，判断是否存在b0，使函数与在区

0,

间内存在“S点”，并说明理由．

2

fxax4a1x4a3x

49.（2018·北京·高考真题）设函数=[]e．

f1

（1）若曲线yfx在点（1，）处的切线与x轴平行，求a；

1

fx

（2）若在x2处取得极小值，求a的取值范围．

2x

50.（2018·北京·高考真题）设函数f(x)[ax(3a1)x3a2]e.

（Ⅰ）若曲线yf(x)在点(2,f(2))处的切线斜率为0，求a；

（Ⅱ）若f(x)在x1处取得极小值，求a的取值范围.

fx2xax2ln1x2x

51.（2018·全国III卷·高考真题）已知函数．

fx0fx0

（1）若a0，证明：当1x0时，；当x0时，；

fx

（2）若x0是的极大值点，求a．

ax2x1

fxx

52.（2018·全国III卷·高考真题）已知函数e．

y=fx0,1

（1）求曲线在点处的切线方程；

fxe0

（2）证明：当a1时，．

53.（2018·浙江·高考真题）已知函数f(x)xlnx．

xx,xxxfxfx88ln2

（1）若f(x)在1212处导数相等，证明：12；

（2）若a34ln2，证明：对于任意k0，直线ykxa与曲线yf(x)有唯一公共点．

fxaexlnx1

54.（2018·全国I卷·高考真题）已知函数．

fxfx

（1）设x=2是的极值点．求a，并求的单调区间；

1

afx0

（2）证明：当e时，．

fxexax2

55.（2018·全国II卷·高考真题）已知函数．

fx1

（1）若a=1，证明：当x0时，；

fx

（2）若在(0,)只有一个零点，求a的值.

fxaxgxlogx

56.（2018·天津·高考真题）已知函数，a，其中a>1.

hxfxxlna

（I）求函数的单调区间；

yfxx,fxygxx,gx

（II）若曲线在点11处的切线与曲线在点22处的切线平行，证明：

1

2lnlna

x1gx2

lna；

1

eygx

（III）证明：当ae时，存在直线l，使l是曲线yfx的切线，也是曲线的切线.

1

f(x)xalnx

57.（2018·全国I卷·高考真题）已知函数x．

（1）讨论f(x)的单调性；

fxfx

12a2

x,xxx

（2）若f(x)存在两个极值点12，证明：12．

fx=(xt)xtxtt,t,tRt,t,t

58.（2018·天津·高考真题）设函数123，其中123,且123是公差为d的等差

数列.

t0,d1,yfx0,f0

（I）若2求曲线在点处的切线方程；

fx

（II）若d3，求的极值；

yxt63

（III）若曲线yfx与直线2有三个互异的公共点，求d的取值范围.

59.（2017·全国III卷·高考真题）已知函数f(x)x1alnx．

（1）若f(x)0，求a的值；

111

(1)(1)(1)m

2n

（2）设m为整数，且对于任意正整数n，222，求m的最小值．

fxae2xa2exx

60.（2017·全国I卷·高考真题）已知函数

fx

（1）讨论的单调性；

fx

（2）若有两个零点，求a的取值范围.

32x

61.（2017·天津·高考真题）设a,bR，|a|1.已知函数f(x)x6x3a(a4)xb，g(x)ef(x).

（Ⅰ）求f(x)的单调区间；

yg(x)yex

（Ⅱ）已知函数和的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，

xx

（i）求证：f(x)在0处的导数等于0；

g(x)ex[x1,x1]

（ii）若关于x的不等式在区间00上恒成立，求b的取值范围.

432

62.（2017·天津·高考真题）设aZ，已知定义在R上的函数f(x)2x3x3x6xa在区间(1,2)内

1

x

有一个零点0，g(x)为f(x)的导函数.

（Ⅰ）求g(x)的单调区间；

m[1,x)(x,2]h(x)g(x)(mx)f(m)h(m)h(x)0

（Ⅱ）设00，函数0，求证：0；

pp1

[1,x)(x,2],|x|

0004

（Ⅲ）求证：存在大于0的常数A，使得对于任意的正整数p,q，且q满足qAq.

fxx22cosxgxexcosxsinx2x2

63.（2017·山东·高考真题）已知函数，，其中

e2.71828是自然对数的底数.

,f

（Ⅰ）求曲线yfx在点处的切线方程；

hxgxafxaRhx

（Ⅱ）令，讨论的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.

xx1xxln1xnN

64.（2017·浙江·高考真题）已知数列n满足：1，nn1n1

*

证明：当nN时，

0xx

（I）n1n；

xnxn1

2xn1xn

（II）2；

11

n1xnn2

（III）22.

x1

fxx-2x-1ex

65.（2017·浙江·高考真题）已知函数2

fx

（I）求的导函数

1

，+

fx

（II）求在区间2上的取值范围

2

66.（2017·全国III卷·高考真题）已知函数f(x)lnxax(2a1)x.

（1）讨论f(x)的单调性；

3

f(x)2

（2）当a0时，证明4a.

11

fxx3ax2,aR

67.（2017·山东·高考真题）已知函数32.

3,f3

(I)当a=2时,求曲线yfx在点处的切线方程；

gxfxxacosxsinxgx

(II)设函数,讨论的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.

1

fxax2axxlnx,fx0

68.（2017·全国II卷·高考真题）已知函数