新北师大版11集合学案

=第一章预备知识

第一节集合

【考试要求】，了解全集与空集的含义，，能识别给定集合的子集3理解两个集合的井集、

交集与补集的含义,会求两个简单集合的并集与交集,会求给定子集的补集.4.能用自然语言、

图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题，能使用韦恩(Venn)图表达集合

的基本关系及集合的基本运算.

夯实•主干知识知识诊断基础夯实▼

■知识梳理回顾知识

1.集合的基本概念

(1)集合的概念：一般地，我们把指定的某些对象的全体成为集合.通常用大写英文字

母A,B,C,…表示.集合中的每个对象叫作这个集合的元素.通常用小写英文字母“，儿

c,…表示.

(2)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.

(3)元素与集合的关系是属于与不属于,用符号且与里表示.

(4)集合的表示法：列举法、描述法、图示法.

(5)常见数集的记法

集合非负整数集(或自然数集)正整数集整数集有理数集实数集

符号NN+（或N+）ZQR

(1)子集：如果集合4的每个元素都是集合8的元素,就说A包含于B,或者说B包含

A.若4包含于B则称4是8的一个子集，记作AU8或83A

(2)真子集：如果AUB但AW8,就说A是8的真子集，记作A8或8A

(3)集合相等：如果AU3并且就说两个集合皿签，记作A=8.

(4)空集：不含任何元素的集合，空集是任四金的子集，是任何非空集合的真子集.

3.集合的基本运算

文字语言集合语言图形语言记法

把集合A、B中的元素放在一

并集{小或xWB}

起组成的集合，叫做A和4的8

并集，简称为并

把所有既属于4又属于，的元

交集素组成的集合，称为A，B的{小5,且x£4}4G8

交集

若4是全集U的子集，U中丕

补集属于A的元素组成的集合叫作{x\x^U,且彼A}U0

A的补集

［常用结论］

1.若有限集人中有八个元素，则人的子集有2"个，真子集有2"—1个，非空真子集有

2.ACBOAP8=AOAU8=80[以㈡An(C(/B)=0.

3.[iX/\nB)=([M)U(C^),[MAU4)=([uA)G(「〃).

「■诊断自测激活技能

［思考辨析］

判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)

⑴任何一个集合都至少有两个子集.()

⑵3)，=*+1}={)，|)，=/+1}={(g如=f+i).()

⑶若1£，，x},则工=-1或x=l.()

(4)对任意集合A,B,都有(AH8)Q(AU8).()

答案：(1)X(2)X(3)X(4)7

［对点查验］

1.若集合A={xWN［xW近赤},a=4y/2,则下面结论中正确的是()

A.{a}QAB.aQA

C.{a}^AD.演A

答案D

2.(2022・新高考H卷汜知集合A={-1,1,2,4),8={x||x—l|Wl},则AG3=()

A.{-1,2}B.{1,2}

C.{I,4}D.{-I,4}

B8={x|0W%W2},故AAB={1,2},故选B.

3.设全集U=R,集合A={x|0WxW2},8={y|lW)W3},则((M)U3=

答案(一8,O)UIL4-oo)

解析因为[(4={小＞2或xvO},B={y|lWyW3},所以(1M)U8=(-8,0)U[i,4-

3).

4.已知集合人={-2,-1,0,1,2},8={M-1W%W1},则AG8中的元素个数为（）

A.2B.3

C.4

B因为A={-2,-I,0,1,2},—IWXWI},所以八08={—1,0,I),所

以AH3中的元素个数为3个.故选B.

5.已知集合M={#一。=0},N={川g-I=0},若MCN=M则实数a的值是.

答案0或1或一1

解析易得M={a}.,：MCN=N,:.NNM,:.N=0^N=M,・••〃=()或〃=±1.

探究•核心考点考点突破更难解惑▼

考点一集合的基本概念

1.（2022•江苏常州模拟预测）已知集合4=设，），）*+尸=4},B={（x,y）|,y=小x+4},

则ACI8中元素的个数为（）

C.2D.3

B•・•集合A={(x,j)|f+尸=4},

8={(x,y)ly=y/3x+4},

把)，=5x+4代入》+产=4,得f+2小工+3=0,即4=一小，有唯一解，故集合

AABB.

2.(多选题)已知集合{M〃?f—2x+l=0}={〃},则川+〃的值可能为()

A.0B.；

C.1D.2

BD因为集合{切/-2x+l=()}={〃},

「〃件0,

A=4-4"?=0,

所以

-2

m=0,

解得1

所以/”+〃=；或〃?+〃BD.

3.（2022・上海模拟预测）已知集合4={1,2,3},B={1,m,〃},若3f£4,〃+U,

则非零实数次+〃的可能取值集合是.

答案{2}

因为集合A={x|-2WxW7},B={x|m+1WxW2m-1},

则tuB={小V/«+1或x>2m—1},

又则/"+1>7或2机一1V—2,

解得m>6或m<,又〃?22,所以"?>6;

②当8=0时，则巾+1>2〃?一1,即，〃V2,此时［通=R,符合题意.

综上所述，实数m的取值范围为m>6或m<2.

思维升华（］）空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，

否则易造成漏解.

（2）已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，

进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题.

对点强化1（1）（2022•全国高三专题练习）设集合A={x|log2（x-1）<2},8={中<5},则

（）

A.A=BB.BQA

C.AGBD.AHB=0

C由Iog2（，v-l）v2,得（KL1<4,即则人={川<丫<5}.，：B={x\x<5},：.AQ

13,故选C.

（2）（2022•全国三模）若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；若

两个集合有公共元素，且互不为对方子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合4=

{一1，2},8={44=2,心0},若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则。的取值

集合为.

答案{o,1,2}

解析当〃=0时，B=0,此时满足8墨A,

当。>0时，B=［一卷,,此时4,8集合只能是“蚕食”关系，所以当A,B

集合有公共元素一=—1时，解得。=2,

当A,8集合有公共元素=2时，解得,故。的取值集合为{（）,1,2.

考点三集合的基本运算

命题点1集合的运算

45蛔⑴（2022・新高考I卷诺集合加={.小「<4）,N=*|3x21},则MAN=（）

A.{x|0Wx<2}B.{.《Wx<2}

C.33Wx<16］D.{.rgWx<16}

D集合M={x|(X<16},集合"={小*},M〉N={£WXV16}・故选D.

(2)(2022•南京模拟预测)(多选题)已知M、N均为实数集R的了•集，且Nn(gW)=0,

则下列结论中正确的是()

A.Mn([RAO=0

B.MU([RM=R

C.(CRM)U([R/V)=[RM

D.([RM)n([R;V)=[RM

BDV/VA(CRM)=0,:,NJM,若N是M的其子集，则MACRN)#。，故A错误；

由NUM可得MU([RN)=R,故B正确：由NQM可得；RN2(RM,故C错误，D正确.故

选BD.

命题点2利用集合的运算求参数的值(范围)

、例的已知集合A=b*—3xv0},B={1,〃},且A08有4个子集，则实数。的取值

范围是()

A.(0,3)B.(0,1)J(1,3)

C.(0,1)D.(一8,1)U(3,+8)

B因为AC8有4个子集，所以AC18中有2个不同的元素，所以所以〃2—3火0,

解得所以实数a的取值范围是(0,1)U(1,3),故选B.

(2)(2022•河南月考)已知集合A={x|f+x-2V0},8={小+m>0},且AUB=(-2,+

8),则,”的取值范围为()

A.[-1,2JB.[-2,1]

C.(一1,2]D.[-2,1)

CA={X*+L2V0}=3—2VXV1},•・・8={世+〃?>0}={小>一加},4UB=L2,

+8),.・._2W—mVl,・・・-1V〃IW2,・•・〃？的取值范围为(-1,2].故选C.

思维升华(1)对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用Venn图

表示；如果集合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况.

(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，能简化运算.

对点强化2(1)(2022•全国甲卷)设全集U={2,1,0,I,2,3},集分A={L2},

8={选-4x+3=0},贝IJ[MAU8)=()

A.{1,3}B.{0,3(

C.{-2,1}D.{-2,0}

D由8={液-4X+3=0}={1,3},AUB={-L1,2,3},所以[认人UA)={-2,

0},故选D.

(2)(2022・河南模拟预测)已知集合A=<x，3={川『-3+1)2工+24(。2+1)

<0},若An8=0,则实数。的取值范围是（）

A.（2,+8）B.{1}U（2,+00）

C.{1}U[2,+8）D.[2,+8）

4x

C由题意A=1x=（—1,4],4=lx*—（〃+1）21+2。（序+1）<0}=

•4I1

{x|（x-2fl）[A-（«2+1）]<0},

当6=。时，2d=d24-1,即〃=1,符合题意；当即〃4=1时，4=（2.,标+1）,

则有2〃24或〃+iw-i,即〃22,综上，实数a的取值范围为{1}U[2,+~）.故选C.

考点四集合的新定义问题

，例口（1）（2022•北京房山一模）已知U是非实数集，若非空集合A，4满足以下三个条

件，则称（4,A》为集合U的一种真分拆，并规定（A]，A?）与（Th，4）为集合U的同-•种真

分拆，

①4CA2=。

②A|UA2=U

③A（i=l,2）的元素个数不是4中的元素.

则集合U={l,2,3.4,5,6}的真分拆的种数是（）

A.5B.6

C.10D.15

A由题意，集合U={1,2,3,4,5,6}的真分拆有4={5},A2={1,2,3,4,

6};4i={1,4},42={2,3,5,6}；4={3,4},A2={h2,5,6}；AI={4,5},

Ai=[1,2,3,6}；Ai={4,6},A2={U2,3,5）,共5种，故选A.

（2）（2022•山东临沂月考）定义集合栗={p|aW〃Wb}的“长度”是二一小其中a,b£R.已

1

+-〃一,，且M,N都是集合{x|lWxW2}的子集,

知集合M=%2,N=\x

那么集合MC1N的“长度”的最小值是

解析集合M=xmWxW/〃+,N={x〃一]，且M,N都是集合{.巾W大W2}

3

-

的子集，由2W〃W2.易知集合MCN的

“长度”的最小值是力=*.

思维升华解决集合新定义问题的关键

（1）准确转化：解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义,

结合题目所给定义，结合题目的要求进行恰当转化，切忌同已有概,念或定义相混淆.

(2)从新定义出发，结合集合的性质求解，提升逻辑推理核心素养.

对点强化3(1)(2022.全国模拟)用C(4)表示非空集合A中元素的个数，定义A*8=

C(A)-C(B),C(A)2c(B)

C(B)~C(A),C(A)<C(B)

已知集合4={.很2+工=0},B