2026年江苏省高考数学一轮复习立体几何测试题库试卷

2026年江苏省高考数学一轮复习立体几何测试题库试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在空间直角坐标系中，点A（1，2，3）到平面α：x-y+z=1的距离为（）A.1B.√3C.√6D.2√3解析：点A到平面α的距离公式为d=|Ax₀-y₀+z₀+d|/√(A²+B²+C²)，代入A(1,2,3)和平面方程得d=|1-2+3-1|/√(1+1+1)=√3，故选B。2.已知直线l：x=2与平面α：x-y+2z=1的位置关系是（）A.平行B.相交于一点C.直线在平面内D.垂直解析：直线l的方向向量为(0,0,1)，平面α的法向量为(1,-1,2)，两向量点积为0，故直线与平面垂直，选D。3.过点P（1，0，-1）且与平面α：2x+y-z=3垂直的直线方程为（）A.x=1，y=0B.x-1=2(y-0)，z+1=-1(y-0)C.x-1=y，y=-zD.x-1=2(y-0)，z+1=-(y-0)解析：垂直平面的直线方向向量与法向量相同，即(2,1,-1)，参数方程为x=1+2t，y=0+t，z=-1-t，化为对称式为x-1=2(y-0)，z+1=-(y-0)，选D。4.已知三棱锥D-ABC的顶点D在底面ABC上的射影为△ABC的重心，若AD=2，△ABC的面积为4，则三棱锥D-ABC的体积为（）A.1B.2C.3D.4解析：重心将中线分为2:1，底面面积4，高为2/3中线，中线长为2√3，高为2/3×2√3=4√3/3，体积V=1/3×4×4√3/3=16√3/9≈3，选C。5.在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E为棱BB₁的中点，点F为棱CC₁的中点，则直线AE与平面B₁C₁CD的位置关系是（）A.平行B.相交于一点C.直线在平面内D.垂直解析：平面B₁C₁CD的法向量为(0,1,0)，向量AE=(1,1,-1)，点积为1≠0，故相交，选B。6.已知异面直线a：x+y=1，z=0和b：x-y=2，z=1，则a与b之间的距离为（）A.√2B.√3C.√5D.2√2解析：公垂线方向向量为(1,1,0)×(1,-1,1)=(1,-1,-2)，取a上点(1,0,0)，b上点(0,2,1)，向量(1,2,-1)在公垂线方向上的投影长为|1×1-1×(-1)-2×(-2)|/√6=√5，选C。7.已知平面α与平面β的夹角为60°，它们的交线为l，若点A在平面α上，点B在平面β上，且AB=2，则点A到直线l的距离为（）A.1B.√3C.√2D.2√3解析：作BO⊥l于O，AO⊥l，则∠AOB=60°，AO=ABcos60°=1，BO=ABsin60°=√3，AO与BO垂直，故AO=√(AB²-BO²)=√(4-3)=1，选A。8.已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面ABC是边长为2的等边三角形，侧棱AA₁⊥底面ABC，AA₁=2，则点A₁到平面BCC₁B₁的距离为（）A.√3B.2C.√7D.3解析：平面BCC₁B₁的法向量为(0,√3,1)，点A₁(0,0,2)，距离为|0×0+√3×0+1×2|/√(0+3+1)=1，选B。9.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，则点P到平面ACD的距离为（）A.1B.√2C.√3D.2解析：平面ACD的法向量为(1,1,0)，点P(0,0,2)，距离为|1×0+1×0+0×2|/√2=0，选A。10.已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为2，侧棱长为√3，则侧面与底面的夹角为（）A.30°B.45°C.60°D.90°解析：侧面高为√(√3²-1²)=√2，夹角cosθ=1/√3=√3/3，θ=30°，选A。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知直线l：x=1与平面α：x+y+z=1平行，则直线l到平面α的距离为______。参考答案：√3/√3=1解析：平面法向量为(1,1,1)，直线方向向量为(0,0,1)，点积为1≠0，故平行，距离为原点到平面的距离，即|1+0+0-1|/√3=1/√3。2.在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E为棱AA₁的中点，点F为棱BB₁的中点，则异面直线AE与CF所成的角为______。参考答案：90°解析：向量AE=(1,0,-1)，CF=(1,1,-1)，点积为1×1+0×1+(-1)×(-1)=0，故垂直，所成角为90°。3.已知三棱锥D-ABC的顶点D在底面ABC上的射影为△ABC的垂心，若AD=3，△ABC的面积为6，则三棱锥D-ABC的体积为______。参考答案：2√3解析：垂心到顶点距离为2/3中线，中线长为2√3，高为2/3×2√3=4√3/3，体积V=1/3×6×4√3/3=8√3/3≈2√3。4.已知平面α与平面β的夹角为45°，它们的交线为l，若点A在平面α上，点B在平面β上，且AB=√2，则点A到直线l的距离为______。参考答案：1解析：作BO⊥l于O，AO⊥l，∠AOB=45°，AO=ABcos45°=1，AO与BO垂直，AO=√(AB²-BO²)=√(2-1)=1。5.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥平面ABCD，PA=2，则点P到平面ACD的距离为______。参考答案：2√2/2=√2解析：平面ACD的法向量为(1,1,0)，点P(0,0,2)，距离为|1×0+1×0+0×2|/√2=0，选A。6.已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为3，侧棱长为√7，则侧面与底面的夹角为______。参考答案：60°解析：侧面高为√(√7²-1.5²)=√(7-2.25)=√4.75≈2.5，夹角cosθ=1.5/√7≈0.6，θ=60°。7.已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面ABC是边长为3的等边三角形，侧棱AA₁⊥底面ABC，AA₁=3，则点A₁到平面BCC₁B₁的距离为______。参考答案：3√2/2解析：平面BCC₁B₁的法向量为(0,√3,1)，点A₁(0,0,3)，距离为|0×0+√3×0+1×3|/√(0+3+1)=3/2√2=3√2/2。8.已知异面直线a：x+y=1，z=0和b：x-y=2，z=1，则a与b之间的距离为______。参考答案：√5解析：公垂线方向向量为(1,1,0)×(1,-1,1)=(1,-1,-2)，取a上点(1,0,0)，b上点(0,2,1)，向量(1,2,-1)在公垂线方向上的投影长为|1×1-1×(-1)-2×(-2)|/√6=√5。9.在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E为棱CC₁的中点，点F为棱DD₁的中点，则异面直线AE与CF所成的角为______。参考答案：60°解析：向量AE=(1,1,0)，CF=(1,1,-1)，点积为1×1+1×1+0×(-1)=2，模长均为√2，夹角cosθ=2/(√2×√2)=1，θ=60°。10.已知平面α与平面β的夹角为30°，它们的交线为l，若点A在平面α上，点B在平面β上，且AB=2√3，则点A到直线l的距离为______。参考答案：√3解析：作BO⊥l于O，AO⊥l，∠AOB=30°，AO=ABcos30°=3，AO与BO垂直，AO=√(AB²-BO²)=√(12-9)=√3。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若直线l与平面α垂直，则直线l与平面α内的所有直线都垂直。（√）解析：直线垂直平面意味着与平面法向量共线，故与平面内所有直线垂直。2.若三棱锥D-ABC的顶点D在底面ABC上的射影为△ABC的重心，则三棱锥D-ABC的体积一定等于三棱锥D-ABC的任意一个侧面为底面的三棱锥的体积。（×）解析：重心将中线分为2:1，但不同侧面底面面积不同，体积不同。3.若异面直线a与b的距离为d，则存在唯一一条直线同时垂直于a与b。（×）解析：公垂线方向向量需同时垂直a与b，但公垂线有无数条平行线。4.若正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E为棱AA₁的中点，点F为棱BB₁的中点，则异面直线AE与CF所成的角为60°。（√）解析：向量AE=(1,1,0)，CF=(1,1,-1)，点积为2，模长均为√2，夹角cosθ=2/(√2×√2)=1，θ=60°。5.若平面α与平面β的夹角为θ，则θ的取值范围是[0°，90°]。（×）解析：夹角可大于90°，如两平面平行时夹角为0°，垂直时为90°。6.若直线l与平面α平行，则直线l与平面α内的所有直线都平行或异面。（√）解析：直线与平面平行意味着与平面法向量垂直，故与平面内所有直线平行或异面。7.若三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面ABC是边长为2的等边三角形，侧棱AA₁⊥底面ABC，AA₁=2，则点A₁到平面BCC₁B₁的距离为√3。（×）解析：平面BCC₁B₁的法向量为(0,√3,1)，点A₁(0,0,2)，距离为|0×0+√3×0+1×2|/√4=1，不是√3。8.若正四棱锥P-ABCD的底面边长为2，侧棱长为√3，则侧面与底面的夹角为45°。（×）解析：侧面高为√(√3²-1²)=√2，夹角cosθ=1/√3≈0.6，θ≈60°。9.若异面直线a：x+y=1，z=0和b：x-y=2，z=1，则a与b之间的距离为√10。（×）解析：公垂线方向向量为(1,1,0)×(1,-1,1)=(1,-1,-2)，取a上点(1,0,0)，b上点(0,2,1)，向量(1,2,-1)在公垂线方向上的投影长为|1×1-1×(-1)-2×(-2)|/√6=√5。10.若平面α与平面β的夹角为60°，它们的交线为l，若点A在平面α上，点B在平面β上，且AB=2，则点A到直线l的距离为√3。（√）解析：作BO⊥l于O，AO⊥l，∠AOB=60°，AO=ABcos30°=√3，AO与BO垂直，AO=√(AB²-BO²)=√(4-3)=1。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E为棱CC₁的中点，点F为棱DD₁的中点，求异面直线AE与CF所成的角。解：向量AE=(1,1,0)，CF=(1,1,-1)，点积为2，模长均为√2，夹角cosθ=2/(√2×√2)=1，θ=60°。2.已知三棱锥D-ABC的顶点D在底面ABC上的射影为△ABC的垂心，若AD=3，△ABC的面积为6，求三棱锥D-ABC的体积。解：垂心到顶点距离为2/3中线，中线长为2√3，高为2/3×2√3=4√3/3，体积V=1/3×6×4√3/3=8√3/3≈2√3。3.已知平面α与平面β的夹角为45°，它们的交线为l，若点A在平面α上，点B在平面β上，且AB=√2，求点A到直线l的距离。解：作BO⊥l于O，AO⊥l，∠AOB=45°，AO=ABcos45°=1，AO与BO垂直，AO=√(AB²-BO²)=√(2-1)=1。4.已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥平面ABCD，PA=2，求点P到平面ACD的距离。解：平面ACD的法向量为(1,1,0)，点P(0,0,2)，距离为|1×0+1×0+0×2|/√2=0，选A。5.已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为3，侧棱长为√7，求侧面与底面的夹角。解：侧面高为√(√7²-1.5²)=√(7-2.25)=√4.75≈2.5，夹角cosθ=1.5/√7≈0.6，θ=60°。6.已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面ABC是边长为3的等边三角形，侧棱AA₁⊥底面ABC，AA₁=3，求点A₁到平面BCC₁B₁的距离。解：平面BCC₁B₁的法向量为(0,√3,1)，点A₁(0,0,3)，距离为|0×0+√3×0+1×3|/√4=3/2√2=3√2/2。7.已知异面直线a：x+y=1，z=0和b：x-y=2，z=1，求a与b之间的距离。解：公垂线方向向量为(1,1,0)×(1,-1,1)=(1,-1,-2)，取a上点(1,0,0)，b上点(0,2,1)，向量(1,2,-1)在公垂线方向上的投影长为|1×1-1×(-1)-2×(-2)|/√6=√5。8.已知平面α与平面β的夹角为30°，它们的交线为l，若点A在平面α上，点B在平面β上，且AB=2√3，求点A到直线l的距离。解：作BO⊥l于O，AO⊥l，∠AOB=30°，AO=ABcos30°=3，AO与BO垂直，AO=√(AB²-BO²)=√(12-9)=√3。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E为棱AA₁的中点，点F为棱BB₁的中点，求异面直线AE与CF所成的角。解：向量AE=(1,1,0)，CF=(1,1,-1)，点积为2，模长均为√2，夹角cosθ=2/(√2×√2)=1，θ=60°。2.在三棱锥D-ABC中，顶点D在底面ABC上的射影为△ABC的垂心，若AD=4，△ABC的面积为8，求三棱锥D-ABC的体积。解：垂心到顶点距离为2/3中线，中线长为2√6，高为2/3×2√6=4√6/3，体积V=1/3×8×4√6/3=32√6/9≈8√6/3。3.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为3的正方形，PA⊥平面ABCD，PA=3，求点P到平面ACD的距离。解：平面ACD的法向量为(1,1,0)，点P(0,0,3)，距离为|1×0+1×0+0×3|/√2=0，选A。4.在正四棱锥P-ABCD中，底面边长为4，侧棱长为√17，求侧面与底面的夹角。解：侧面高为√(√17²-2²)=√(17-4)=√13，夹角cosθ=2/√17≈0.49，θ≈60°。5.在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC是边长为4的等边三角形，侧棱AA₁⊥底面ABC，AA₁=4，求点A₁到平面BCC₁B₁的距离。解：平面BCC₁B₁的法向量为(0,2√3,1)，点A₁(0,0,4)，距离为|0×0+2√3×0+1×4|/√(0+12+1)=4/√13≈2.55。6.已知异面直线a：x+y=1，z=0和b：x-y=2，z=1，求a与b之间的距离。解：公垂线方向向量为(1,1,0)×(1,-1,1)=(1,-1,-2)，取a上点(1,0,0)，b上点(0,2,1)，向量(1,2,-1)在公垂线方向上的投影长为|1×1-1×(-1)-2×(-2)|/√6=√5。7.在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E为棱CC₁的中点，点F为棱DD₁的中点，求异面直线AE与CF所成的角。解：向量AE=(1,1,0)，CF=(1,1,-1)，点积为2，模长均为√2，夹角cosθ=2/(√2×√2)=1，θ=60°。8.在平面α与平面β的夹角为60°，它们的交线为l，若点A在平面α上，点B在平面β上，且AB=4，求点A到直线l的距离。解：作BO⊥l于O，AO⊥l，∠AOB=60°，AO=ABcos30°=2√3，AO与BO垂直，AO=√(AB²-BO²)=√(16-12)=2。【标准答案及解析】一、单项选择题1.B2.D3.D4.B5.B6.C7.A8.B9.A10.A解析：1.距离公式；2.方向向量与法向量垂直；3.直线方向向量；4.体积公式；5.平行与垂直判定；6.异面直线距离公式；7.点到直线距离公式；8.体积公式；9.点到平面距离公式；10.夹角公式。二、填空题1.112.90°13.2√314.115.√216.60°17.3√2/218.√519.60°20.√3解析：11.平行距离公式；12.向量垂直；13.体积公式；14.点到直线距离公式；15.法向量与点积；16.夹角公式；17.法向量与点积；18.异面直线距离公式；19.向量夹角；20.点到直线距离公式。三、判断题1.√22.×23.×24.√25.×26.√27.×28.×29.×30.√解析：21.直线垂直平面性质；22.三棱锥体积关系；23.公垂线性质；24.向量夹角；25.平面夹角定义；26.直线平行平面性质；27.点到平面距离公式；28.夹角公式；29.异面直线距离公式；30.点到直线距离公式。四、简答题1.60°；向量AE=(1,1,0)，CF=(1,1,-1)，点积为2，模长均为√2，夹角cosθ=2/(√2×√2)=1，θ=60°。2.2√3；垂心到顶点距离为2/3中线，中线长为2√3，高为2/3×2√3=4√3/3，体积V=1/3×6×4√3/3=8√3/3≈2√3。3.1；作BO⊥l于O，AO⊥l，∠AOB=45°，AO=ABcos45°=1，AO与BO垂直，AO=√(AB²-BO²)=√(2-1)=1。4.0；平面ACD的法向量为(1,1,0)，点P(0,0,2)，距离为|1×0+1×0+0×2|/√2=0。5.60°；侧面高为√(√7²-1.5²)=√(7-2.25)=√4.75≈2.5，夹角cosθ=1.5/√7≈0.6，θ=60°。6.3√2/2；平面BCC₁B₁的法向量为(0,√3,1)，