2026-2027学年第四章整式的加减-整式中的规律探究问题重点题型梳理专题练上学期七年级上册数学人教版（2024）（含答案）

/第四章整式的加减--整式中的规律探究问题重点题型梳理专题练2026-2027学年上学期初中数学人教版（2024）七年级上册一、数字类规律探究问题1．观察下面一列数，按某种规律在横线上填上适当的数：，，，，…，第8个数是；则第个数是．2．若x是不等于1的有理数，我们把称为x的差倒数．如：2的差倒数是，的差倒数为，现已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，．．．，依次类推，则．3．观察下列三行数，根据规律解决下列问题：第一行：1，，5，，9，，13，，第二行：0，，4，，8，

，12，，第三行：2，，10，，18，，26，，(1)第一行第9个数为________，第二行第9个数为________，第三行第9个数为________；(2)取每行中第10个数，求三个数之和；(3)若每行都取第个数，是否存在这样的，使得这三个数之和为99？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．4．观察是数学抽象的基础，在数学探究学习中，我们要善于通过观察发现规律，进而解决问题．请你擦亮眼睛，开动脑筋，解答下列问题．(1)观察下列等式：，，，根据发现的规律：①写出第6个等式是________________________，第n个等式是______________________________；②计算：；(2)思考运用以上方法计算：的值．5．观察图，解答下列问题．(1)图中的小圆圈被折线隔开分成六层，第一层有1个小圆圈，第二层有3个圆圈，第三层有5个圆圈，…，第六层有11个圆圈．如果要你继续画下去，那么第9层有_______个小圆圈？(2)数图中的圆圈个数可以有多种不同的方法．比如：前两层的圆圈个数和为或，由此得，．同样，由前三层的圆圈个数和得：，由前四层的圆圈个数和得：．由前五层的圆圈个数和得：．根据上述请你猜测，从1开始的n个连续奇数之和是______（用n的代数式表示）；(3)计算：_________；(4)计算：．二、图形类规律探究问题6．摆一摆，找规律(1)请画出第⑥个图形；(2)摆第7个图形需要用______根小棒；(3)摆第个图形需要用______根小棒．7．如图，这是一类物质结构组成的式子，第1个结构式中有1个和4个，分子式是；第2个结构式中有2个和6个，分子式是；第3个结构式中有3个和8个，分子式是按照此规律，回答下列问题．(1)第5个结构式的分子式是______．(2)第个结构式的分子式是______．(3)试通过计算说明分子式是的物质构成符合上述构成规律吗？8．如图，每个图案均是由长度相等的木棒按一定的规律拼接而成的，第个图案需要根木棒，第个图案需要根木棒，第个图案需要根木棒，第个图案需要根木棒，……依据此规律，继续拼接图案．(1)第个图案需要木棒根，第个图案需要木棒（用含n的式子表示）根．(2)若要摆出第个图案，则所需木棒的根数是多少？9．如图所示，是用图形“”和“”按一定规律摆成的“小屋子”．(1)按照此规律继续摆下去，第7个“小屋子”中图形“”的个数为______个，“”的个数为______个；(2)按照此规律继续摆下去，第几个“小屋子”中图形“”的个数是图形“”的个数的4倍？10．有一张菱形纸片，其一个内角为60°，取菱形纸片的四边和短对角线的中点，按“8”字形顺次连接各点，形成两个小三角形，这两个小三角形组成的图形简称“沙漏形”，如图（1），将“沙漏形”挖去，对剩下纸片中的菱形纸片重复上述操作，得到如图（2）所示的图形……设图（n）中的“沙漏形”的个数为（n为正整数）．观察以上图形，解答下列问题：(1)填空：，（用含n的式子表示）：(2)当n的值为多少时，的值开始大于2025．综合练一、单选题1．按一定规律排列的多项式：，，，，，…，第n个多项式是（

）A． B． C． D．2．观察下面的一列单项式：、、、、、…，根据其中的规律得出的第9个单项式是（

）A． B． C． D．3．按一定规律排列的多项式：，，，，，，…，根据上述规律，则第n个多项式是（）A． B．C． D．4．以下是一组按一定规律排列的多项式：，，，，，…，则第n个多项式是（

）A． B． C． D．5．观察一组单项式：．根据你发现的规律，第个单项式应该是（

）A． B． C． D．6．已知多项式与多项式的次数相同，则多项式的值为（

）A．100 B． C．50 D．7．有一组按一定规律排列的多项式：，，，，，，根据上述规律，则第个多项式为（

）A． B．C． D．8．找出图形变化的规律，则第2022个图形中黑色正方形的数量是（

）A．2019 B．2022 C．3029 D．3033二、填空题9．按一定规律，，，，则第个单项式是．10．观察下列多项式：，，，，…，按此规律，则可得到第2023个多项式是．11．按一定规律排列的单项式：，，，，，则第个单项式是．12．观察下列单项式：根据摆放规律，从第2024个单项式到第2025个单项式的箭头是．（填→、↑、←、↓）13．已知多项式……，，该多项式的第7项为，用字母a、b和n表示多项式第n项．（n为正整数）14．如图，下列图案是由边长相等的黑、白两色正方形按一定规律拼接而成的，则第个图案中白色正方形的个数比黑色正方形的个数多个．三、解答题15．观察下列一串单项式的特点：，，，，，(1)按此规律写出第9个单项式；(2)试猜想第个单项式为多少？16．观察下列单项式：，，，，，，，，写出第个单项式，为了解决这个问题，特提供下面的解题思路．(1)这组单项式的系数依次为多少，系数的绝对值的规律是什么？(2)这组单项式的次数的规律是什么？(3)请你根据上面的归纳猜想出第个单项式．(4)请你根据猜想，写出第2023个，第2024个单项式．

答案一、数字类规律探究问题1．解：观察数据的规律可知：分子的规律是连续的奇数即，分母是、、、，且奇数项是负数，偶数项是正数即，则第个数是，第8个数是，故答案为：，．解：根据差倒数的定义可得出：，，，，，由此发现该组数每3个一循环．，．故答案为：4．（1）解：第一行的规律是，，，于是得到第n个数为，第二行的规律是，，，于是得到第n个数为；根据题意，得，，，于是得到第三行第n个数为，当时，，，，故答案为：17，16，34．（2）解：当时，，，，故．（3）解：根据题意，得，整理，得，即，当n为偶数时，，解得，不符合题意；当n为奇数时，，解得，符合题意；故存在，且n为13．（1）解：①∵，，，∴第6个等式是：；第n个等式是：；故答案为：，；②原式；（2）解：原式．（1）解：第一层有1个小圆圈，第二层有3个圆圈，第三层有5个圆圈，…，依此规律：每一层小圆圈个数是连续的奇数，第n层有个小圆圈，∴∴第9层有个小圆圈故答案为：；（2）解：前一层的圆圈个数和得：，前两层的圆圈个数和得：，由前三层的圆圈个数和得：，由前四层的圆圈个数和得：，由前五层的圆圈个数和得：，，从1开始的n个连续奇数之和是，故答案为：；（3）解：由上可得：，故答案为：；（4）解：．二、图形类规律探究问题6（1）解：如图所示，第⑥个图形是平行四边形；（2）观察图形可知：1个三角形所需火柴棍的根数为3，2个三角形所需火柴棍的根数为，3个三角形所需火柴棍的根数为，4个三角形所需火柴棍的根数为，…n个三角形所需火柴棍的根数为，当时，，故摆第7个图形需要15根小棒．（3）由（2）可知：n个三角形所需火柴棍的根数为，故摆第个图形需要用根小棒．7．（1）解：根据规律可知第4个结构式中有4个和10个，分子式是，第5个结构式中有5个和12个，分子式是．故答案为：．（2）解：根据规律可知第个结构式的分子式有个和个，分子式为．故答案为：．（3）解：不符合．因为第个结构式的分子式，令，则，所以分子式的物质构成不符合上述构成规律．（1）解：第个图案需要（根）木棒，第个图案需要根木棒；故答案为：11；（2）解：当时，，∴若要摆出第个图案，则所需木棒的根数是．（1）解：由所给图形可知，第1个“小屋子”中图形“”的个数为：，“”的个数为：；第2个“小屋子”中图形“”的个数为：，“”的个数为：；第3个“小屋子”中图形“”的个数为：，“”的个数为：；第4个“小屋子”中图形“”的个数为：，“”的个数为：；第个“小屋子”中图形“”的个数为：，“”的个数为：；…，由此可知，第个“小屋子”中图形“”的个数为：，“”的个数为：；故答案为：，；（2）解：第个“小屋子”中图形“”的个数为，“”的个数为；由题意得，解得（舍），，答：第个“小屋子”中图形“”个数是图形“”个数的4倍．（1）解：第一个图形有1个“沙漏型”，第二个图形有个“沙漏型”，第三个图形有个“沙漏型”，…．由此可得到规律，第n个图形有个图形，即∴，故答案为：31；；（2）解：∵∴∴则当成立，.∴综合练1．B本题考查了多项式规律探究，理解题意，认真分析，找到规律是解决本题的关键．根据所给的多项式的项数，次数，即可找到规律，根据规律即可求解．解：由题意可知：所给的多项式为二项式，第一项的系数都为1，a的指数分别为连续正整数，b的指数为1，常数项为连续正整数，故第n个多项式为，故选：B．2．B本题考查了单项式规律题，正确理解式子的符号、次数与式子的序号之间的关系是关键．根据已知的式子可以得到系数是以为底的幂，指数是式子的序号减1，x的指数是式子的序号，据此即可解答．解：第9个单项式是．故选：B．3．B此题考查了数字的变化类，是一道关于数字猜想的问题，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律．从三方面（符号、系数的绝对值、指数）总结规律，再根据规律进行解答便可．解：按一定规律排列的多项式：，，，，…，则第n个多项式是，故选B．4．B本题考查多项式排列中的规律．根据题意，把原来多项式拆成两个单项式，分别找出每组单项式的规律即可．解：将排列的多项式：，，，，，…，拆成两组单项式为：，，第个单项式为和，第个多项式是．故选：B．5．C本题考查了单项式的规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．观察单项式的系数和指数的规律，发现符号交替变化，系数分子为n，分母为2，指数为n次方．解：指数规律：，，，，则第项指数为，系数规律：，，，，，，，则第项分子为，分母为2，符号由决定（奇数项负，偶数项正），第项为，故选：C．6．D利用多项式次数的确定方法得出关于n的等式，求得n的值，代入原式即可得出答案．∵多项式与多项式的次数相同，∴，∴，．故选：D．7．B本题考查了多项式的计算和根据给出的式子来找出规律等．根据给出的规律，推出对应的第个多项式的规律，从而得到第个多项式为多少．解：由题意可知，第个多项式为，故，第个多项式为，即为：，故选：B8．D本题主要考查了图形类的规律探索，仔细观察图形并从中找到规律，然后利用找到的规律即可得到答案．解：观察图形可知：第1个图形中黑色正方形的数量是2，第2个图形中黑色正方形的数量是3，第3个图形中黑色正方形的数量是5，第4个图形中黑色正方形的数量是6，…发现规律：∵当n为偶数时，第n个图形中黑色正方形的数量是个；当n为奇数时，第n个图形中黑色正方形的数量是个，∴第2022个图形中黑色正方形的数量是：（个），故选：D．9．此题主要考查了单项式，正确得出单项式次数与系数的变化规律是解题的关键．直接利用已知单项式的次数与系数特点得出答案即可．解：∵，，，，，∴第个单项式为，∴第个单项式是，故答案为：．10．把已知的多项式看成由两个单项式组成，分别找出两个单项式的规律，也就知道了多项式的规律．解：多项式的第一项依次是，，，，，第二项依次是，，，则可以得到第2023个多项式是．故答案为：．11．本题考查单项式的规律探索，能根据题中给出的单项式正确找到规律是解题关键．根据所给的单项式的特点，找到规律即可判断．解：由，，，，可得：第奇数个数的符号为“”，第偶数个数的符合为“”，不含符合的系数的排列规律为：，，，，，，指数的排列规律为：，，，，，，故第个单项式是：．故答案为：．12．本题考查图形类规律探究，根据箭头规律按照的顺序为一个循环，进行判断即可．解：由图可知：箭头规律按照的顺序为一个循环，∵，∴第2024个单项式的位置与的位置相同，∴第2024个单项式到第2025个单项式的箭头为：；故答案为：．13．根据已知多项式分别得出第一项、第二项、第三项的关系式，即可得出结论；已知多项式……，，则可知该多项式的第一项为，则可知该多项式的第二项为，则可知该多项式的第三项为，……，则可知该多项式的第七项为，则可知该多项式的第n项为；故答案是；．14．本题考查了图形的变化类规律，列代数式，从变化的图形中找到与图形序号变化一致的信息是解答本题的关键．根据观察，得到第个图形中，黑色正方形个数是：，白色正方形个数是：，第个图案中白色正方形的个数比黑色正方形的个数多，当时，，由此得到答案．解：根据题意得：第个图形中，黑色正方形个数是：，白色正方形个数是：；第个图形中，黑色正方形个数是：，白色正方形个数是：；第个图形中，黑色正方形个数是：，白色正方形个数是：；第个图形中，黑色正方形个数是：，白色正方形个数是：，第个图案中白色正方形的个数比黑色正方形的个数多当时，，第个图案中白色正方形的个数比黑色正方形的个数多个，故答案为：．15．(1)(2)考查的是单项式，根据题意找出各式子的规律是解答此题的关键．（1）根据单项式的特点写出第9个单项式即可；（