2026年天津市苏教版八年级数学第8章函数连续性练习题

2026年天津市苏教版八年级数学第8章函数连续性练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知函数f(x)=x³-3x+1，下列关于f(x)在x=1处连续性的说法中，正确的是（）A．f(x)在x=1处不连续，因为f(1)≠lim(x→1)f(x)B．f(x)在x=1处不连续，因为lim(x→1⁺)f(x)≠lim(x→1⁻)f(x)C．f(x)在x=1处连续，因为lim(x→1⁻)f(x)存在且等于f(1)D．f(x)在x=1处不连续，因为f(x)在x=1处不可导解析：f(1)=1³-3×1+1=-1，lim(x→1)f(x)=lim(x→1)(x³-3x+1)=-1，左右极限相等且等于函数值，故f(x)在x=1处连续。选项A、B、D均错误，选项C正确。2.函数f(x)=|x-2|在x=2处是否连续？若不连续，如何修改使其连续？A．不连续，修改为f(x)=x-2B．不连续，修改为f(x)=x+2C．连续，无需修改D．不连续，修改为f(x)=0解析：f(2)=|2-2|=0，lim(x→2⁺)f(x)=lim(x→2⁺)|x-2|=0，lim(x→2⁻)f(x)=lim(x→2⁻)|x-2|=0，左右极限相等且等于函数值，故f(x)在x=2处连续。选项C正确。3.函数f(x)=√(x²-4)在定义域内是否连续？A．不连续，因为x=2处无定义B．连续，因为平方根函数处处连续C．不连续，因为x=-2处无定义D．不连续，因为x=±2处无定义解析：f(x)的定义域为(-∞，-2)∪(2，+∞)，在定义域内f(x)=√(x²-4)为复合函数，内函数x²-4在定义域内连续，外函数√t在t≥0时连续，故f(x)在定义域内连续。选项B正确。4.函数f(x)={x²,x≤1；3-x,x>1}在x=1处是否连续？A．不连续，因为lim(x→1⁺)f(x)≠f(1)B．不连续，因为lim(x→1⁻)f(x)≠lim(x→1⁺)f(x)C．连续，因为左右极限相等D．不连续，因为f(1)不存在解析：f(1)=1²=1，lim(x→1⁻)f(x)=lim(x→1⁻)x²=1，lim(x→1⁺)f(x)=lim(x→1⁺)(3-x)=2，左右极限不相等，故f(x)在x=1处不连续。选项B正确。5.函数f(x)=1/(x-1)在x=1处是否连续？若不连续，如何修改使其连续？A．不连续，修改为f(x)=1B．不连续，修改为f(x)=x-1C．连续，无需修改D．不连续，修改为f(x)=0解析：f(1)不存在，故f(x)在x=1处不连续。修改为f(x)={1/(x-1),x≠1；k,x=1}，令lim(x→1)f(x)=k，得k不存在，无法修改使其连续。选项无正确答案，但最接近的是A，但需说明无法修改。6.函数f(x)=sin(x)/x在x=0处是否连续？A．不连续，因为x=0处无定义B．连续，因为lim(x→0)f(x)存在C．不连续，因为sin(x)在x=0处不连续D．连续，因为f(x)为初等函数解析：f(x)在x=0处无定义，但lim(x→0)f(x)=lim(x→0)sin(x)/x=1，补充定义f(0)=1，则f(x)在x=0处连续。选项B正确。7.函数f(x)=|x|在定义域内是否连续？A．不连续，因为x=0处不可导B．连续，因为绝对值函数处处连续C．不连续，因为x=0处左右极限不相等D．不连续，因为x=0处无定义解析：f(x)=|x|在(-∞，+∞)上处处连续，包括x=0处，f(0)=0，lim(x→0⁺)f(x)=0，lim(x→0⁻)f(x)=0。选项B正确。8.函数f(x)=e^x在定义域内是否连续？A．不连续，因为指数函数在负数处不连续B．连续，因为指数函数处处连续C．不连续，因为e^x在x=0处不可导D．不连续，因为e^x在x=1处不连续解析：f(x)=e^x在(-∞，+∞)上处处连续且可导。选项B正确。9.函数f(x)=log(x)在定义域内是否连续？A．不连续，因为对数函数在负数处不连续B．连续，因为对数函数在其定义域内连续C．不连续，因为log(x)在x=0处无定义D．不连续，因为log(x)在x=1处不连续解析：f(x)=log(x)的定义域为(0，+∞)，在其定义域内连续。选项B正确。10.函数f(x)=tan(x)在定义域内是否连续？A．不连续，因为tan(x)在x=π/2处不连续B．连续，因为tan(x)在其定义域内连续C．不连续，因为tan(x)在x=0处不可导D．不连续，因为tan(x)在x=π处不连续解析：f(x)=tan(x)在x≠kπ+π/2(k∈Z)时连续，在x=kπ+π/2(k∈Z)处不连续。选项A正确。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若函数f(x)=√(x-1)在x=1处连续，则f(1)=______。参考答案：0解析：f(x)在x=1处连续，需满足f(1)=lim(x→1)f(x)，而f(x)=√(x-1)在x=1处无定义，故需补充定义f(1)=0。2.函数f(x)={x+1,x<0；x²,x≥0}在x=0处左极限为______，右极限为______。参考答案：1，0解析：lim(x→0⁻)f(x)=lim(x→0⁻)(x+1)=1，lim(x→0⁺)f(x)=lim(x→0⁺)x²=0。3.函数f(x)=1/(x²-1)在x=-1处不连续，原因是______。参考答案：分母为0解析：f(-1)=1/((-1)²-1)=1/0，分母为0，函数值不存在。4.函数f(x)=sin(x)/x在x=0处连续，是因为补充定义f(0)=______。参考答案：1解析：lim(x→0)sin(x)/x=1，补充定义f(0)=1，则f(x)在x=0处连续。5.函数f(x)=|x-1|在x=1处连续，是因为lim(x→1⁺)f(x)=______，lim(x→1⁻)f(x)=______。参考答案：0，0解析：lim(x→1⁺)|x-1|=0，lim(x→1⁻)|x-1|=0，左右极限相等且等于f(1)=0。6.函数f(x)=e^x在x=0处连续，是因为f(0)=______，lim(x→0)e^x=______。参考答案：1，1解析：f(0)=e^0=1，lim(x→0)e^x=e^0=1，满足连续性条件。7.函数f(x)=log(x)在x=1处连续，是因为lim(x→1)log(x)=______，f(1)=______。参考答案：0，0解析：lim(x→1)log(x)=log(1)=0，f(1)=log(1)=0。8.函数f(x)=tan(x)在x=π处不连续，原因是______。参考答案：tan(π)不存在解析：tan(x)在x=π处无定义，故不连续。9.函数f(x)=√(x²)在x=0处连续，是因为f(0)=______，lim(x→0)√(x²)=______。参考答案：0，0解析：f(0)=√(0²)=0，lim(x→0)√(x²)=lim(x→0)|x|=0。10.函数f(x)=1/(x-2)在x=2处不连续，原因是______。参考答案：lim(x→2)1/(x-2)不存在解析：lim(x→2⁺)1/(x-2)=+∞，lim(x→2⁻)1/(x-2)=-∞，左右极限不等，极限不存在。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若函数f(x)在x=a处连续，则f(x)在x=a处可导。错误解析：连续不一定可导，如f(x)=|x|在x=0处连续但不可导。2.若函数f(x)在x=a处不连续，则f(x)在x=a处不可导。错误解析：不连续不一定不可导，如f(x)=|x|在x=0处不连续但可导。3.若函数f(x)在x=a处左右极限存在且相等，则f(x)在x=a处连续。错误解析：还需满足f(a)存在且等于左右极限。4.若函数f(x)在x=a处可导，则f(x)在x=a处连续。正确解析：可导必连续，这是导数定义的基础。5.若函数f(x)在x=a处不连续，则f(x)在x=a附近必存在间断点。错误解析：不连续可以是局部现象，如f(x)=1/(x-1)在x=1处不连续，但在x=1附近其他点连续。6.若函数f(x)在x=a处连续，则f(x)在x=a附近必连续。错误解析：连续性是局部性质，如f(x)=1/(x-1)在x=1处连续，但在x=1附近其他点也连续。7.若函数f(x)在x=a处左右极限存在且不相等，则f(x)在x=a处不连续。正确解析：左右极限不等导致极限不存在，故不连续。8.若函数f(x)在x=a处不连续，则f(x)在x=a附近必不连续。错误解析：不连续可以是局部现象，如f(x)=1/(x-1)在x=1处不连续，但在x=1附近其他点连续。9.若函数f(x)在x=a处连续，则f(x)在x=a附近必连续。正确解析：连续性是局部性质，如f(x)=x²在x=1处连续，在x=1附近也连续。10.若函数f(x)在x=a处不连续，则f(x)在x=a附近必存在间断点。错误解析：不连续可以是局部现象，如f(x)=1/(x-1)在x=1处不连续，但在x=1附近其他点连续。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.简述函数f(x)在x=a处连续的三个条件。参考答案：（1）f(a)存在；（2）lim(x→a)f(x)存在；（3）lim(x→a)f(x)=f(a)。解析：连续性需要函数值存在、极限存在且极限等于函数值。2.函数f(x)=|x|在x=0处是否连续？若不连续，如何修改使其连续？参考答案：f(x)在x=0处连续，无需修改。解析：f(0)=0，lim(x→0⁺)|x|=0，lim(x→0⁻)|x|=0，左右极限相等且等于函数值。3.函数f(x)=1/(x-1)在x=1处是否连续？若不连续，如何修改使其连续？参考答案：不连续，无法修改使其连续。解析：f(1)不存在，极限lim(x→1)1/(x-1)不存在，无法补充定义使其连续。4.函数f(x)={x²,x<0；x,x≥0}在x=0处是否连续？参考答案：连续。解析：f(0)=0，lim(x→0⁻)x²=0，lim(x→0⁺)x=0，左右极限相等且等于函数值。5.函数f(x)=√(x-1)在x=1处是否连续？若不连续，如何修改使其连续？参考答案：不连续，修改为f(x)=√(x-1),x≥1；0,x<1。解析：f(1)=√0=0，lim(x→1⁺)√(x-1)不存在，需补充定义或修改函数形式。6.函数f(x)=tan(x)在x=π/2处是否连续？参考答案：不连续。解析：tan(x)在x=π/2处无定义，极限lim(x→π/2)tan(x)不存在，故不连续。7.函数f(x)=log(x)在x=1处是否连续？参考答案：连续。解析：f(1)=log(1)=0，lim(x→1)log(x)=0，左右极限相等且等于函数值。8.函数f(x)=e^x在x=0处是否连续？参考答案：连续。解析：f(0)=e^0=1，lim(x→0)e^x=e^0=1，左右极限相等且等于函数值。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.已知函数f(x)={x²,x<1；2x+1,x≥1}，判断f(x)在x=1处是否连续？若不连续，如何修改使其连续？参考答案：不连续。解析：f(1)=2×1+1=3，lim(x→1⁻)x²=1，lim(x→1⁺)(2x+1)=3，左右极限不相等，故不连续。修改方法：修改为f(x)={x²,x<1；3,x=1；2x+1,x>1}。2.已知函数f(x)=√(x²-4)，判断f(x)在x=2处是否连续？参考答案：不连续。解析：f(x)的定义域为(-∞，-2)∪(2，+∞)，在x=2处无定义，故不连续。3.已知函数f(x)={sin(x),x<0；cos(x),x≥0}，判断f(x)在x=0处是否连续？参考答案：连续。解析：f(0)=cos(0)=1，lim(x→0⁻)sin(x)=0，lim(x→0⁺)cos(x)=1，左右极限不相等，故不连续。修改方法：修改为f(x)={sin(x),x<0；1,x=0；cos(x),x>0}。4.已知函数f(x)=1/(x²-1)，判断f(x)在x=-1处是否连续？参考答案：不连续。解析：f(-1)不存在，极限lim(x→-1)1/(x²-1)不存在，故不连续。5.已知函数f(x)={x+1,x<1；x²,x≥1}，判断f(x)在x=1处是否连续？参考答案：不连续。解析：f(1)=1²=1，lim(x→1⁻)(x+1)=2，lim(x→1⁺)x²=1，左右极限不相等，故不连续。6.已知函数f(x)=tan(x)，判断f(x)在x=π处是否连续？参考答案：不连续。解析：tan(π)=0，但tan(x)在x=π处无定义，极限lim(x→π)tan(x)不存在，故不连续。7.已知函数f(x)=log(x)，判断f(x)在x=1处是否连续？参考答案：连续。解析：f(1)=log(1)=0，lim(x→1)log(x)=0，左右极限相等且等于函数值。8.已知函数f(x)=e^x，判断f(x)在x=0处是否连续？参考答案：连续。解析：f(0)=e^0=1，lim(x→0)e^x=e^0=1，左右极限相等且等于函数值。【标准答案及解析】一、单项选择题1.D2.C3.B4.B5.C6.B7.B8.B9.B10.A二、填空题1.02.1，03.分母为04.15.0，06.1，17.0，08.tan(π)不存在9.0，010.lim(x→2)1/(x-2)不存在三、判断题1.×2.×3.×4.√5.×6.×7.√8.×9.√10.×四、简答题1.答：函数f(x)在x=a处连续的三个条件是：（1）f(a)存在；（2）lim(x→a)f(x)存在；（3）lim(x→a)f(x)=f(a)。解析：连续性需要函数值存在、极限存在且极限等于函数值。2.答：f(x)在x=0处连续，无需修改。解析：f(0)=0，lim(x→0⁺)|x|=0，lim(x→0⁻)|x|=0，左右极限相等且等于函数值。3.答：不连续，无法修改使其连续。解析：f(1)不存在，极限lim(x→1)1/(x-1)不存在，无法补充定义使其连续。4.答：连续。解析：f(0)=0，lim(x→0⁻)x²=0，lim(x→0⁺)x=0，左右极限相等且等于函数值。5.答：不连续，修改为f(x)=√(x-1),x≥1；0,x<1。解析：f(1)=√0=0，lim(x→1⁺)√(x-1)不存在，需补充定义或修改函数形式。6.答：不连续。解析：tan(x)在x=π/2处无定义，极限lim(x→π/2)tan(x)不存在，